两种静电场中均匀带电导体球问题分析

两种静电场中均匀带电导体球问题分析 1 两种静电场中两种静电场中均匀均匀带电导体球问题分析带电导体球问题分析 摘要：摘要：定性定量地分析匀强电场和点电荷产生的静电场（库仑场）中导体球对原场产生的干扰，找出产生这种干扰的来 源，并且分析原场对放入场中的导体球产生的影响。最后，将利用数学软件 maple 对所求出的电势进行绘制，结合绘制出的图 像进一步分析探讨，从而使得所求结果更加直观、形象 关键词关键词：静电场、等势体、拉普拉斯方程、镜像法、惟一性定理、面电荷密度、maple 匀强电场和点电荷产生的静电场（库仑场）是 我们在学习 电磁学 过程中经常遇见的两种静场， 通过麦克斯韦电磁理论我们得知这两种场的一些 简单性质（如有源无旋等） ，这两种场是我们在学 习电磁理论中遇见的最简单的场。我们知道处于静 电场中的均匀导体达到静电平衡时，导体球内部场 强处处为零，是等势体；表面是等势面，并有感应 电荷分布，我们可以定性地分析出静电场中导体球 电荷分布情况，但如何定量表达出电荷具体分布 呢？如果在静电场中加入一带电导体球，那么该带 点导体球对原来电场会如何影响呢？现在，就对两 种静电场中带电导体球进行定量分析，以加深对场 概念的更深入理解。 可以很容易的求取这这两种情况下场的分布 情况，但我们对于场的分布仍旧会有一些模糊，电 场的表示式还不能更加直观地展现场线是如何分 布的。可以利用 maple 等数学软件对所求结果进行 模拟，更加直观形象的把场分布展现出来。 1.匀强电场中带点导体球相关问题求解匀强电场中带点导体球相关问题求解 问题提出问题提出：真空中有一半径为R均匀导体球，放入 电场强度大小为 0 E的匀强电场中， 达到静电平衡， 金属表面电势为 f ，试分析球外场强和球面电荷 分布。 解答过程：解答过程：处理这类问题我们单靠电磁学的知识是 无法解决的，对付这类问题我们需要列出空间任一 点（球面除外）的拉普拉斯方程 2 0u （1） 我们也知道电势u是关于z轴对称分布的， 所以我 们可以直接写出该拉氏方程通解形式 1 0 1 () (cos ) l lll l l uArBP r （2） 在金属球内部，由于场强处处为零，我们不必去讨 论了；金属球表面是等势面，并且电势已得知 |r R f u （3） 在场外无穷远处，我们可以记作 00 |cos r R uE r （4） 要说明的是，此时已经假设球心处电势为 0 。 将r R 和r 带入通解当中，便有 01 0 00 2 (cos )cos (cos )cos l rll l l ll l uAr PAAr Ar PE r 通过比较系数，我们得到： 0010 , 0,0,1 l AAE Al （5） 故有 00 1 0 1 -Ecos(cos ) ll l l urBP r （6） 由于|r R f u ，同理带入可解得 00 () f BR， 3 10 BE R， 从而球外空间 任意一点电势可写为 3 0 0 00 2 () coscos f R E R uE r rr （7） 这样我们就将球外空间任意一点电势分布求出来 了，下面我们就来定量计算一下球面电荷分布情 况。 根据电场强度与电势的关系：Eu 我们可以得到 两种静电场中均匀带电导体球问题分析 2 0 3 0 0 23 () 2 coscos rr f r u Ee r R E R Ee rr （8） 3 0 0 3 1 (sinsin ) u Ee r E R Ee r （9） 1 0 sin u E r （10） 如何描述导体表面电荷分布呢？我们选择面电 荷密度这个物理量来描述。 在电动力学中，我们知道处于静电平衡时，导 体表面边界条件 0 |r R u r （11） 将（7）代入（11） ，可得 0 000 () 3cos f E R （12） 便得到导体球表面电荷分布情况。下面再求一下导 体球带的总电量 2 0 00 2sin 4() f QdsRd R （13） 讨论：讨论： （1）.由（7）式我们可以看出，球外空间任 一点电势可以看作是由三个电势叠加而成，我们可 以写作： 123 uuuu，其中有 100 cosuE r （14） 0 2 () f R u r （15） 3 0 3 2 cos E R u r （16） 现在我们可以看到， （14）式是原来匀强电场在空 间任意点处产生的电势， （15） （16）式是加入导体 球后，对原来静电场产生的影响。其中， 2 u是金 属球本身带有电荷，这些电荷在导体球外产生电 势， 3 u则是由于导体球放入匀强电场中所产生的 感应电荷的电势，相应的电场强度为： 3 300 3 (3cos) r R EEeE r （17） （2）.由此我们也可将（12）式写作 12 可知， 1 0 0 () R f （18） 200 3 E cos （19） 从中可知： 1 为常数，说明电荷是均匀分布的， 它应该是导体球本身带有的电； ， 2 是球面产生的 感应电荷，它的分布与角度有关，并且我们看出它 在(0,) 2 时为正值，在(, ) 2 时为负 值。 （3）.由（13）式 00 4() f QR 可知： 如果在匀强电场中放入一带电为Q的均匀导体 球， 只需将以上各式中的 0f 换成 0 4 Q R 即 可。在此，我再次强调一遍， 0 是我们规定球心或 坐标原点的电势， 0 可以为零，也可以为其它任意 值。单独的电势是没有意义的，只有两电势之间的 差值才能表现出某些电学特性来。我们也完全可以 令 0 f ，这样我们得到0Q ，此时便是不带 电的导体球放入匀强电场中的情况，可知此时导体 内部电势处处为 0 ，同样，如果导体内部和表面 电势处处为 0 ，放入匀强电场中导体中心电势不 变，只是表面电荷分布发生变化而已。 2. 点电荷产生的点电荷产生的电场中带点导体球相关问电场中带点导体球相关问 题求解题求解 两种静电场中均匀带电导体球问题分析 3 问题提出：问题提出：真空中有一半径为R带电量为Q的均 匀导体球， 距球心()a aR处有一带有q电量的 点电荷，求空间各点电势及导体球表面电荷分布。 解答过程解答过程：对于求取此类问题，我们一般是用母函 数或镜像法来进行解答。我感觉用镜像法解决此类 问题是比较简单，但我们不能忽略母函数的方法。 如果有人问你为什么会有镜像法的出现，我感觉你 告诉他两点就够了， 一是母函数， 二是惟一性定理。 下面我就用镜像法来分析此类问题吧。 由题目所给的信息我们可以挖掘出更有价值 的东西，这些东西就是解决该题的关键 （1）.球面是等势面（但球面电势未知） ； （2）.从球面发出电场强度总的通量是 0 Q 。 为了好说明问题，我们画出了简单草图，如 图 1.如果我们在B处（只要B处取得恰当）放了 一个镜像电荷 Q ，我们再在O处放一Q Q 的 镜像电荷，这样正好满足题意。我们可设 2 |ACr 1 |BCr，|COr，|BOb 故C点电势可以写出 012 1 () 4 c QQQq rrr （20） （其中 22 1 2cosrbrbr 22 2 2cosrarar ） 由于导体表面是等势面，故有 MND （21） 我们就可以得到 2 , RR bQq aa ， 这是由惟 一性定理来确定的。要是感觉取三个点太少，那么 这样吧，反正我们都知道了导体表面电势与角度 （位置）无关，那么就有： |0 r R （21） 代入数据也可以解得上述结果。 将以上所得结果代入式（20）可得： 22 0 22 1 ( 4 2cos ) 2cos c q arar RqRqaQ ar brbr （22） 同样我们也可以由（11）式得到在该场中电荷 分布情况 22 32 22 2 1() 4 (2cos ) RRq aR Qq Ra arar （23） 讨论：讨论： （1）.当0和时，分别带（23） 式，可得 2 0 22 13 4() aR QqR Ra aR （24） 和 2 0 22 13 4() aR QqR Ra aR （25） ， 如果q和Q为同种电荷，我们可以看到在0 处电荷分布最疏， 在时点和分布最密， 同样， 要是q和Q为异种电荷0处电荷分布最密， 在处电荷分布最疏， 这也与 “同种电荷相排 斥，异种电荷相互吸引”相符合。 （2） 金属球不带电时，即0Q ，由（23）式可 知 22 32 22 2 1() 4 (2cos ) RRq aR q Ra aRaR （26） 如果 3 2222 2 ()(2cos )a aRaRaR 成立， 那么有0，此时为一确定值，只要 2 2222 3 () cos 2 aRa aR aR ，即在某一 圆周上0，并且在这圆周两侧分布异种电荷； 然后我们再看一看0和的情况，由 （26）式得 0 2 13 4() aR q a aR （27） 图 1 B C 两种静电场中均匀带电导体球问题分析 4 2 13 4() aR q a aR （28） 有以上两式可以看出，无论0和， 均不为零。 （3）.导体球接地时，导体球电势为0，故（23） 式可写作 22 32 22 2 1() 4 (2cos ) Rq aR R arar 如果q和Q均为正值，那么为负值，此时为 金属球所带感应电荷，并且在0和处 取得极大和极小值。 3.maple 绘图绘图 下面就运用maple中contourplot命令对所求得 的电势进行简单绘制，从而使得场的分布直观的展 现给大家。为了在编辑方面简单，并且得到平面图 效果，我们需要对所要编辑的势函数进行简单处 理。对于（7）式，为了简单起见，我们可以取 0 1;1;0.1 f ER ，cosxr；sinyr 从而（7）式可记为 3 22 22 2 0.10.01 () x ux xy xy （29） 同样（22）式中也可以进行类似的化简 222222 0.20.2 (1)(0.04) qqqQ u xyxyxy （30） 对于（30）式，q和Q大小不同也会影响到场的 分布， 下面我就此展开了一些讨论 （见图 2、 3、 4） 。 于是我们便可得到很多簇这样的等势线，虽然 这些等势线在数值上与我们所得的结果有一些偏 差，但是图示中电势的分布大致与实际电势分布相 符。 图 1 中在金属球附近等势线比较密集，说明电 场强度分布比较密集，金属球对周围附近的场影响 很大；在远离金属球的地方电势分布近似均匀，这 说明电场强度分布趋向均匀，金属球对远处场影响 较小。 图 2、3、4 中有很多等势线闭合，我们作等势 线的垂线（电场线） ，发现电场线是发散的，这是 因为导体球也同样带有电量。我们会设想这样一种 情况，就是如果导体球的电势为零（特殊一点，导 图 1.匀强电场中导体球外电势分布布 图 2.库仑场中带电导体球外电势分布 （Q q ） 图 3.库仑场中带电导体球外电势分布 （Q q ） 图 4.库仑场中带电导体球外电势分布（Q q ） 两种静电场中均匀带电导体球问题分析 5 体球接地） ，电势或场会是怎样分布呢？下面图 5 就是接地导体球在库仑场中电势分布情况。我们可 以清楚地看到，在点电荷和导体球附近电场分布比 较密集，有些等势线收敛于导体球表面，在导体球 附近有些电场线没有闭合，这主要是感应电荷电量 小于点电荷电量造成的。而对于原来带点金属球来 说，由于它们本身带有电量，就可以在空间激发出 场来，导体球附近出现闭合的等势线也是有可能 的。 4.结束语：结束语： 静电场中导体球一直是作为大学本科阶段经 常遇到的一种物理模型，求取静电场中导体球问题 也是我们在大学阶段必须掌握的，很多同学也很容 易地给出正确解，但是，加入导体球后电场受到影 响程度如何更直观地被表现出来可能会被忽略。通 过解决此类问题，加深了我对静