浅析数学的统一性

浅析数学的统一性 摘要：数学作为解读大自然的一门语言随着时间不断发展壮大，形成了众多学科分支，构成了一个复杂庞大的体系。正如大自然昭示着世间万物的联系统一性一样，数学各分支之间也存在千丝万缕的关系，意味着其本身也维持着高度的统一。本文通过展示和论证学习中所遇到的例子来简单研究了数学的统一性在各方面的体现。引言在数学发展的漫漫历史长河中，人类对数学的认识与理解不断加深，刺激了数学的蓬勃发展，而数学的发展也带来科学技术的不断进步和人类社会的日益繁荣，总而言之数学为人类文明进步作出了无法估量的贡献。纵观数学的发展史，从最古老的几何与代数，经过解析几何与微积分的发展，再到如今现代数学中抽象代数、拓扑学、泛函分析，微分几何等众多分支，一步一个脚印，每一步都凝结了无数人的心血与智慧，众多数学家为之奉献一生。虽然到如今数学之树已是枝繁叶茂，长出许多分支学科，各自独立茁壮成长，但有一点是从未有过变化的，那便是不论数学如何发展，各分支内部之间的紧密联系是贯穿始终的;它们在各个方面都会体现出高度的统一性，而许多分支学科的发展也是为了谋求数学在更高层次上的统一，看似形散分化，实则关联愈加密切，由此看来数的发展史也是人类追逐统一性的过程。从人类认识大自然事物规律上也可以看出数学之统一性的必然。人类认识事物往往是由表及里、由浅入深、由特殊到一般、由现象到本质。19世纪之前的人们看见光、电、磁不过是不同的三种物质罢了，然而麦克斯韦用四个极其简单方程组将电、光、磁统一在一起，从理论上阐释了这三者只是一种物质而已，揭示了电磁相互作用的完美统一，使人们树立了这样一种信念：物质的各种相互作用在在更高层次上是统一的。让人们得以脱离表观现象更加深入的认识到事物本质，完成了科学史上的一次统一，也完成科学史上的一次伟大飞跃。而在微积分尚未建立之前，面对各种各样的求弧线长度、曲面面积、不规则多面体体积时，人们只能根据形状的相似性来为某一类图形总结一种求解方法，但却无法适用于其他图形。而数学中的图形又是有很多种的，如果每一种都找到一种特定的解法将是多么耗时耗力的工作啊！即使建立起来了，用起来也不甚方便，又能有多少人能全部记住这些解法呢？显然此时的数学已经发展到了一个瓶颈期，有一些更深层次的东西需要去发现，亟需一种完美的理论将所有的解法统一起来。这时候微积分诞生了，它完美的解决了几乎全部的长度、面积、体积等求解问题，而且它的用途还不仅限于此，它为以后的数学发展指明了方向，为数学家提供了一种全新的看待问题的视角和解决问题特工具，更为重要的是它使人们看到了数学中更本质的东西，它体现了数学统一性之必然。类似的例子不胜枚举：解析几何的建立，拓补学的发展，微分几何的出现 学习了高等数学以后，本人自己总结了数学的统一性在数学中的各个方面体现：特殊与一般，特殊或归于一般，或与一般统一于整体；空间上的统一性，数学定理由低维空间向高维空间拓展；奇妙的数学公式，连接不同的数学分支；数与形的完美结合，坐标系的建立与解析几何的发展。下面我将举出不同的例子从不同的角度来阐述数学统一性的表现。一、 特殊与一般的统一性（一）中值定理研究函数性质的中值定理有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等微分中值定理和积分中值定理等。罗尔中值定理：设函数fx满足条件：（1） fx在闭区间a，b上连续；（2） fx在开区间a，b内可导；（3） 在区间端点处函数值相等，即fa=fb.则在开区间a，b内至少存在一点，使得f=0.拉格朗日中值定理：设函数fx满足条件：（1） fx在闭区间a，b上连续；（2） fx在开区间a，b内可导.则在开区间a，b内至少存在一点，使得 fa-fba-b=f ab.柯西中值定理：设函数fx，Fx满足条件：（1）fx，Fx在闭区间a，b上连续；（2）fx ，Fx在开区间a，b内可导，且Fx0,xa，b则在开区间a，b内至少存在一点，使得 fb-faFb-Fa=fF a3）在二维平面中，由向量1，2、（1，2）确定的平行四边形的面积可由行列式 1212=12-21的绝对值得到；在三维空间中向量1，2，3、1，2，3、1，2，3确定的平行六面体的体积可由行列式123123123的绝对值给出。不失一般性，一个nn矩阵行列式的绝对值可以认为是由该矩阵的行向量所生成的平行多面体的n维广义体积。定理：由1，2， ， n-1Rn生成的平行多面体的（n-1）维体积的平方等于这个平行多面体在每个超平面上投影的（n-1）维体积的平方和。即i=i,1，i,2，i,nRn（其中e1，e2，en是n维正交坐标系坐标轴的单位方向相量），则： e11,1e21,2en1,nn-1,1n-1,2 n-1,n2=e10e21,2en1,n0n-1,2 n-1,n2+e11,1e20en1,nn-1,10 n-1,n2+e11,1e21,2en0n-1,1n-1,2 02 证明： 因为e11,1e21,2en1,nn-1,1n-1,2 n-1,n=M1e1-M2e2+-1n+1Mn 利用矩阵的正交性可得 e11,1e21,2en1,nn-1,1n-1,2 n-1,n2=|M1e1-M2e2+-1n+1Mn|2=M12+M22+Mn2将广义叉积所表示的平行多面体在第i个超平面上的投影，即 e11,1ei-1 ei1,i-10 n-1,1n-1,i-1 0 ei+11,i+1en1,nn-1,i+1n-1,n沿着第i列展开得e11,1ei-1 ei1,i-10 n-1,1n-1,i-1 0 ei+11,i+1en1,nn-1,i+1n-1,n =-1i+11,12,11,i-12,i-1n-1,1n-1,i-11,i+12,i+11,n2,nn-1,i+1n-1,n ei =-1i+1Miei所以广义叉积所表示的平行多面体在第i 个超平面上的投影的广义体积的平方是|-1i+1Miei|2=Mi2，所以广义叉积在各个超平面上的投影的广义体积的平方和等于 M12+M22+Mn2，它就是广义叉积所表示的平行多面体的体积的平方。在此基础上我们应当考虑在n时勾股定理又会出现什么情况呢？显然此时如果再从广义体积的角度来解决这个问题似乎就有困难了，因为在n维空间中很难想象n维与n-1维到底有何差别，所以在将勾股定理推广到无限维空间中时就要另辟蹊径了。下面我将给出把勾股定理推广到无限维空间中一个简要的证明。证明：在二维直角坐标系中ex，ey是坐标轴的单位方向向量，则对任意的向量n可以写作如下形式 n=n，exex+n，eyey 其中 n，ex=nex，则向量n的模n的值为 n=n2=n，exex+n，eyey2 =n，exex2+2n，exexn，eyey+n，eyey2=n，ex2+n，ey2即n2=n，ex2+n，ey2这就是勾股定理在二维空间中的另一种表现形式在三维直角坐标系中ex，ey，ez是坐标轴的单位方向向量，对任意的向量n可以写作如下形式n=n，exex+n，eyey+n，ezez则向量n的模n，n2=n，exex+n，eyey+n，ezez2 =n，exex2+n，eyey2+n，ezez2+ 2n，exexn，eyey+2n，exexn，ezez+ 2n，exexn，eyey =n，ex2+n，ey2+n，ez2 由此我们再次得到三维空间中的勾股定理同理在希尔伯特空间（即无限维空间）中的直角坐标系，e1，e2，en， 表示正交坐标系的单位方向向量，则对任意的向量n可以表示为如下形式n=i=1n，eiei对向量n的模n有n2=i=1n，eiei2=i=1n，ei2至此我们已经到处了勾股定理在无限维空间中的表达形式。从上述对于勾股定理由二维平面推广到三维立体空间，最后拓展至n维空间甚至到无限维空间中，可以看出低维度的空间是高维空间的特殊情况，存在于低维空间的性质可以推广到高维空间的性质中，进而表明了数学在空间维度上的统一性。 我们知道在二维平面勾股定理是余弦定理的取直角的特殊情况，那么在三维空间、甚至更高维空间中余弦定理与勾股定理又有怎样的关系呢？ 在三维空间中我们只需要将证明三维勾股定理中的直角坐标系换成任意角仿射坐标系，就可以得到任意一个面的面积与其它面面积关系即S2ABC=S2AOB+S2AOC+S2BOC+2SBOCSAOCcos+2SAOCSAOBcos+2SBOCSAOBcos（其中是平面BOC与平面AOC之间的夹角，是平面AOC和平面AOB之间的夹角，是平面AOB和BOC之间的夹角）。同理将n维空间中的直角坐标系换成任意角的仿射坐标系，则可以得出n维空间中的余弦定理，以M表示1，2， ， n-1Rn生成的平行多面体的n-1维广义体积，Mi表示在第i个坐标平面上投影的广义体积，则余弦定理公式为： M2=i=0nMi2+20ijnnMjMicosMi，Mj分别对比三维和n维空间中的勾股定理和余弦定理可以看出勾股定理是余弦定理在取直角时的特殊情况，余弦定理则代表一般的平行多面体的n-1维广义体积与投影面上的相关体积之间的普遍关系，故勾股定理总是可以统一于余弦定理，而这也再次印证了特殊与一般的统一关系。（二）牛顿莱布尼茨公式平面形式、立体空间形式我们所熟悉的牛顿莱布尼茨公式即 abfxdx= Fb-Fa （Fx是fx的原函数）表达了固定曲线上的一重积分与其边界点原函数的值的关系。而我们所熟悉的另一公式格林公式（复连通闭区域D由分段光滑的曲线L1与L2围成，函数P（x，y）及Q（x，y）在D具有一阶连续偏导数，L1与L2是D的取正向的边界曲线）则表达出平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。对比牛顿莱布尼茨公式和格林公式的形式及含义可以发现等式左边的积分区域是由线到面，等式右边的边界由点变成线，而在欧氏几何中点统一于线、线统一于面、面统一于体。如此牛顿莱布尼茨公式中等式的两端分别都可统一于格林公式的两端，则牛顿莱布尼茨公式也可以统一于格林公式。换言之格林公式是牛顿莱布尼茨公式的二维形式，那么牛顿莱布尼茨公式也可能存在三维形式。而我们所学的高斯公式，即 (空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在上具有一阶连续偏导数，是闭区域的边界曲面的外侧）则表达了空间闭区域上的三重积分与其边界面上的曲面积分之间的关系。因此高斯公式就是牛顿莱布尼茨公式的三维形式。高斯公式的左边是由曲线的一重积分到平面的二重积分再到空间区域的三重积分的统一，等式的左边则是边界点的点积分到边界曲线的曲线积分再到边界曲面的曲面积分的统一，由此牛顿莱布尼茨公式、格林公式都是高斯公式的特殊情况，都可以统一于高斯公式。对于格林公式我们又有如下考虑：格林公式中的左边的积分曲线是平面曲线，如果积分曲线是空间曲线，那么又会格林公式又会有怎样的形式呢？而这一点恰好是斯托克斯公式所解决的问题。斯托克斯公式 设L是空间分段光滑的有向闭曲线，是以L为边界的分片光滑的邮箱曲面，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在包含曲面的某个空间区域内有一阶连续偏导数，则有 对比格林公式和斯托克斯公式可以看出斯托克斯公式将格林公式中的平面曲线积分推广到空间曲线积分，同时将平面区域积分扩展到空间曲面积分，故亦可将格林公式视为斯托克斯公式的平面特殊情况。此时我们再回过头来看斯托克斯公式和高斯公式是否有何联系。审视两者曲面积分的区域可以发现：高斯公式是在空间闭曲面上积分，而斯托克斯公式是在所有空间平面上积分而并没有强调是闭曲面或非闭合曲面。比较斯托克斯公式和高斯公式可以发现：假设在由分片光滑的闭曲面所围成的空间闭区域内，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）、P1（x，y，z）、Q1（x，y，z）、R1（x，y，z）在上具有一阶连续偏导数，且满足P1x，y，z=Q1x，y，z=R1x，y，z=则高斯公式可统一于斯托克斯公式，证明如下。证明：在闭曲面上任取一条空间闭合曲线L，将闭合曲面分为区域1和2，对于曲面积分由高斯公式得，又P1x，y，z=Q1x，y，z=R1x，y，z=则又P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在上具有一阶连续偏导数，所以故又由斯托克斯公式可得因为曲线L将闭合曲面分为曲面1和2，故曲线L和L是同一条曲线，但在曲线积分时去取相反的方向，因此 所得结果与由高斯定理所求结果一致，因而在这种条件下高斯公式和斯托克斯公式也可以统一在一起。 至此我们再从更高的角度来看待这四个公式所表达的含义：公式的一边表示特定区域内部的积分，另一边表示区域边界的积分，四个公式都表达的是区域内部积分与区域边界积分之间的紧密关系，在这一层面上又显示出其统一性。进一步思考，区域本身就是一个统一的整体，边界和区域内部都是它的一部分，由一组公式将区域内部与区域边界联系起来，显示了其本质上的关系，更展示了区域本身作为一个整体的统一性。（三）奇妙的数学公式 数学中总有一些公式让人为之惊叹、令人为之陶醉，它们让人类深深体会到了数学之美、数学之神奇，激发人们对数学真理的探索。神奇的欧拉公式eix=cosx+isinx 欧拉公式的左边表示的是复数指数函数，右边表示的是三角函数，在实数领域指数函数与三角函数是没有太多联系的，而在复数领域却被完美的统一在了一个等式中，体现了两个函数之间本质上的紧密联系。更神奇的是令x=，等式化为ei+1=0这个等式是如此让人着迷，它将数学中最重要的几个数字联系在了一起：自然底数e，圆周率，虚数单位i，1,和0“1”来源于自然数的概念，也是自然数的基本单位；最简单最基础的实数之一，有许多奇妙的性质，在实数领域是一个重要的分界点。“0”人类最伟大的发现之一，实数域中的唯一中性数。“i”虚数的基本单位，将数系由实数扩充到复数，解决了在实数领域无法解决的许多问题。“e”为编制对数表而产生的地位超然的超越数，因为自身奇特的性质而在对数领域广泛应用。“”数之不尽的数学家为之而献身，在数学中极其重要的超越数，虽出身于几何，但在数学各个领域都有重要作用。这几个数是不同数学分支中的概念，也是相应数学分支中极具代表性的数字，但是这五个如此奇特的数字却一个极其简洁的欧拉公式ei+1=0 统一起来。产生于不同时代，来源于不同分支，最后经由欧拉之手统一在一起，既是偶然，也是必然。数学始终是以一个统一而严密的整体在不断向前发展，内部之间存在千丝万缕的联系，形散而神聚。质能关系式E=mc2一个如此简单优雅的公式却揭露了宇宙中的真理，显示了大自然的基本规律；一个等号将看似毫无关系的能量和能量联系在了一起，颠覆了人们长久以来的根本观念，神奇的将质量守恒和能量守恒统一在了一起，揭示了宇宙中更为本质的质能守恒定律；以光速为媒介将物质世界的两个极端微观世界和宏观世界联系在一起，证明了宇宙内部的统一。而数学作为描述宇宙世界的自然语言，质能关系在数学上的统一，也必然意味着其在宇宙内的统一。（四）数形结合 数与形（或者说代数与几何）是数学最古老，最久远的两个分支，它们均诞生于古代劳动人民的生产活动，并且各自以不同的方式向前发展，而又紧密联系在一起：从事几何测量运算活动时必然离不开代数，而运用于几何测量又促进代数的发展，反过来代数的发展有影响了几何的发展，两者相辅相成不断前进。直到笛卡尔发明了坐标系才实现了真正意义上的数与形的统一，它将抽象的代数方程与直观的几何图形完美的结合起来，在代数和几何之间架起了一座桥梁。使得代数方程有了几何意义，几何图形有了代数形式，原本关系紧密二者更加有力的统一成了一体。而后创立了用代数方法来研究几何图形的数学分支解析几何使二者走向了共同发展的道路。随着数学的不断发展进步，数与形越发密不可分，不断形成新兴的数学分支，例如拓扑学、微分几何等。数与形的统一给数学的发展注入了强大的生命力，使得数学这棵参天大树愈发枝繁叶茂，为揭示自然奥秘提供无尽的动力。时光荏苒，恍若白驹过隙，一年半的科研训练时间匆匆去也。在这一年半的科研训练期间，整个小组花费了不少时间和精力去查阅与科研训练相关的论文和书籍，掌握了很多新的数学知识、体会到了不同的数学思想方法、提高了自己对数学这门学科的认识与理解。但是由于时间的限制和自身数学素养的局限，未能在数学统一性的方面做出创新性的研究成果，所做的工作只是对所学过的东西进行一次总结，发现一些曾经忽略的东西、寻找与科研训练主题相关的知识点，然后再用自己的观点来重新看待这些问题、以自己的思维方式来解决所遇到的麻烦。即使如此我已感觉从此次科研训练中收获颇多，首先摆脱了以往学习只停留在表象的弊病，力求从本质上、深层次上探求问题根源；其次看待事物视角更加多元化，能够有全新的思路去面对问题；最后则是整个人感觉在数学修养上有了不小的提高。回头来重新认识这个命题，不难发现数学统一性会是一个极具生命力的科研主题，在以后的数学发展途中，势必会出现更多的数学分支，而每一个分支则是对之前的问题一次总结，并且能更加清楚的反映出与其他分支之间的联系。可以预见数学统一性为今后的数学发展指明了方向，在统一性的框架下数学的发展必将更加繁荣兴盛，而数学统一性的研究与