双曲线综合题(含答案)

双曲线综合题（含答案）一、是双曲线上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM,PN的斜率之积为 （1）求双曲线的离心率； （2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足,求的值解：（1）点在双曲线上，有 由题意又有可得 （2）联立设则 （1）设又C为双曲线上一点，即有化简得： （2）又在双曲线上，所以由（1）式又有得：二、已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。（I） 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II） 如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。解：（）设C的标准方程为，则由题意，因此，C的标准方程为.C的渐近线方程为和.（）解法一：如答（20）图，由题意点在直线和上，因此有.故点M、N均在直线上，因此直线MN的方程为. =.解法二：设，由方程组解得.因，则直线MN的斜率.故直线MN的方程为，注意到，因此直线MN的方程为.下同解法一.三、已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.解：(1)设P(x,y)，则化简得x2=1(y0)4分(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为yk(x2)(k0)与双曲线x2=1联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，则 y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4 k2(4)因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1) 因此M点的坐标为(),同理可得因此 0当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为()，同理可得 因此0综上0，即FMFN 故以线段MN为直径的圆经过点F12分四、已知，点满足，记点的轨迹为.（）求轨迹的方程；（）若直线过点且与轨迹交于、两点. （i）设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.（ii）过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围.解：（）由知，点的轨迹是以、为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为（3分）（）当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、， 解得 （5分）（i） （7分） 假设存在实数，使得， 故得对任意的恒成立， ，解得 当时，. 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立， 综上，存在，使得. （8分） （ii），直线是双曲线的右准线，（9分） 由双曲线定义得：， 方法一： （10分） ，（11分） 注意到直线的斜率不存在时，综上， （12分）五、设四点、均在双曲线的右支上。（1）若=（实数），证明：（是坐标原点）；（2）若=2，是线段的中点，过点分别作该双曲线的两条渐近线的垂线，垂足为、，求四边形的面积的最大值。解：（1）=,直线的斜率不存在时，设方程为（），设（，则()且-=1 =-=1 同理=直线斜率存在时，设方程为与 联立得设则=，= 则=+=+（）（）=+= 直线与直线斜率相等 ,同理= 综上，=（2）斜率存在时，=）由（1）得 , 设，则= = ;斜率不存在时，易得=综上，四边形面积的最大值为。六、已知双曲线的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且,BAF=120o，（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线l交双曲线C于M,N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当，且时，求点Q的坐标。七、设F1,F2分别是双曲线的两焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l:y=kx+b与圆O相切，（1）求b和k之间满足的关系式；（2）若直线l与已知双曲线交于M,N两点，向量在向量方向的投影是m，当时，求直线l的方程；（3）当时，求MON面积的取值范围。八、若F1,F2为双曲线(a0,b0)的左、右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足，（1）求此双曲线的离