电力平方反比定律偏离平方反比对高斯定理的影响

将? ?式代入招?式 整理可 得解算电子在场内的轨迹 ? ? 式可写作 亡? 刀口? 下一, 、产一? 一 ? 刀 了? ? 衬 十, 己 二 全? ? ? ?一 ? ? 。 月 洛 伦 兹力不做功 , 根据能量 守恒定律及 电子 初 速度为零的条件 , 有 李 。? 二。 。?一。? ? 艺 ? 以阴极为零电势 , 则有 。? 丫? ? ? ? ? 一“。“ 将? ?式 代入得 ? , 一 又? 在临界条件下 , 电子轨迹与阳极相切 , 故在 ? ? 处 有 。二,。, 且已设 ? ?一? ? 二 ? , 于是在 ?二? 处 沙口? 刀尸 上? 犷?一?“? ? ? ?。 , ,、 ? “ 。 ? 一 叭 尹 ?一 ? 吃尹“一口? ? 亡 尹“ 利用 。 。 。二 丫 ?。? ? ? 将 ? ?及? ?式 代 入? ? 式 , 整理得 ? 一 奈 , 一霏 , 则上式 变为 ? ? ? 一? ? ? ? 亡 叨 ? ? ? ?夕 ? 产 ? ?一?“?“? 子 ? ,? ? ? 二了, 、 ? 。, , 、 , ? ? 亡 产 代入势函数 ?的具体形式 , 可得 电子 在管内运动的微分方程 , 但难以再 继续积 分 得到轨迹的解析函数 ? 利用求解微分方 程的 近似 计算方 法 , 可在计算机的帮助下计 算 ?一 ?的关系并且可以描绘轨迹曲线 ? 试算证 明 , 在不 计空 间电荷对电势分布的影响 时 , 轨 迹是一种 十 分接 近圆周的心形线 ? 参考文 献 ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? , ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 伊 维罗诺娃主编 , 物 理 实验?第 二 册? , 高等教 育出版社 , 加? ? 北方 交通大学实验物理 教研室 , 物 理实验 , 北方交 通大 学 教 材科 , ? ? ?年 。 阮永丰 , 良万风 , 大学物理 , ? ? !年第?期 ? 习 ?曰? 厂 寸 ? 此 式即电子比荷的精确计算公式 ? 但在实验 中 , 二极管阳极半径?一般比阴极丝半径大得 多 ?例如在北方 交通大学所用的一套实验装 置 ?巾? ? ? ? ? 一? ? , ? ? ? ? ?又? 一? ? , 可见砂公护 , 在? ? ?式中可略去 。 值 ? 于 是 ?式即可化为?式 。 值得指出 , 上述从角动量定理 出发的推 导方 法 , 只要 求等势面为同轴 圆柱面 , 不论二 极管内空间电势函数 ? ? ?的具体 形式如 何 , 均有? ? 式 的结果 ? 而? ?式到? ?式的近 似 , 略 去 的是小了?个数量 级的部分 , 并不 会由此 产生可以同实验误差相比 的误差 ? 因 此 , 这个公式具有较为 普遍的应用范 围 ? 进 一步利 用? ?式 及? ?式 , 还可简捷地 得 到 电子运动轨迹的常微分方程 , 从而具体 电力平方反比定律偏离平方反比对高斯定理的影响 北方交通 大学金以娟王敬益 摘要本文在电力平方反 比定律偏离平 方反 比的情况下推导了点电荷电场中通 过球面 ? 的电通 量的表达式 , 与高斯定 理相比 , 讨论了偏离平方反 比带来的影 工科物 理 ? ? 年第 ? 期 响 , 并在宏观 、 微观?原子核线度?范围内 计算了偏离系数 ? 在任意曲面 ?的情况 对偏离系数进行了估算 ? 计算结 果表 明 , 在近代实验所确定的指数 偏差下 , 偏 离平方反比对高斯定理的影响很小 ? 面?为高斯面 , 分 三种情况讨论 ? ? ? 球 面夕包围点电荷 ? , 且?位于球 心 ? 球面 上各点的场强为 ? 一卫一 , , ? 汀么 ?“一“ 库 仑定律?又称 电力平方反比定律?是电 磁学的基本实验定律之一 , 是静电场 理论发 展的基 础 ? 描写静电场性质的高斯定理和 环 流定理都是在 电力平方反比定律的基础 上推 导出来 的 ? 在推导过程中点电荷 ?的 电场 强 度 与 电势分别 为 ? 二 ? ? 些? 一? , ? ? ?旦一? ? 等。? ? ? 其 中成的单位为 ? “? ? ? ? “一“ ? , 式的数值 由 ? 二 ?。 时所测得的两点电荷间的作用力 确定 , 可 知式的数值 与。 。相 同。 这 时通 过球面?的百通量为 杯 ? ? 一 杯 一? ? 里一 ? ? ? 变? 。? ? ?兀毛尺 乙 一“ 己二 ? 与高斯定 理 ?兀。? 乙 ?兀? ? 场强公式 中分母上 ? 的指数理论值取为? , 如 果 电力不严格遵从平方反比律 , 设分母上 ? 的 吓 ? ? ? ? 夕? ? 。 相比 , 相差 一 个因子粤 ? , 召? 这是一个纯数 , 记为夕 ? 令 下 指数与?有一偏差 ? , 则点电荷 ?的静 电场 场 强为 ?一刀 , 刀称为偏离系数 , 则? ?式为 厂 ? 一卫一? ?兀。? ?一 “ 尹?烤? 厂 。 , 。 ? , 针 乙 。? 彝 又一 脚 占 库仑用实验 确立电力平 方反比定律时 , 根据扭秤实验所能确定的指数偏差 ? 不超过 ? 丫? ? 一“ ? ? 在扭秤 实验以后 , 曾有多位科学 家 用实验验证 电力 定律 , 近代在实验仪器不断 精 密和实验技术不 断提高 的基础 上 , 实验精 度提高了很多 , 得出?狗电力定律偏离平 方反 比的偏差范 围 见表 ? 刀 。 本文讨论偏差 ? 对高 斯定理的影响 ? 表 ? 其中刀 二? 一 匀 一 ? ?, 己? 它 与偏 差?有关 , 还与所 取的高斯 球面的半径 有关 ? 取不 同的偏差? 、 不同 的球面半径 ? , 计算偏离系数刀 , 结果 见表 ? ? 表? 年代 实 验 者偏 差范围? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 一石 ? ? ? 一 “ ? ? ? ? ? ? 一忍 ? 。? ? ? 一? ? ? ?和? ? ? ? ? ? 和? ?仁? ? ? 和? ? ? ? ? ? ?等 人 ? ? ?等人 ? ? ? 一 “ 高斯面为球面时偏 离系数的计算 在点电荷?的 电场中 , 取半径 为 ? 的球 工科物理 ?日?年 第? 期 一蔽一 叫下买 ? 百不 ? 不一毓灌万 卜 一竺 竺一? 一兰竺 圣一 “ ? 一” ?二卫 二 ? 一卜 一 ? 生些一一 卜 ? 理二 ? 阵 一兰竺一 一 ?卫生 立 一 ? 竺里竺些二一 ? “ 。 一 “ 一些立 一卜 止兰匕 卜 里生一 ?一二兰二 ? 卜 二旦二 一 ? 一二竺立一? ? “ ? 一 “ 卜 一竺二一 一二竺兰一? 】 主? ? ? ? 一 ?注 ? 当a取负值时 , 计算出的户与 表 中值相差不 到一个 数量级 , ) 由表2看出 , 偏差a越大 , 偏离高斯 定 理 的 偏离系数刀也越大 . 对于近代精 确测量所 确定的偏差a = 3又1 0 一”, 刀 1。 “. 这说明 , 不论在原子核的线度范围内(尺 l。 一3 m) , 述是 在宏观范围内(R一1。 “ m) , 在较高的计 算精度内与高斯 定 理相 当吻 合 . 由(3)式 , 当 a0时, R “”1, 得 ,i m 吓 : ds = 1im 优十0 二 仪令0 占 旦 一 斗 * 飞 二 旦 0co j c o 即(3 )式回到高斯定 理的形式 。 2 . 点电荷 Q在 球面 泞 内 , 但不在球 心 。 选Z轴使Q在Z轴 上位置C , 如图 1所 不 。 取面 元 d习 , d万与E的夹角为d , 由图 可知 图 1 表 3 偏差“半径 R(m ) 偏离系数日 0 。 700 eos d 二 R Z + r么一 C 么 ZR r 4 x 1 0 - 0 。 1 7 3 一0.105 通过球面s的厂通量为 吓 d, = 吓 SS 一卫二- 一 。: dd s 4兀。孟 rZ一 l。一 6 “ 。 一 厂 2义1 0 3 。 02 火 1 0 一 压 2 。 28 又 1 0 一日 其中 ds二侧si nodod甲 , 由 尸= 俨 十介一 Z RC e o so 一1 1。一 6 “ 。 一“ 3 x 10 一 “ 3 。 02 x 10 一“ 5 i n 夕 d 口二 一止三. RC d r , 代入上式 得 ,02 _ 竺竺 二竺: 一 甲 , d 汀 Q曰 l 4 兀孟 夕 刀书厂 召 n r 一 U R “ + 尸 一 C “n 。 . , , 。 口 厂及 一 卜C 天“+尸一C 么, . 一 八 一5 11 1以Q份 = 一 二舀一一 一 0 犷 Z R r 4 。急 CJ尺 一 c rZ一 “ S d 得 E 可 仔 钟 s = 全 ._ _竺 万 。 4 己, 0C 1 l刁 一 口 (天+c) , 。_ 、 ,二 一 R 之一 C 之 r 1 1 一 1 一又式一L) 一 十 _ 一 l卜 1 一a L (R 一C ) 一“ ( R + C ) 一 于J (4) 与高斯定理相比 , ( 4 )式 也多了一个因式 , 令 刀= l一 4 孟 C 工十a (天+C)1 十“ , 。, 、 1二。 一 R Z 一C “ 11 1 气八一少 一 i十 一 l卜 J l一 a l(左一C ) 一 “ (R + C ) 一“ J J 对不同的偏差。 、 不同 的咏面半径叔取 。一爹左) , 计算偏离 系数 刀 , 结果见表3 . 乙 由(4)式 , 当a”o时 , 有 lim 议一卜0 多 命 ZC+逻军 兰 ! 4C 七韶分 一 友 粉 二 爵 一一万 dE 少 洲料 。 S 工科物理 1092 年第 4 期 即 当 a一,。时 , (4 ) 式 回到高斯定理的形式 . 3 .点 电荷Q在球面S外 , 选 二 轴 使 Q 在z轴 上位置C , 如图 2所示. 与2 .的 情形类似 , 通过球面 s 的E通量为 劳 : d, = 芬 SS 五eo sd ds = 击! C 十 R n 2 . ? , , 八 一 十r - 一七 一 一 以r C 一 R 、 , 尸 a r l七、 J l w e l , J + 飞 le eJ 二 垒 . 止如一 。 4 : 毛 C - 匕) (c 、: ) , 一 (。一* ) , 二 1 十 a L R “一 C “ 一 l 1 一a l 11 勺 . . , . .叫. . . . . . . . . .州一一 - . 月 一一 一一 ( C 一R )卜 认 ( C 十R ) - 表 4 偏偏差叱 叱 半 径R(m ) ) )偏 离 系 数声声 4 4 4 只 1 0 一 2 2 2 10 一 . . . 1 。 67 x 10 一名名 1 1 1 1 10 一“ 4 . 61 x 10 一, , 1 1 1 1 1 0 “ 6 。 67 义 1 0一一 2 2 2 x 1 0 一一1 0 一, , 5 . 88 x l0 一 “ 1 1 1 1 10 一 竺竺 6 。 11 x 10 一 g g g 1 1 1 1 10 2 , 16 x 10 一 “ 3 3 3 x 1 0 一 。 10 一 “ 7 。 2! 只 1 0一一 o 一“ 7 。 45 x 10 一 “ 。 2 。 30 火 1 0 一 日日 因为Q在球域外 , 球面s不包 围点电荷Q , 这 时 高斯定 理为 。 ds = O E 抹 汗 川 s f i _ _ _ _ ,. I R “一 C Z 11 一 1 布 令 月= . 一二一 一 之一二一 ( C 十人 ) 上卞 “ 一 (C 一 找 ) 几下“ ! + ,吧,- ,二,二二, 一,二,一二二气, 砂 ?一尸注D 户尸 1 书口 1一a L( C 一代) 儿认 (C+ 人) 工一“ j 工 铃 O 占 计算偏 离系数刀取 一 鲁 “, , 结果见表 4 。 1。 一”时, 偏离系数刀 已相 当小 , 在 一定 的计 算精度内 , 偏离平方反比定律对高斯 定 理的 影 响很 小 . 由(5)式 , 当a争O时 , 有 1ir n “卜 O Q f 厂。: L 山 目一 4式C 七 (。2 一 : 2 ) 二匕干 一 。 C+火 J 高斯面为任意曲 面时偏离系数 的估算 1.在点 电荷 Q 的电场 中 , 取一任 意曲面 S包 围 电荷Q , 如图 3所示 . 通过曲面S的石通量为 一一 S d E . 一 对针 s C一R (6) 即 林甘 s 一一 SdE 林万 s 即当 a、0 时 , ( 5 ) 式回到高斯 定 理的形 式 。 由表 2 、 3 、 4 可以着出 , 当偏差a 二 3 x 工科物理 1日92 年第4期 玉匕- 一, . d s 4井 。孟;“ 由函数的幂级数展开 设刀= 一g (动 , 得 叮 “ d s = 爵 “ 一 “ 为了估算偏离系数刀的大小 , 我们假设 任 意曲面 s 上各点到点电荷 g的距离 r 的 数量级相 差不大 , 万取不 同数量级 , 对不 同的 偏 差a估算偏离 系数刀 , 结果见表5 . 图 3 矛矛数量级(m ) ) ) In x . , (I nx ) 2 二1 一卜 U _ _ _ 十 a “ 十 。. 十 a ( I nx ) ” 22 1 0 。 698 0 。 168 0 。 202 得 熟 。 (I n r ) “ r =1 十ain r十 a- 十 5 。 99 x 10 一“ 9 . 21 又 1 0 一 g n犷) 十口几二二二二一 令 兰q; = 急 邓 ! 1十多(尹) 代入(6 ) 式 得 4 4 4x10 一盆盆 10 一 3 3 3 1 1 1 1 10 一名名 1 1 1 1 10 2 2 2 2 2 2 火 1 0 一“ 10 一 3 3 3 1 1 1 1 10 一含含 1 1 1 1 1 0 , , 1 1 10 一 “ 1 1 10 一2 2 2 1 1 1 0 , , 9 . 21 x 10 一 g g g 1 1 10 一 “ 8 。 98 x 10 一“ 1 1 10 一2 2 2 1 . 38 x 10 一 1 1 10 2 2 2 1 。 38 火 1 0 一 “ 歼 “ d“= = 好 SS 品鳖- *.d s 4兀 o犷2 + 杯 :( 卜攀, d: _ 任刃己。r - 占 2 . 在点电荷 Q 的 电场中 , 取任意曲面s不 包围电荷 Q , 如图 4 所示 . 从 O 点向曲面 S 作 切 线 , 切点构 成 L 闭合曲线 , 将曲面S 分为 s , 、 凡两部分 , 则 通过曲面 s 的E通 量为 一夕一 . 子 . d万 4兀 。尹2 / 9 Q rZ二 _ 刁盯 .、厅 味少 可 一 u甘丁旧“ 之 少4刀几r乙 才 占飞百2 一邃 竺上 于 . d s 4刀e急 r之 二 Sd 莎 厂 肾 s g 仔 一针 s 十 Q一 气 与高 斯定理 相比 , 在(7 )式 中多了一个偏 离 项 , 利用积 分中值定理 , 得 杯 乙 d, 二 旦 . + ;( ;) 尹 口 占。 “ 占S 皇一、 .d 4刀 。尸 二 旦口 + 烈) 其 中 酬沙 一。l n 十。:少卫1十 .(In 开) 月 十a - - 十 子为积 分定 义域 中的一个值 图 4 工科物理 1992 年第4期 利用函数幂级数雇开和积分中值定理 , 得 表弓 加 d= ) 占5 . 户 .d s 4刃or 么 口 l 凡 一史矛 . d s + 4刀。r Z 一旦一, . d s j 4兀or 乙 + g (矛:) 一旦一, . ds 2 J4兀。r 乙 竺 竺竺 兰 一 卜 竺 鹦竺 卜 i ) 里竖竺宜 一 一竺立一卜圣 竺 二 - 卜 星竺竺三一 “ 0 一“ 1一竺二 卜 竺二 一 - 卜 望竺二 竺 二 一一一 一 兰l 品卜三 卫 一一! 全竺望三-一 一竺 竺 卜 竺二 一一 兰竺竺竺一 2 “ 0 一 一竺二一 一竺二 一竺竺坚里 一一 一二竺 一-. . 里立 一一 卜 竺竺竺二 . 一 石 . 止卫 二一止竺三 目 . - 兰 竺 竺 一竺 二一 一 3 x 。 一卜. - 竺兰 、卜 竺止一J里兰竺卫卫 二 兰 一一 , _ _ 工。 王。 全资 “尧 . 竺二 _ Q一 气 Q一 礼 护 一 ds = 叭口 其中 4刀o; 2 9 是以 L曲线为边界的s; 、凡曲面对 O点所 张的立体角 , 牙, 、牙:分别为 S;面 、 s : 面 积分 定义域中的某一个值 . 由此可得 g(不 :) 一g (万:) (8) 。 一 奴