第二章随机变量及其概率分布(概率论)

1 本质本质:随机变量即为定义在上的一个单值函数随机变量即为定义在上的一个单值函数. 第二章随机变量及其概率分布第二章随机变量及其概率分布 1.定义定义 设设,若对其中每一个基本事件都有 唯一的实数与之对应 若对其中每一个基本事件都有 唯一的实数与之对应,则 称 为 则 称 为随机变量随机变量, 或记为或记为X. )( X)( X 1 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数 ., YX其他表示随机变量的符号其他表示随机变量的符号: 例例2 某车站每隔某车站每隔10分钟开出一辆公共汽车分钟开出一辆公共汽车,旅客 在任意时间到达车站 旅客 在任意时间到达车站,表示该旅客的候车时间表示该旅客的候车时间. 候车时间候车时间 Y 0, 10 E1 :掷硬币掷硬币 = = tail 0 head 1 X例例1 二、随机变量的分布函数 定义 二、随机变量的分布函数 定义 设设X是随机变量是随机变量, x 任意实数任意实数,则称则称 )()(xXPxF=为为X的分布函数的分布函数. 分布函数可以表示分布函数可以表示X在任何区间的概率在任何区间的概率 比如比如: )( 1 xF )()(xXPxF = = )()( 12 xFxF = = )(1 2 xF = = )( 2 xXP = = )( 1 xXP = = )( 21 xXxP = )(1 2 xXP )()( 12 xXPxXP = = )()( 12 xXxXP 2.对任意实数有对任意实数有 分布函数的性质分布函数的性质 . 1)()(0 . 1=xXPxF )()(xXPxF= ).()()( 1221 xFxFxXxP= )(, 2121 xxxx 4. F(x)是右连续的函数是右连续的函数,即即 )(xF = =)(P . 0 = =+ + )( . 3 F )(limxF x+ = = + )(limxXP x , 1 )(lim)(xFF x = = = = )(limxXP x = =)( P = =+ + )0(xF= = + + )(limtF xt 2 5. F(x)是单调不减函数是单调不减函数,即即 ).()( 2121 xFxFxx )0 注注: 例题以后讲例题以后讲 =)()( ( 12 xFxF)( 21 xXxP因为 时 因为 时, 2 离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量及其概率分布 1. 定义定义 若某个随机变量的全部可能值是若某个随机变量的全部可能值是有限个 或 有限个 或无限可列个无限可列个,则称之为则称之为离散型随机变量离散型随机变量. 一、离散型随机变量及其概率分布一、离散型随机变量及其概率分布 2.概率分布律概率分布律:是对离散型随机变量概率的全面 描述 是对离散型随机变量概率的全面 描述. 概率分布律提供的信息概率分布律提供的信息 1.离散型随机变量离散型随机变量X的所有可能值的所有可能值. 2.各个值处的概率各个值处的概率. 0 0.1 0.3 0.6 x P(x) 12 概率分布律的三种表现形式概率分布律的三种表现形式 XX1X2XK P(X) P1P2PK 3. 图图 1. 公式公式2 , 1 , 0,)( 3 5 2 3 3 = k C CC kXP kk 2. 图表图表 2.概率分布律概率分布律:设离散型随机变量设离散型随机变量X的所有 可能值为 的所有 可能值为xk(k=1,2,),且取各个值的概 率为 且取各个值的概 率为P(X=xk)=pk,且有且有 ), 2 , 1( 1 )2L= kpk 称称P(X=xk)=pk(k=1,2,)为为X的概率分布律的概率分布律. , 0 )1 k p 1. 根据分布律求事件的概率根据分布律求事件的概率. 常见的问题常见的问题 2. 根据题目求分布律根据题目求分布律. 3. 根据分布律求分布函数根据分布律求分布函数. 4. 根据分布函数求分布律根据分布函数求分布律. 3 例例 在掷一颗骰子的试验中在掷一颗骰子的试验中,X表示出现的 点数 表示出现的 点数, 则则X的概率分布为的概率分布为 X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 则则P(2.9X5.5)= P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1/2 例例 一汽车途中需经过一汽车途中需经过3盏信号灯盏信号灯.每盏灯 以 每盏灯 以1/2的概率允许或禁止车的通过的概率允许或禁止车的通过. X=该 汽 车 首 次 停 下 时 通 过 的 路 口的个数 该 汽 车 首 次 停 下 时 通 过 的 路 口的个数.求求: X的分布律的分布律. 解解:依题意依题意, X可取值可取值 P(X=0)= Ai =第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3 设设 路口路口1路口路口2路口路口3 0, 1, 2, 3. P(A1)=1/2, 8 1 2 1 2 1 2 1 = X=该汽车首次停下时通过的路口的个数该汽车首次停下时通过的路口的个数. 路口路口1路口路口2路口路口3 路口路口1 路口路口2 路口路口3 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设 4 1 2 1 2 1 = )1(XP= =)( 21A AP = )2(XP= =)( 321 AAAP 路口路口1路口路口2路口路口3 即 不难看到 即 不难看到 . 1)( 3 0 = = = i iXP X=该汽车首次停下时通过的路口的个数该汽车首次停下时通过的路口的个数 Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设 X0123 Pk1/21/41/81/8 8 1 2 1 2 1 2 1 = = = )3(XP= =)( 321 AAAP 当时当时, 当时当时, 当时当时, 例例 设随机变量设随机变量X分布律如下分布律如下 解解: . 11 103 . 0 00 )( = = x x x xF X01 P0.30.7 求求X的分布函数的分布函数. 01 xxx 00 x= = = =)()(xXPxF 0.3 10 x= = = =)()(xXPxF= = = )0(XP 1 1 x= =)()(xXPxF= = =+=+=)1()0(XPXP 所以所以 分布函数图形如下 分布函数为 分布函数图形如下 分布函数为 = = x x x xF 11 103 . 0 00 )( F(x) x 1 1 0.3 0 4 例例 设设X的概率分布律如下的概率分布律如下,求求X的分布函数的分布函数. = = 2 21 10 0 )( x x x x xF 解解 X012 P0.40.350.25 0 0.4 0.75 1 (1)离散型随机变量的分布函数是分段函数离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由 分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从函数值从0到到1逐段递增逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增 图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值 取值区间中新增加点的 对应概率值. 由此可见由此可见 例例 设设X的分布函数如下的分布函数如下,求求X的概率分布律的概率分布律. = = 51 537 . 0 312 . 0 10 )( x x x x xF 解解 X P -1 3 5 0.20.5 0.3 4 常见的离散型随机变量及其分布常见的离散型随机变量及其分布 1. (0-1)分布分布 1 , 0,)1()( 1 = kppkXP kk X10 P(X)p1-p 适用于只有两个试验结果的的随机试验适用于只有两个试验结果的的随机试验. 或 若 或 若X的分布律为 则称 的分布律为 则称X服从服从参数为参数为p的的(0-1)分布分布. 若若X的可能值为的可能值为0,1,2,n,且分布律为且分布律为 ., 1 , 0,)(nkqpCkXP knkk n L= 则称则称X服从服从参数为参数为n, p的二项分布或贝努利 分布 的二项分布或贝努利 分布,记作记作XB(n, p). 2. 二项分布二项分布 . 1, 10 =+=+ )( )( XPX 3.泊松分布泊松分布 则称则称X服从服从参数为参数为的泊松分布的泊松分布. :平均个数平均个数 , 2 , 1 , 0, ! )(L= k k e kXP k 其中其中 = = = = 0 ! k k k e = = e e 性质性质0)(. 1 = = kXP . 1 )(. 3 0 kXP= = = = = = 0 ! . 2 k k k e = = , 1 0 k 最大最大,这里 是整数 不是整数 这里 是整数 不是整数 6 例例4.2 已知某电话交换台每分钟收到的呼叫 次数服从 已知某电话交换台每分钟收到的呼叫 次数服从参数为参数为4的泊松分布的泊松分布,求求 1) 每分钟恰有每分钟恰有6次呼叫的概率次呼叫的概率; 2)每分钟有每分钟有5次以上呼叫的概率次以上呼叫的概率. )4( PX = )6()1XP = )5()2XP 解解: X=每分钟收到的呼叫次数每分钟收到的呼叫次数, = = !k e k = = ! 6 4 46e 1042. 0 )5()0(1= =XPXPL )5(1 XP 2148. 0= = 二项分布和泊松分布的关系二项分布和泊松分布的关系 设是常数设是常数,n是正整数是正整数.若若,0 = = n np ! )1(lim k e ppC k kn n k n k n n = 即即n很大很大,Pn很小时很小时,二项分布近似服从泊松分布二项分布近似服从泊松分布. 泊松定理泊松定理 则对任一固定的非负整数则对任一固定的非负整数k,有有 (n=20, Pn pp k = = = 1 1 )1( k k pp 1= = )1(1 1 p p= p p 1 . 1, 1 0 = = = = q q a aq k k q qa aq nn k k = = = = 1 )1( 1 0 3 连续型随机变量及其概率分布连续型随机变量及其概率分布 设设F(x)是是X的分布函数的分布函数,若有非负可积函数若有非负可积函数f(x), 对任意对任意x,有有 = x dttfxXPxF)()()( 则称则称X为连续型随机变量为连续型随机变量,f(x)为为X的的概率密度函数概率密度函数. 一、连续型随机变量及其概率分布一、连续型随机变量及其概率分布 可见连续型随机变量的分布函数可见连续型随机变量的分布函数F(x)是连续函数是连续函数. = =1即即 , 2 1 22 )1(sin 2 0 )( + = + = x xxA x xF 例例1.2 P39 ).0( XP 求求A使使F(x)连续连续, 解解: , 222 = = = = + FFF 2 )( = =xxF在在处连续处连续. . 2 1 = =A= =A2, 1 . 2 1 0)10(sin 2 1 =+=+ =)0(XP = = )()0( FF + = + = 2 1 22 )1(sin 2 1 2 0 )( x xx x xF故故 2.概率密度的性质概率密度的性质 0)( )1 xf 1 )()2= = + + dxxf= =+ + )(F 8 3) 连续型变量的概率与面积连续型变量的概率与面积 b a dxxf)( + b dxxf)( )( a dxxf =)(bXP=)(1bF )(= aXP )(= =aF P(-8X-9) X f(X) -9 P(X50) X f(X) 50 f(x) 下方面积之和为下方面积之和为 1 . 1)(= = + + dxxf f(X) Total area=1 因为因为 4)若若f(x)在在X处连续处连续,则则).()(xfxF= .)()()( = x dttfxXPxF因为因为 9 = + + + + dxxf xa a x )(lim 0 5) P(X=a)=0 )()( )()( bXaPbXaP bXaPbXaP = = = = 于是对连续型随机变量于是对连续型随机变量,有有 0 =)(aXP)(lim 0 xaXaP x + + + 说明说明 2)若若P(A)=0, A不一定是不可能事件不一定是不可能事件; 1)概率密度名称的由来概率密度名称的由来 . )( lim 0 x xxXxP x + = + = + + 3)若若P(A)=1, A不一定是必然事件不一定是必然事件. = = = =)()(xFxf x xFxxF x + + + + )()( lim 0 4. 利用求利用求f(x)的未知数的未知数. 计算问题类型计算问题类型 5. 由由f(x)求求F(x). = = x dttfxF)()( , 1)(= = + + dxxf 1.利用利用 f(x) 求求X的概率的概率. )()(xFxf=3. 由由F(x) 求求f(x). 2.利用利用F(x)求求X的概率的概率. 1. 利用利用f(x) 求求X的概率的概率. = = = = )()()1aXPaXP )()()3bXaPbXaP = = = = )()()2bXPbXP a dxxf)( dxxf b + )( dxxf b a )( = = = =)()(bXaPbXaP 2. 利用利用F(x)求求X的概率的概率 ).()(aFbF= );(1bF );(aF=)()()1aXPaXP )()( )()()3 bXaPbXaP bXaPbXaP = = = =)()()2bXPbXP 例例 设随机变量设随机变量 = = 1|0 1| 1 )( 2 x x x A xfX 求求(1)A; (2)P(-1/2X1/2); (3)P(-3X2) 解解: + + =dxxf)(1 )1( = = 1 1 arcsin xA . 1| 0 1| 1 1 )( 2 = = x x x xfX 于是于是 ./1 = =A即所以即所以= = A, 1 1 12 1 dx x A 10 =) 2 1 2 1 ()2(XP =+=+) 66 ( 1 1 12 1 1 dx x = = 1|0 1| 1 1 )( 2 x x x xfX 2/1 2/12 1 1 dx x =)23()3(XP 自己看例自己看例3.2 = = 2/1 2/1 )(dxxf = = 2 3 )(dxxf = 2/1 2/1 arcsin 1 x 3 1 1= = , , 0 10 ,2 )( = 其他 = 其他 xx xf 例例3.1设随机变量设随机变量X具有以下概率密度 求 具有以下概率密度 求X的分布函数.的分布函数. = = x dttfxF)()(解:解: 01 xxx = =)(xF= = x dttf)(, 10 x . 1 x , 0 x , 00= = x dt = 其他 = 其他 , 0 , 10 ,2 )( xx xf + + 0 0dt = = x dttf)( = = dttf x )( = = x tdt 0 2, 2 x + + 1 0 2tdt+ + 0 0dt= = x dt 1 01 = =)(xF , 2 x 1 , 10 x , 1 x , 0 x , 0 = 其他 = 其他 , 0 , 10 ,2 )( xx xf f(x) x Three continuous distributions f(x) x f(x) x 4 常见的连续型随机变量及其分布常见的连续型随机变量及其分布 P48 = = 其他其他 0 1 )( bxa ab xfX = = bx bxa ab ax ax xF 1 0 )( 1. 均匀分布均匀分布uniform distribution 则称则称X在在(a,b)上服从均匀分布上服从均匀分布,XU(a,b). 0a b x f(x) ab 1 11 例例 设随机变量X服从设随机变量X服从a,b区间上的均匀 分布,求 区间上的均匀 分布,求X的分布函数.的分布函数. 解解: ab 1 xab F(1) f(x) = x dttfxFbx)()(,)3(时时 xx 00 = = x dt = = x a dt ab 1 1 1 = = b a dt ab x = 其他 = 其他 0 1 )( bxa ab xfX ab ax 所求分布函数为所求分布函数为 = bx bxa ab ax ax xF 1 0 )( x o )(xF a b 1 特点特点:则若则若),(),(),(badcbaUX ab cd X落在落在(a,b)中的子区间的概 率等于 中的子区间的概 率等于子区间的长度与子区间的长度与(a,b) 区间长度之比区间长度之比,与子区间在与子区间在 (a,b)区间内的位置无关区间内的位置无关. ab 1 xab F(1) f(x) =5), P(X5) P(X=2) =5/10=1/2 =2/10=1/5 设设k在(0,5)上服从均匀分布, 求方程有实根的概率. 在(0,5)上服从均匀分布, 求方程有实根的概率. 0244 2 =+=+kkxx 解解: .12kk或即或即 ,0)2(1616 2 +=+=kk 则有实根的概率为则有实根的概率为 例例 . 0 50 5 1 )( = 其它 3)= 3 2 设设Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A出现的次数出现的次数, 所求为所求为P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3) + =+ = 12 2 3 3 1 3 2 C 则则YB(3,2/3). 由题意知由题意知,. 0 52 3 1 )( = 其它 = 其它 x xfX = = 03 3 3 3 1 3 2 C 27 20 12 解:解:= + + dxxf)(1 = = . 0, 0 , 0,3 )( 3 x xe xf x = + dxxfXP 1 . 0 )()1 . 0( 例例 = = + + dxke x 0 3 3 . 0 e= = + + dxe x 1 . 0 3 3= = + 1 . 0 3 3 3 x e = = + 0 3 3 x e k , 3 k = = . 0, 0 0, )( 3 x xke xfX x 求求k,P(X0.1),分布函数分布函数F(x). 得得k=3, , = x dttfxFx)()(, 0 0 xx = x dttfxFx)()(, 0 . 00= = x dt = = = xt e 0 3 3 3 + + 0 0dt = = . 0 , 0 , 0 ,1 )( 3 x xe xF x 故故 , 0, 0 0,3 )( 3 = = x xe xfX x 求分布函数求分布函数F(x). x tdt e 0 3 3 .1 3x e = = . 0, 0 , 0,3 )( 3 x xe xf x = = . 0 , 0 , 0 ,1 )( 3 x xe xF x 故故 常数常数0 , 0 0 0 )( = = x xe xfX x 则称则称X服从服从参数为 的指数分布参数为 的指数分布. 2.指数分布设指数分布设 = = 0 0 0 1 )( x xe xF x 分布函数分布函数 某些元件或设备的寿命服从指数分布某些元件或设备的寿命服从指数分布. f(x) x . )( E记作记作 指数分布随机变量的特点指数分布随机变量的特点: = = 0 0 0 1 )( x xe xF x = = =)(1)(aFaXP ,1 a e , a e ba ee 1.用分布函数求概率最佳用分布函数求概率最佳(ba0) 证明证明: )( )( SXP TSXP + = + = )( )()( )|( SXP SXTSXP SXTSXP + =+ + =+ )(TXP = + + T S TS e e e )( )()|(TXPSXTSXP=+ + 2.永远年轻的函数永远年轻的函数(无记忆函数无记忆函数) 13 例例 设某类日光灯管的使用寿命设某类日光灯管的使用寿命X 服从参数 为的指数分布 服从参数 为的指数分布(单位单位:小时小时) (1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1500小时 以上的概率 小时 以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时 以上 小时 以上,求还能使用求还能使用1500小时以上的概率小时以上的概率. X 的概率密度和分布函数为的概率密度和分布函数为解解 2000 1 = = = = . 0 , 0 , 0, 2000 1 )( 2000 x xe xf x = = . 0 , 0 , 0,1 )( 2000 x xe xF x 4 3 2000 1500 = = ee . 4 3 2000 1500 = = ee = = .0 ,0 ,0,1 )( 2000 x xe xF x = = 1500XP =10002500)2(XXP=1500XP (1)任取一只这种灯管任取一只这种灯管, 求能正常使用求能正常使用1500 小时以上的概率小时以上的概率. (2) 有一只这种灯管已经正常使用了有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时 以上 小时 以上,求还能使用求还能使用1500小时以上的概率小时以上的概率. 解解:设设Xi=第第i只的寿命只的寿命,Ai=200小时内第小时内第i只损坏只损坏, i=1,2,3. , 0 0 0 600 1 )( 600 = = x xe xfX x 例例4.6 3只独立工作的元件只独立工作的元件,寿命服从同一指数分布寿命服从同一指数分布, 求最初求最初200小时内小时内,至少有至少有一只元件损坏一只元件损坏的概率的概率a. =)200()( ii XPAP .1)(1 13 3 1 =ee=)(1 321 AAAP=)()()(1 321 APAPAP= =a 改题改题: P61-17 指数分布的指数分布的参数应为参数应为1/5. = = 600 200 e 3 1 e 正态分布是最常见最重要的一种分布正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差 例如 测量误差; 人的生理特征尺寸如身高、体重等人的生理特征尺寸如身高、体重等; 正常情况下生产的产品尺寸正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布 直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布. 正态分布正态分布(Normal distribution)的应用与背景的应用与背景 3. 正态分布正态分布(或或高斯分布高斯分布) Born: 30 April 1777 in Brunswick, Duchy of Brunswick (now Germany) Died: 23 Feb 1855 in Gttingen, Hanover (now Germany) Carl Friedrich Gauss Gauss Distribution ).,( 2 NX 定义定义4.6 , 2 1 )( 2 2 2 )( = , 的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布,记为记为 14 (2)当时,当时,f(x)取得最大值取得最大值; (1) f(x)关于对称关于对称; 2.正态随机变量概率密度函数的几何特征正态随机变量概率密度函数的几何特征 x = = x 2 1 = = = xe xf x , 2 1 )( 2 2 2 )( ; 0)( xfx xxf = =在在)()4( = xe xf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 处有拐点处有拐点; (3)当时当时, (6)固定固定, 改变改变,f(x)图形 的形状不变 图形 的形状不变,只是沿着只是沿着x轴 做平移变换 轴 做平移变换; (5)f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线; 在改变在改变. 越小越小,图形越高越瘦图形越高越瘦, 越大越大,图像越矮越胖图像越矮越胖. (7)固定固定, 改变时改变时,f(x)图形的对称轴不变图形的对称轴不变, 而形状而形状 定义定义4.7当时当时, 称称X服从标准正态分布服从标准正态分布. 记作记作 1 , 0 = +=+= xexX x , 2 1 )( 2 2 )1 , 0( NX 如果如果,则则 正态分布的分布函数正态分布的分布函数 ),( 2 NX +=+= xdtexF x t , 2 1 )( 2 2 2 )( 15 如果如果,则则)1 , 0( NX +=+= xdtex x t , 2 1 )( 2 2 u u )(u Appendix 1 . 0),()(= = uuXPu u P(X 2.00) = Instruction of Appendix 1 The value within the table gives P(Xu). .9772 0.9772 The blue column shows the value of u to the first decimal point. The green row gives the value of u to the second decimal point. 2.0 . . . u 0.00 0.01 0.02 0.0 0.1 P(X2.24)= 0.9875Exercise XN(0,1) P(X0时时) 1 , 0( NX =)( )2aXP =a)P(X )3 x )( a )(a )(x 0 -aa )(x )(1a 利用求概率利用求概率. )(1a .),(查表查表a )(1a 如果如果,则则当当a0时时) 1 , 0( NX = = )( )4aXP = = )( )5bXaP )()(= = =aa x )( a )(a )(x 0 -aa )(x )()|(| )6aXaPaXP = = )(1a 利用求概率利用求概率. 1)(2 a = = )(aXP ),( )()(Rbaab )(a 16 例例 =)2( =)2(1 )2(1 )1 , 0( NX = )2( )1XP = )2( )2XP =)2( )3XP 0228. 09772. 01= = = )2( 9772. 0 0228. 09772. 01= 9772. 0)2(= 927. 0)9332. 01(9938. 0= = = = 1)23. 1(2 = = = = )2( )4XP )5 . 25 . 1( )5 XP )5 . 1()5 . 2( = = )5 . 1(1()5 . 2( = = 7814. 01)8907. 0(2= = = = )23. 1|(| )6 XP = = )2(XP ).()( ),( 2 = = x xFNX = = xu due 2 2 2 1 = = = = u xt时，时， = = x t dtexF 2 2 2 )( 2 1 )( xu due 2 2 2 1 dt du t u= = =,let = = = = u t时，时， :Note )( = = x 定理定理:如果如果,则有则有 ; . x 如果如果, 则有则有 ),( 2 NX = = =)(1)( )2aFaXP = = = = )()()( 3)aFbFbXaP ),(Rba 作笔记作笔记 )( a )(1 a )()( ab 例例 设设XN(10,22),求求P(10X13), P(|X-10|2). P(10X13)= 2 1010 2 1013 =(1.5)-(0)= P(|X-10|2)=P(8X12) = = 2 108 2 1012 =(1)-(-1) = 2(1)-1=0.6826 解解: 0.9332-0.5=0.4332 例例 4.8 P52 (类似类似) )2 , 1( 2 NX ).11(. 4 );12(. 3 );21(. 2 );0(. 1 XPXP XPXP 如果如果,求求 17 68% 1 ),( 2 NX 95% 2 3 99.7% 例例4.9 设设,求以下概率求以下概率: ),( 2 NX = = =)()(kk ),(XP),2(XP).3(XP 解解: ,6826. 01)1(2)(=XP ,9544. 01)2(2)2(=XP .9974. 01)3(2)3(=XP )()(kXkPkXP+=由于+XP )4286. 1(1 = = = 35 300250 1 =)43. 1( )43. 1(1(1= 2)求一个最小的正整数求一个最小的正整数x,使得寿命在使得寿命在 (300-x, 300+x)内的概率不小于内的概率不小于0.901. ,901. 0)300300(+ )(uXP .01. 0 ,05. 0 , 1 . 0 = = 设设XN(0,1),给定给定,若有若有 u )10( u 的上分位点的上分位点. =1)(uXP 05. 0= u 1 = =)(uXP 2/ u 18 2 , uu 0.101.281.64 0.051.641.96 0.012.332.57 2 u u 常用的常用的. 如何求如何求? 假定假定 u ,975 . 0 )96 . 1 (= = 025. 0= = ? 05. 0 = =u ),(1 025. 0 u= ,975. 0)( 025. 0 = u .96 . 1 025. 0 = =u = =025. 0)( 025. 0 uXP 课后练习课后练习: 则 由于 则 由于 2.5 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布 问题问题:已知已知X的概率分布的概率分布,Y=g(X),求求Y的概率分布的概率分布. X-2-1012 Y=(X+1)2 P(X)0.20.10.30.20.2 例例5.1 求求Y=(X+1)2的分布律的分布律. 于是有于是有 一、离散型随机变量的函数的分布一、离散型随机变量的函数的分布 Y=(X+1)2 P(X)0.10.50.20.2 10149 0149 例例5.2 设设 , 0 31- , 4 1 )( = = = = . 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 1 X X X Y 求求Y的概率分布的概率分布. , 4 1 解：解： = = =)0()0(XPYP . 4 3 =)0()1(XPYP X服从均匀分布服从均匀分布 , 0 于是于是Y的概率分布为的概率分布为 Y-101 P1/403/4 19 思路思路: 1)利用利用X的密度函数的密度函数f(x)来表示来表示Y=g(X)的分 布函数 的分 布函数F(y). 2)然后对然后对Y的分布函数的分布函数F(y)两端关于两端关于y求导数 得到 求导数 得到Y的密度函数的密度函数f(y). 二、连续型随机变量的函数的分布 问题 二、连续型随机变量的函数的分布 问题:已知已知X的概率密度的概率密度,Y=g(X),求求Y的概率密度的概率密度. f(x)F(y)f(y) 回顾重要结果回顾重要结果 = = )( )()( xh a dttfxG )( ).()()()( )( bxa xhxhfdttf dx d xG xh a = = 即 在 即 在a,b上可导上可导, 定理定理 如果如果f(x)在在a,b上连续上连续,则则积分上限函数积分上限函数 求的概率密度求的概率密度. 提示提示: f(x)分段分段,f(y)必然也分段必然也分段. 根据根据f(x)非零时非零时 x的取值及函数关系的取值及函数关系,将将y的取值进行分段的取值进行分段. 例例, 0 , 0 , 0 0 , 1 )( = = x xe xfX x X XY = = . 0 0yx =)(yXP . 0)()(= =yFyf Y ,0时时 y 解解: (法法1) =)()(yYPyFY; 0 常数常数, . 0 0 yy当时当时,故故y分成两段分成两段, 和和 )(yfY dxe y x 2 0 1 = = = =)()(yFyf YY , 0 , 0 , 0 0 , 2 )( 2 = = y ye y yfY y Y ,0