电动力学第六章答案

电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 1 - 1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 证明根据题意不妨取如下两个参考系并取分别固着于两参考系的直角坐标系且令 t 0 时两坐标系对应轴重合计时开始后 系沿系的 x 轴以速度 v 作直线运动 根据伽利略变换有 = = = = tt zz yy vtxx 1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律为例 2 2 dt xd mF v v = 在系下 2 dt xd mF + + + + = yx e zyx y e zyx xq E vv v 2 3 222 2 3 222 0)()( 4 )( 2 3 222 z e zyx z + + v z ox y z o x y r v r v v v 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 2 - 由伽利略变换关系有 在中 + + + + = yx e zyvtx y e zyvtx vtxq E vv v 2 3 222 2 3 222 0)()( 4 z e zyvtx zv 2 3 222 )(+ + + + = x ezy zyvtx q E v v )( )( 3 42 3 222 0 )()( zy eyvtxevtxz vv + 可见E v 不恒为零 又在系中观察q 以速度 v x e v 运动故产生电流 x eqvJ v v = 于是有磁场 R qv B 2 0 = R 是场点到 x 轴的距离 此时 有0= t B v 于是 t B E v v 故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 2 设有两根互相平行的尺在各自静止的参考系中的长度均为 0 l它们以相同的速率 v 相 对于某一参考系运动但运动方向相反且平行于尺子求站在一根尺子上测量另一根 尺子的长度 解根据相对论速度交换公式可得 2系 相对于 1的速度大小是 2 2 1 2 c v v v + = 在 1系中测量 2系中静长为 0 l的 尺子的长度为 O Z X 2 x 2 o 2 z 1 z v v 1 o 1 x 2 1 v v 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 3 - 2 2 0 1 c v ll = 代入 2 2 1 2 c v v v + = 即得 2 2 2 2 0 1 1 c v c v ll + =此即是在 1系中观测到的相对于 2静止的尺子的长度 3 静止长度为 0 l的车厢以速度 v 相对于地面 s 运行车厢的后壁以速度 0 u向前推出一 个小球求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间 解根据题意取地面为参考系 S车厢为参考系 S 于是相对于地面参考系 S 车长 2 2 0 1 c v ll= 车速 v 球速 2 0 0 1 c vu vu u + + = 故在地面参考系 S 中观察小球在此后由车后壁到车前壁 2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 1 )1 ( 1 1 c v u c vu l v c vu vu c v l vu l t + = + + = = 4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者在经过某一高大建筑物时看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花电光迅速传播先后照亮了铁路沿线上的两铁塔求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差设建筑物及两铁塔都在一直线上与列车前进方向一致铁 塔到建筑物的地面距离已知都是 0 l 解由题意得右示意图取地面为静止的参考系列车为运动的参考系 取 x 轴与 x 轴平行同向与列车车速方向一致令0=t时刻为列车经过建筑物时并 令此处为系与 的原点如图 在系中光经过 c l t 0 =的时间后同时照亮左右两塔 但在 系中观察两塔的位置为 )1 ( 1 2 2 0 00 c v c v l vlvlx = 右 左右 cc Z(z) o o v 0 lx= x x 0 lx = 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 4 - )1 ( 1 2 2 0 00 c v c v l vlvlx+ = 左 )1 ( 1 2 2 0 c v c v l oxd = 右右 )1 ( 1 2 2 0 c v c v l oxd+ = 左左 时间差为 2 2 2 0 2 2 0 1 2 )1 ()1 ( 1 1 c v c vl c v c v c c v l c d c d t = + = = 右左 5. 有一光源 S 与接收器 R 相对静止距离为 lSR 装置浸在均匀无限的液体介质静 止折射率 n中试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间 1 液体介质相对于 SR 装置静止 2 液体沿着 SR 连线方向以速度 v 运动 3 液体垂直于 SR 连线方向以速度 v 运动 解1液体介质相对于 SR 装置静止时 c nl t 0 1 = 2 液体沿着 SR 连线方向以速度 v 运动 取固着于介质的参考系 系沿 x 轴以速度 v 运动在 系中测得光速在 各个方向上均是 n c 由速度变换关系得在系中沿介质运动方向的光速 cn v v n c v + + = 1 R 接收到讯号的时间为 v n c l cn v t + + = 0 2 )1 ( 3 液体垂直于 SR 连线方向以速度 v 运动 同2中取相对于 S-R 装置静止的参考系为系相对于介质静止的系为 系如下建立坐标 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 5 - 可见vux= 2 2 2 v n c uy=t 在系中测得 y 方向上的速度 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 )( 1 1 1 1 c v v n c c vv c v v n c c vu c v u u x y y = + = + = 2 2 2 2 2 0 3 1 v n c c v l t = 6. 在坐标系中有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动在系看来它们一直保持距离 l 不 变今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动他看到这两个物体的距离是多少 解根据题意 系取固着于观察者上的参考系 又取固着于 AB 两物体的参考系为 系 在中A,B 以速度 u 沿 x 轴运动相距为 l在 系中AB 静止相距为 0 l有 2 2 0 1 c u ll= 2 2 0 1 c u l l = 又 系相对于以速度 v 沿 x 轴运动 系相对于系以速度 u 沿 x 轴运动 由速度合成公式 系相对于 系以速度 2 1 c uv vu v = 沿 x 轴运动 在 系中看到两物体相距 2 2 2 2 2 0 1 1 1 c uv c v l c v ll = = 7. 一把直尺相对于系静止直尺与 x 轴交角今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动他 看到直尺与 x 轴交角有何变化 y y oxxos y u v R vux= v n c 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 6 - 解取固着于观察者上的参考系为 在系中 cosllx= sinlly= 在 系中 2 2 2 2 1cos1 c v l c v ll xx = sinlll yy = 2 2 1 c v tg l l tg x y = = 8. 两个惯性系和 中各放置若干时钟同一惯性系的诸时钟同步 相对于以速度 v 沿 x 轴运动设两系原点相遇时0 00 = = tt问处于系中某点xyz处的时钟 与 系中何处时钟相遇时指示的时刻相同读数是多少 解根据变换关系得 = = = = )4( 1 )3( )2( ) 1 ( 1 2 2 2 2 2 LL LLLL LLLL LL c v x c v t t zz yy c v vtx x 设系中),(tzyxP处的时钟与 系中),(tzyxQ处时钟相遇时指示时间相同 在4式中有tt=解得)11 ( 2 22 c v t v c x=代入1式 得x c v t v c x=)11 ( 2 22 相遇时)11 ( 11 ( 2 2 2 22 c v v x c v v c x tt+= = 即为时钟指示的时刻 9火箭由静止状态加速到cv9999 . 0 =设瞬时惯性系上加速度为 2 20 =smv 0 sin);cos( 00 00 2 0 vkk kk c v kk rrz ryrx = = = = 代入逆变换关系得系中的反射光线满足 000 2 0 2 0 cos)cos()cos(kvk c v c v kkrx=+= 0 sinkkry= 0= rz k 0000 2 0 )cos()cos(=+=vk c v kv r 在系中观察到 入射角= 0 2 反射角 0 = ri 若垂直入射 2 0 =以上结论不变 3 镜面垂直于运动方向放置同 1选择参考系并建立相应坐标系 在系中入射光线满足 000 , 0,sin,cos= iiziyix kkkkk 由变换关系得 系中的入射光线 += = = = )cos()cos( 0 sin )cos( 0000 0 0 2 0 vkkv k kk c v kk i iz iy ix 在 系中平面镜静止由反射定律可得反射光线满足 )cos(; 0 sin);cos()cos( 00 00 2 00 2 0 vkk kk c v k c v kk rrz ryrx += = = += 代入逆变换关系得系中的反射光线满足 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 9 - )cos()cos( 00 2 0 2 0 vk c v c v kkrx+= 0 sinkkry= 0= rz k )cos()cos( 000 2 0 vk c v kv r += 其中. 0 c k =并令 c v = 反射光满足 反射角 )cos1 ()cos( sin 00 2 0 + = rx ry k k tg 反射光频率)cos()cos1( 000 2 += 如果垂直入射0 0 =于是系中会观察到0= ri 反射光频率 2 0 2 )1 (+= 11. 在洛仑兹变换中若定义快度 y 为=ytanh 1 证明洛仑兹变换矩阵可写为 = chyishy ishychy a 00 0100 0010 00 2对应的速度合成公式 + + = 1 可用快度表示为yyy += 证明1 = 00 0100 0010 00 i i a 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 10 - 其中 22 2 22 2 2 )()( )(1 1 )(1 1 1 1 1 1 shychy chy chy shy thy c = = = = = 1 22 )()( 22 22 = + = xxxx eeee shychyQ chy= 又 shychythy= = chyishy ishychy a 00 0100 0010 00 2 速度合成公式 + + = 1 可写为 ythyth ythyth thy + + = 1 由定义 1 1 , 1 1 2 2 2 2 + = + y y y y e e yth e e yth 得)( 1 1 1 )(2 )(2 yyth e e ythyth ythyth yy yy += + = + + + + yyyyyththy += +=),( 12. 电偶极子 0 P v 以速度v v 作匀速运动求它产生得电磁势和场BEA vvv , 解选随动坐标系 vP v v 0 在 系中 0 P v 产生的电磁势 0, 4 1 3 0 0 = =A R RP v v v 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 11 - 电磁场 0, ) (3 4 1 3 0 5 0 0 = =B R P R RRP E v v vv v v 四维势 ),( c i AA v =由逆变换 = AaA 得 = c i i c i A A A z y x 1 0 0 0 00 0100 0010 00 系中电磁势 3 0 0 4R RP v v = 22 c v e c v e c eAA xxxx v vvv v = 电磁场 平行平行 EE vv , =EBvEE vv v vv ) 0= 平行平行 BB vr , =+=E c v E c v E c v BB e v v v v v v rv 222 )()( 由坐标变换 xax= 得 = ict z y x i i tic z y x 00 0100 0010 00 = = = zz yy tvxx 取 t=0 得 = = = zz yy xx ).,(),( zyxzyxR= v 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 12 - 13. 设在参考系内BE vv 系沿BE vv 的方向运动问 系应以什么样的速度相对 于系运动才能使其中只有电场或只有磁场 解如图 系以v v 沿 x 轴方向相对于系运动 由电磁场变换公式 平行平行 0EE vv = )()BvEBvEE v v vv v vv += 0= 平行平行 BB rv )()( 22 E c v BE c v BB v v vv v vv = 令0= E v 则 0=+BvE v v v 两边同时叉乘B v 并利用矢量分析公式得 )( 1 2 BE B v vv v =, 取模 B E B E vv v = cv Q BcE vv 即若BE vv 则当)( 2 2 BE E c v vv v =时0=B v 14做匀速运动的点电荷所产生的电场在运动方向发生压缩这时在电荷的运动方向上 电场E v 与库仑场相比较会发生减弱如何理解这一减弱与变换公式 平行平行 EE的关系 解设点电荷 e 以速度v v 沿系 x 轴方向运动选 系为 e 的随动系 在 系中 3 0 4r xe E 平行 为库仑场 由变换 平行平行 EE得 3 0 4r xe E = 平行 此场在系中并非静电库仑场 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 13 - 由坐标变换 = = = zz yy xx 得 0 2 2 3 0 2 2 )1 ( 4 )1 (E c v r ex c v E= 平行0 E为系中库仑场 当cv 时 0 EEQ 当BE E c u vv v = 2 2 时在 内0=B v 此时0 平行平行 EE vv )()(BuEBuEE uu v v vv v vv +=+= u uu E c u EE E B cE v vvv =)1 ()( 2 2 2 2 2 即 u E E v v = 由 21 题结果粒子 e 在 系中的运动轨迹与时间的关系为 0, 0,1)(1 2 2 = + =zyt mc Ee Ee mc x 由洛仑兹变换 = tic y x z i i ict y x z uu uu 00 0100 0010 00 得 = = = =+= tt yy xx uttczz u uu 0 e 在互相垂直得均匀电磁场中的运动规律为 , 0,1)(1 2 2 2 utzyt mc eE eE mc x u u =+= 其中 2 2 2 1 1 , c u B E c u u = 23. 已知 t0 时点电荷 1 q位于原点 2 q静止于 y 轴) 0 , , 0( 0 y上 1 q以速度 v 沿 x 轴匀速 运动试分别求出 1 q 2 q各自所受的力如何解释两力不是等值反向 解选参考系 固定在粒子 1 q上在 系观察时粒子静止只有静电场电磁场强度 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 21 - 为 0, 4 1 3 0 1 = =B r xe E v v v 在系中观察 1 q以速度v v 沿 x 轴方向运动由速度变换关系得 , 4 3 0 1 r xe E x = 3 0 1 4r xe E y = 3 0 1 4r ze E z = 0 1 = x B 3 0 2 1 4r ze c v B y = 3 0 2 1 4r ye c v B z = 2 3 222 0 2 1 )()1(4 )1 ( c xv r xe E vv v v + = c Ev B 1 1 v v v = 在 2 q处 2 1 1 2 0 2 0 1 1 , 14 c Ev B y eq E y v v v v v = = 2 q受力 2 0 2 0 21 11212 14 )0( y eqq BEqF y =+= v vvvv 同理 2 q产生场 0, 4 2 3 0 2 2 =B r xq E v v v 在 1 q处0, 4 2 2 00 2 2 =B y eq E y v v v 1 q受力 2 00 21 2121 4 )( y eqq BvEqF y v v v vv =+= 24. 试比较下列两种情况下两个电荷的相互作用力1两个静止电荷 q 位于 y 轴上相距 为 l2两个电荷都以相同的速度v v 平行于 x 轴匀速运动 解1此属于静电场情况两电荷之间的静电库仑为 2 0 2 4l q F =为排斥力 由上题求得原点处 q 在 yl 处产生的电磁场为 22 0 14l eq E y = v v z evE cc Ev B v v v v 22 1 = = yl 处 q 受洛仑兹力为 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 22 - 2 0 22 2 2 4 1 )1 ()( l eq EqevvE c q EqBvEqF y z v v vv vv v vv =+=+= 2 0 2 4l q F pQ 0)(h即 散射后频率降低 26. 动量为k v h能量为h的光子撞在静止的电子上散射到与入射方向夹角为的方向 上证明散射光子的频率变换量为 2 sin 2 2 2 0 = cm h 亦即散射光波长 课后答案网 电动力学习题参考 第六章 狭义相对论 - 23 - 2 sin 4 2 0 cm h +=为散射前光子波长 k 2 0 m为电子的静止质量 解设碰撞后光子动量变为k v h 能量变为h电子碰撞后动量为p v 能量为 42 0 22 cmcpw+= 四维动量),( c i pp v = 由碰撞前后动量守恒得 21 pp= +=+ += )2( , ) 1 ( , 42 0 222 0 cmcpcm pkk hh v v h v h 对1式由余弦定理cos2)()( 2222 kkkkp+=hhh cos2 2 2 2 22 2 2 ccc +=h hh 代入2式得 2 0 42 0 222 cos2)()(cmcm+=hhhhh 平方整理得 2 sin 2 2 2 0 cm = h 代入 = cc2 , 2 得 2 sin 4 2 0 cm h += 27. 一个总质量为 0 M