第四章 频率响应法

第四章第四章: 频率响应分析法频率响应分析法 频率响应：系统对正玄信号的稳态响应。 频率响应的优点 频率响应：系统对正玄信号的稳态响应。 频率响应的优点:(1) 物理意义明确；物理意义明确；(2) 可以用试验方法求出系统的数 学模型 可以用试验方法求出系统的数 学模型,易于研究机理复杂或不明的系统；易于研究机理复杂或不明的系统；(3) 可根据开环频率特性研究 闭环系统的性能； 可根据开环频率特性研究 闭环系统的性能；(4) 采用作图方法采用作图方法,非常直观；非常直观；(5)当某些频率范围内有 严重干扰时，用频率响应方法易于设计出性能满意的系统。 定义 当某些频率范围内有 严重干扰时，用频率响应方法易于设计出性能满意的系统。 定义4.1 系统在正玄输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同 频率的正玄函数分量和输入正玄信号的复数比，称为该系统的频率特性 函数，记作 如果系统的传递函数已知，可以 令 系统在正玄输入信号作用下，系统输出响应中与输入信号同 频率的正玄函数分量和输入正玄信号的复数比，称为该系统的频率特性 函数，记作 如果系统的传递函数已知，可以 令s=jw,即即s在虚轴上变化时，就得到 频率特性函数 在虚轴上变化时，就得到 频率特性函数: )( )( )( jR jY jG= 微分方程 控制系统 传递函数频率特性 d/dt sjw s jw d/dt js sGjG = =)()( 频率特性函数的表示方法：频率特性函数的表示方法： 1.代数式代数式 G(jw)=R( (w)+)+jI(w) R( (w)为特性函数的实频特性，)为特性函数的实频特性，I(w)为特性函数的虚频特性。为特性函数的虚频特性。 2. 指数式指数式 A( )=|G(jw)|:幅频特性函数幅频特性函数 ( )=argG(jw): 相频特性函数 代数式和指数式表示方法的关系 相频特性函数 代数式和指数式表示方法的关系: R(w)=A(w)cos ( ) I(w)=A(w)sin ( ) )( )()( j eAjG= )()()( 22 IRA+= )( )( arctan)( R I = 在工程实践中，频率特性函数有多种图示方法，如极坐标图、对数频率在工程实践中，频率特性函数有多种图示方法，如极坐标图、对数频率 特性图、对数幅相特性图，以及幅频特性图、相频特性图、实频特性图和特性图、对数幅相特性图，以及幅频特性图、相频特性图、实频特性图和 虚频特性图等等。应用中最为广泛的是对数频率特性图和极坐标图。虚频特性图等等。应用中最为广泛的是对数频率特性图和极坐标图。 第一节：对数频率特性图第一节：对数频率特性图 1.对数频率特性图对数频率特性图 对数频率特性图又称伯德对数频率特性图又称伯德(Bode)图，由对数幅频特性图和相频特性图组图，由对数幅频特性图和相频特性图组 成的。成的。 横坐标为角频率，按常用对数横坐标为角频率，按常用对数lg分度进行绘制。分度进行绘制。 对数幅频特性的纵坐标为对数幅值对数幅频特性的纵坐标为对数幅值: L( )=20lgA( ), 单位为分贝单位为分贝, 线线 性分度。性分度。 对数相频特性的纵坐标为对数相频特性的纵坐标为 ( )，单位为度，线性分度。，单位为度，线性分度。 伯德伯德(Bode)图表示系统的优点图表示系统的优点: (1)将幅值的相乘转化对数的相加，给将幅值的相乘转化对数的相加，给 作图带来很大方便；作图带来很大方便；(2) 组成系统的基本环节，其对数幅频特性可以用渐组成系统的基本环节，其对数幅频特性可以用渐 近线表示，简化了近线表示，简化了L(w)的绘制过程。的绘制过程。 2. 典型环节的对数幅频特性图典型环节的对数幅频特性图 在控制系统中常见的基本环节有在控制系统中常见的基本环节有: 比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节等。比例环节、积分环节、微分环节、一阶惯性环节、二阶振荡环节等。 (1)比例环节比例环节 频率特性函数频率特性函数: G(jw)=K L(w)=20lgK ( )=0 (2)惯性环节惯性环节 频率特性函数频率特性函数: ( )=-arctan t dB 20lgK 0 L( ) ( ) 1 1 )( + = jwT jwG 2 )(1lg20)(TL+= 0 ( ) L( ) dB 0 0 -20 1/T -45 -90 (3) 一阶微分环节 频率特性函数 一阶微分环节 频率特性函数: G(jw)=jwT+1 ( )=arctan t (4)积分环节 频率特性函数 积分环节 频率特性函数: ( )=-90 2 )(1lg20)(TL+= 0 ( ) L( ) dB 0 20 1/T 45 90 jw jwG 1 )(= lg20)(=L -90 ( ) L( ) dB 0 1 0 -20 (5) 微分环节 频率特性函数: 微分环节 频率特性函数: G(jw)=jw L( )=20lg ( )=90 (6) 振荡环节 频率特性函数: 振荡环节 频率特性函数: 0 ( ) L( ) dB 0 1 90 20 12)( 1 )( 22 + = TjjT jG 2222 )2()1 (lg20)(TTL+= 22 1 2 arctan)( T T = -180 ( ) L( ) dB 0 1/T 0 -40 -90 (7) 二阶微分环节二阶微分环节 频率特性函数:频率特性函数: (8) 延时环节延时环节 频率特性函数:频率特性函数: 12)()( 22 +=TjjTjG 222 )2()1 (lg20)(TTL+= 22 1 2 arctan)( T T = 0 ( ) L( ) dB 0 1/T 180 40 90 j ejG =)( 0)(=L o 3 .57)(= 3. 伯德图的绘制一般步骤伯德图的绘制一般步骤 在绘制伯德图时，要应用对数运算的特点，将组成系统的开环传递函在绘制伯德图时，要应用对数运算的特点，将组成系统的开环传递函 数写成典型环节的乘积形式，画出各典型环节的对数幅频特性图和对数相数写成典型环节的乘积形式，画出各典型环节的对数幅频特性图和对数相 频特性图，将各典型环节的对数频率特性图叠加获得系统的对数频率特性频特性图，将各典型环节的对数频率特性图叠加获得系统的对数频率特性 图。图。 一般情况下，应用开环频率特性表达绘制伯德图的绘制一般步骤如下一般情况下，应用开环频率特性表达绘制伯德图的绘制一般步骤如下: (1) 将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数的形式；将开环频率特性按典型环节分解，并写成时间常数的形式； (2) 求出各转角频率求出各转角频率(交接频率交接频率)，将其从小到大排列，将其从小到大排列, 并标注在轴上；并标注在轴上； (3) 在转角频率间，根据环节的特性频率函数以其相应的斜率绘制渐进在转角频率间，根据环节的特性频率函数以其相应的斜率绘制渐进 线对数幅值曲线；线对数幅值曲线； (4) 对渐近线在转角处做适当修改，得到精确曲线；对渐近线在转角处做适当修改，得到精确曲线； (5) 将各典型环节的相角曲线叠加，得到相角曲线。将各典型环节的相角曲线叠加，得到相角曲线。 例例1: )1 .0)(5 .0( 5 .0 )()( + = ss sHsG (1) 将传递函数写成各典型环节的乘积形式将传递函数写成各典型环节的乘积形式(称为伯德标准型称为伯德标准型): 系统的开环频率特性为 由伯德标准型可知，开环传递系数为 系统的开环频率特性为 由伯德标准型可知，开环传递系数为K=10，转折频率为，转折频率为w1=0.1， w2=0.5 (2)绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上绘制对数坐标，并将各个转折频率标注在坐标轴上 (3)确定低频段确定低频段: 在本例中，没有微分和积分环节，只有比例环节，对数幅频特性的 低频段是 在本例中，没有微分和积分环节，只有比例环节，对数幅频特性的 低频段是0db/dec的水平线，高度为的水平线，高度为20lgK=20db ) 5 .0 1 1)( 1 .0 1 1 ( 10 )()( ss sHsG + = ) 5 .0 1 1)( 1 .0 1 1 ( 10 )()( jj sHsG + = （4）绘制开环对数幅频特性的渐近线（4）绘制开环对数幅频特性的渐近线 将低频段延伸到第一个转折频率将低频段延伸到第一个转折频率w1=0.1。第一个转折频率是惯性环 节的转折频率，开环对数幅频特性的渐近线下降 。第一个转折频率是惯性环 节的转折频率，开环对数幅频特性的渐近线下降20db/dec，再延伸到第 二个转折频率 ，再延伸到第 二个转折频率w2=0.5, 也是惯性环节,再下降也是惯性环节,再下降20db/dec. （5）绘制相频特性（5）绘制相频特性 绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特 征点上进行叠加，如各个转折频率处。 绘制各个环节的对数相频特性曲线，然后逐点叠加。一般在一些特 征点上进行叠加，如各个转折频率处。 (6)在转折频率处作适当的修正，以得到准确的对数幅频特性(6)在转折频率处作适当的修正，以得到准确的对数幅频特性 对于惯性环节和一阶微分环节,在转折频率处增加或减少3分贝。对于惯性环节和一阶微分环节,在转折频率处增加或减少3分贝。 现计算惯性环节的最大误差情况：现计算惯性环节的最大误差情况： 在转角频率处(在转角频率处(=1/T)，环节的幅值为:)，环节的幅值为: -20lg (1+1)+20lg1=-3.03 dB 因此，在转角频率出引入一个-3dB的校正点。因此，在转角频率出引入一个-3dB的校正点。 Frequency (rad/sec) Phase (deg); Magnitude (dB) Bode Diagrams -60 -40 -20 0 20 10 -2 10 -1 10 0 10 1 -200 -150 -100 -50 0 -20dB -40dB 4. 系统类型与对数幅值曲线间的关系系统类型与对数幅值曲线间的关系 单位反馈控制系统单位反馈控制系统, Kp、Kv、Ka分别描述了分别描述了0型、型、I型、型、2型系统的低频特型系统的低频特 性。性。 (1) Kp 系统的低频渐近线是一条幅值为系统的低频渐近线是一条幅值为20lgKp分贝的水平线。分贝的水平线。 (2) Kv -20分贝/十倍频程 -40分贝/十倍频程 20lgKv w2w3w1 w=1 (3) Ka -40分贝/十倍频程 -20分贝/十倍频程 wa=Ka w=1 -40分贝/十倍频程 20lgKa -60分贝/十倍频程 第二节第二节: 极坐标图极坐标图 极坐标图也称奈魁斯特图或幅相频率特性图极坐标图也称奈魁斯特图或幅相频率特性图. 频率特性函数频率特性函数G(jw)的极的极 坐标图是由坐标图是由0时时, 频率特性函数在复平面上的图像。频率特性函数在复平面上的图像。G(jw)曲线的每曲线的每 一点都表示与特定值相应的向量端点，向量的幅值为一点都表示与特定值相应的向量端点，向量的幅值为|G(jw)|, 相角为相角为 argG(j ); 向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性向量在实轴和虚轴上的投影分别为实频特性R( )和虚轴和虚轴I( ). 绘制奈氏图的目绘制奈氏图的目: 用来判断闭环系统的稳定性用来判断闭环系统的稳定性. 画法关键画法关键: 确定几个关键点的准确位置确定几个关键点的准确位置, 绘出奈氏图的大致形状可。绘出奈氏图的大致形状可。 开环频率特性函数极坐标图的绘制步骤开环频率特性函数极坐标图的绘制步骤: (1) 将开环频率特性函数将开环频率特性函数G0(j )写成写成A( )ej ( )或或R( )+jI( )的形式。的形式。 (2) 确定极坐标图的起点确定极坐标图的起点( =0+)和终点和终点(). =0: 0型系统型系统 极坐标图的起点极坐标图的起点(w=0)是一个位于正实轴上的有限值是一个位于正实轴上的有限值. 在在w=0处处, 与极与极 坐标图曲线相切的切线是一条垂直于实轴的垂线。坐标图曲线相切的切线是一条垂直于实轴的垂线。 L L L L + + = + + = 1 10 1 10 21 0 )()( )()( )1)(1 ()( )1)(1 ( )( nn mm ba jwajwa jwbjwb jwTjwTjw jwTjwTK jwG 在w=处, 极坐标图曲线的终点位于坐标原点, 且在该点上与一个坐标轴在w=处, 极坐标图曲线的终点位于坐标原点, 且在该点上与一个坐标轴 相切。相切。 =1: 1型系统型系统 w=0时, 幅值为无穷大, 相角为-90时, 幅值为无穷大, 相角为-90o o; ; w=时, 幅值为零, 曲线收敛于原点, 且与一个坐标轴相切。时, 幅值为零, 曲线收敛于原点, 且与一个坐标轴相切。 =2: 2型系统型系统 w=0时, 幅值为无穷大, 相角为-180时, 幅值为无穷大, 相角为-180o o. 低频段的坐标图是一条渐近. 低频段的坐标图是一条渐近 线, 趋近于一条平行于负实轴的直线.线, 趋近于一条平行于负实轴的直线. w=时, 幅值为零, 曲线与一个坐标轴相切。时, 幅值为零, 曲线与一个坐标轴相切。 1型系统型系统 2型系统型系统 0型系统型系统 w=0 0 Re Im w w 0 w w w 0 n-m=1 n-m=3 n-m=2 Re 低频部分低频部分高频部分高频部分 0 (3) 确定极坐标图与坐标轴的交点确定极坐标图与坐标轴的交点 极坐标图与负实轴的交点是判断闭环系统稳定的重要数据，需准确计极坐标图与负实轴的交点是判断闭环系统稳定的重要数据，需准确计 算。算。 (4) 根据以上的分析并结合开环频率特性的变化绘制极坐标图。先画出根据以上的分析并结合开环频率特性的变化绘制极坐标图。先画出 由由0+的部分的部分, 再根据对称性画出再根据对称性画出0-的部分。若的部分。若1, 则当则当 =0+0-时时, 曲线为顺时针方向的个半径无穷大的半圆。曲线为顺时针方向的个半径无穷大的半圆。 没有零点的最小相位系统，相角随的增大而单调减小。若存在零点没有零点的最小相位系统，相角随的增大而单调减小。若存在零点 或非最小相位系统，相角变化比较复杂，极坐标图会出现凸凹变化。或非最小相位系统，相角变化比较复杂，极坐标图会出现凸凹变化。 例例1. 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 分析该系统的开环频率特性奈氏曲线的低频段和高频段。分析该系统的开环频率特性奈氏曲线的低频段和高频段。 系统的频率特性函数为系统的频率特性函数为 ) 1( )( 1 1 0 = sTs K sG )1( )( 1 1 0 = jTj K jG 频率特性函数写成指数形式 幅频特性为 相频特性为 当 频率特性函数写成指数形式 幅频特性为 相频特性为 当=0: A(0)+ , (0)-2700; 当当+时时: A( )0, ( )-1800 幅相频率特性自虚轴正方向无穷远处延伸下来，最终以幅相频率特性自虚轴正方向无穷远处延伸下来，最终以-1800相角进入 坐标原点。 相角进入 坐标原点。 )()arctan18090( 2 2 1 0 )( 1 1 )( 1 ejAe T K jG Tj = + = + oo 1 1 )( 2 2 1 + = T K A 1 arctan270)(T+= o w=0 w 0 第三节: 奈奎斯特稳定判据第三节: 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据：应用开环频率响应奈奎斯特稳定判据：应用开环频率响应G(jw)H(jw)与闭环特征方程与闭环特征方程 1 G(jw)H(jw)在右半在右半S平面内的零点数和极点数联系起来的一种判据。平面内的零点数和极点数联系起来的一种判据。 闭环的绝对稳定性由开环频率响应曲线图解确定，无需求出闭环极点。闭环的绝对稳定性由开环频率响应曲线图解确定，无需求出闭环极点。 奈氏稳定判据是建立在复变函数理论的映射定理的基础上的。奈氏稳定判据是建立在复变函数理论的映射定理的基础上的。 一、幅角原理一、幅角原理 设闭环系统的特征方程为设闭环系统的特征方程为: F(s)=1+G(jw)H(jw)=0 设设P为为F (s)的极点数，的极点数，Z为为F(s) 的零点数。的零点数。 F(s)的极点和零点位于的极点和零点位于S平面的某一封闭曲线内，且有多重极点和 多重零点。该封闭曲线不通过 平面的某一封闭曲线内，且有多重极点和 多重零点。该封闭曲线不通过F(s)的任何极点或零点。那么的任何极点或零点。那么, S平面上 的该封闭曲线映射到 平面上 的该封闭曲线映射到F(s)平面上也是一条封闭曲线。当平面上也是一条封闭曲线。当S顺时针通过 整个封闭曲线时 顺时针通过 整个封闭曲线时, F (s)平面上平面上, 相应的规迹顺时针包围相应的规迹顺时针包围F(s)的原点的总 数为 的原点的总 数为NZ-P. s s )(sF F 0 0 1 s 2 s 3 s )( 1 sF )( 2 sF )( 3 sF (a)(b) 图4.5 从S平面到F平面的映射关系 证明证明: 柯西定理和留数定理 柯西定理 柯西定理和留数定理 柯西定理: 如果如果F(s)在封闭曲线内和曲线上解析在封闭曲线内和曲线上解析, 则则F(s)沿沿S平面上任意 封闭曲线的积分等于零 平面上任意 封闭曲线的积分等于零: 设设F(s)为为: 式中式中x(s)在在S平面上的封闭曲线内是解析的，且所有极点和零点均位于 封闭曲线内。 平面上的封闭曲线内是解析的，且所有极点和零点均位于 封闭曲线内。 = 0)(dssF )( )()( )()( )( 21 21 21 21 sx psps zszs sF mm kk L L + + = )( )( )()( )( )( 2 2 1 1 2 2 1 1 sX sX ps m ps m zs k zs k sF sF + + + + + + + + =LL 如果如果F(s)为为: 则则F(s)在处有在处有k阶零点，得阶零点，得 F(s)的的k阶零点成为阶零点成为F (s)/F(s)的一个简单极点。 如果 的一个简单极点。 如果X (s)/X(s)在在S平面上的封闭曲线内不包括任何极点或零点平面上的封闭曲线内不包括任何极点或零点, 则除了在 零点外， 则除了在 零点外， F (s)/F(s)在此封闭曲线内处处解析。 留数定理 在此封闭曲线内处处解析。 留数定理: )()()( 1 sXzssF k += 1 zs = )()()()( 1 1 1 sXzszsksF kk += )( )( )( )( 1 sX sX zs k sF sF + + = 1 zs = )(2 )( )( =留数jds sF sF )(2)()(2 )( )( 2121 PZjmmkkjds sF sF =+= LL 式中式中: S平面内被封闭曲线包围的平面内被封闭曲线包围的F(s)的零点总数的零点总数 : S平面内被封闭曲线包围的平面内被封闭曲线包围的F(s)的极点总数 设 的极点总数 设S平面上的封闭曲线在平面上的封闭曲线在F(s)平面上的映射是封闭曲线平面上的映射是封闭曲线, 则 设 则 设N是顺时针包围是顺时针包围F(s)平面上原 点的次数 平面上原 点的次数, 则则 L+= 21 kkZ L+= 21 mmP j esFsF)()( =jsFsF+=)(ln)(ln ds sFd sF sF)(ln )( )( = ds d j ds Fd sF sF += ln )( )( =+=)(2)(ln )( )( ZPjdjdjsFdds sF sF 0)(ln= sFd ZP = 2 12 N= 2 12 PZN= 奈氏稳定判据：利用奈氏稳定判据：利用G(jw)H(jw)的轨迹，对的轨迹，对(-1+j0)点的包围情况进行 分析。如果开环传函 点的包围情况进行 分析。如果开环传函G(s)H(s)在右半平面内有在右半平面内有k个极点个极点, 且 则闭环系统的稳定条件 且 则闭环系统的稳定条件: 从到变化时从到变化时, G(jw)H(jw)轨迹反时针包 围 轨迹反时针包 围(-1+j0)点点k次。次。 Remark: 1. 奈氏判据奈氏判据: Z=N+P N:轨迹顺时针包围轨迹顺时针包围(-1+j0)点的次数；点的次数； Z: 1G(s)H(s)在右半在右半S平面内的零点数平面内的零点数 P: G(s)H(s)在右半在右半S平面内的极点数平面内的极点数 ?若若P 0, 则须则须Z=0或或N=-P, 即即G(jw)H(jw)须反时针方向包围须反时针方向包围(-1+j0)点点P 次，系统稳定次，系统稳定 ?若若P=0, 即在右半即在右半S平面内无如何极点平面内无如何极点, 则则Z=N, 要使系统稳定要使系统稳定, G(jw)H(jw)的轨迹须不包围的轨迹须不包围(-1+j0)点。点。 )()()(lim常数CsHsG s = Remark: 2. 当检查多回路系统的稳定性时，简单地检查当检查多回路系统的稳定性时，简单地检查G(jw)H(jw)的轨迹对的轨迹对(-1+j0) 点包围情况，不足以判定系统的稳定性。 此时 点包围情况，不足以判定系统的稳定性。 此时, 对对G(s)H(s)的分母应用劳斯判据，确定的分母应用劳斯判据，确定1G(s)H(s)是否有极点位 于 是否有极点位 于S平面。 若 平面。 若G(s)H(s)中含有中含有e-Ts, 则将则将e-Ts张开成如下形式张开成如下形式: 作为第一次近似作为第一次近似, 只取分子和分母的前两项只取分子和分母的前两项: 当当00.5/T时，这种近似非常接近。时，这种近似非常接近。 L L + + = 48 3)( 8 )( 2 1 48 )( 8 )( 2 1 2 32 TsTsTs TsTsTs e Ts Ts Ts Ts Ts e Ts + = + 2 2 2 1 2 1 Remark: 3. G(jw)H(jw)的轨迹通过的轨迹通过(-1+j0)点点, 则闭环极点位于上则闭环极点位于上 4. 特殊情况：特殊情况：G(s)H(s)含有位于含有位于jw轴的极点和零点的情况 处理方法 轴的极点和零点的情况 处理方法: 在原点附近改变封闭曲线的形状在原点附近改变封闭曲线的形状, 采用具有无限小半径的半 园。 变量 采用具有无限小半径的半 园。 变量s沿沿jw轴从运动到轴从运动到j0-, 从从j0-到到j0 , s沿着半径为 沿着半径为( 1)的半园运 动 的半园运 动, 再沿正再沿正jw轴从轴从j0 运动到 运动到j . 从从j开始，轨迹为半径无穷大的半圆开始，轨迹为半径无穷大的半圆, s 沿着此轨迹返回到起始点。沿着此轨迹返回到起始点。 jw 0 j0+ j0- jw 0 S=ej S平面S平面 例例: G(s)H(s)=K/s(Ts+1) G(s)H(s)平面的平面的G(s)H(s)轨迹上轨迹上, 与与s= j0 和 和s=j0-相对应的点分别为相对应的点分别为-j 和 和j . 在半径为在半径为1的半径轨迹上的半径轨迹上, s写成：写成： S=ej，：900900 G(s)H(s)=G(ej)H(ej)=K/(ej)=Ke-j/ 0, K/ : s沿半园运动时沿半园运动时, 从从900变到变到900. 点点G(j0-)H(j0-)= j , G(j0 )H(j0)= j 环绕原点的无限小半径映射到 环绕原点的无限小半径映射到GH平面上平面上, 成为半径为无穷大的半圆。成为半径为无穷大的半圆。 -j j0- j0+ +j F A B C D E jw w=0+ C w= B D , ,E ,F w= A GH平面平面 -1 w=0- Re Im 1 s平面内曲线上的点平面内曲线上的点A,B,C, 在在G(s)H(s)轨迹上的映射点分别为轨迹上的映射点分别为A,B,C,而点而点 D,E,F映射到映射到GH平面上的原点。 因为在右 平面上的原点。 因为在右s平面上没有极点平面上没有极点, 且且G(s)H(s)轨迹不包围轨迹不包围(1+j0)点点, 系统稳定。 对于包含因子 系统稳定。 对于包含因子1/sn(n=2,3,)的开环传函的开环传函G(s)H(s), 当当s沿半径为沿半径为6分贝。分贝。 4. 一阶或二阶系统的增益裕量为无穷大一阶或二阶系统的增益裕量为无穷大: 这类系统的极坐标图与负实轴 不相交。 这类系统的极坐标图与负实轴 不相交。 5. 条件稳定系统具有多个相位交界频率条件稳定系统具有多个相位交界频率, 且某些高阶系统还可能具有多 个增益交界频率 且某些高阶系统还可能具有多 个增益交界频率, 相位裕量应在最高的增益交界频率上测量。相位裕量应在最高的增益交界频率上测量。 相位交界频率相位交界频率 (w1,w1,w1) w1w2 w3 增益交界频率增益交界频率 (w1,w1,w1) w1 w2 w3 w= w= w 0 w 0 Remark: 6. 非最小相位系统非最小相位系统: 不稳定开环系统的非最小相位系统不稳定开环系统的非最小相位系统, 除非除非G(jw)图反 时针包围 图反 时针包围(-1, j0)点点, 否则不能满足稳定条件。稳定的非最小相位系统具有负 的相位和增益裕量。 五、谐振峰值幅值 否则不能满足稳定条件。稳定的非最小相位系统具有负 的相位和增益裕量。 五、谐振峰值幅值Mr和谐振峰值频率和谐振峰值频率 r )2( 2 n n ss + 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为: 22 2 2)( )( nn n sssR sC + = j nn Me j jR jC = + = 2)1( 1 )( )( 2 2 2 2 1 22 2 2 1 2 tan, )2()1( 1 n n nn M = + = 当当0 0.707时时, M的最大值发生在频率的最大值发生在频率r上上: 2cos21 2 nnr = 2sin 1 12 1 2 = = r M n 2 1 n j 谐振峰值的幅值表征了系统的相对稳定性谐振峰值的幅值表征了系统的相对稳定性: 1. 大的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点大的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点, 且具有小的阻尼比且具有小的阻尼比, 从而使系统产生不理想的瞬态响应；从而使系统产生不理想的瞬态响应； 2. 比较小的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点比较小的谐振峰值幅值表示存在一对主导闭环极点, 且具有较大的阻 尼比 且具有较大的阻 尼比, 从而使系统具有良好的阻尼；从而使系统具有良好的阻尼； 3. 只有当只有当0.707, 闭环系统不会产生谐振。闭环系统不会产生谐振。 六、标准二阶系统中阶跃瞬时响应与频率响应之间的关系 要点 六、标准二阶系统中阶跃瞬时响应与频率响应之间的关系 要点: 最大超调量与谐振峰值