一阶微分方程ppt课件

1,知识回顾,几个一阶微分方程的解法,1、可分离变量方程：,解法：,分离变量法,2、齐次微分方程：,解法：,2,知识回顾,几个一阶微分方程的解法,3、一阶线性微分方程：,解法：,公式法,常数变易法,3,第五节二阶线性微分方程解的结构,二阶线性微分方程的一般形式：,其中P(x),Q(x),f(x)为连续函数,f(x)称为自由项.,称为二阶齐次线性方程.,称为二阶非齐次线性方程.,4,(1),1、二阶齐次线性微分方程解的结构,证明,定理1(解的叠加原理),设是方程(1)的两个解,则,由条件是方程(1)的解,则有,的线性组合(是任意常数)也,是方程(1)的解.,5,1、二阶齐次线性微分方程解的结构,问题：,是方程(1)的通解吗？,不一定,例如：,通过观察可知,都是方程,的解.,是该方程的通解.,不是通解.,发现：,定理1(解的叠加原理),设是方程(1)的两个解,则,的线性组合(是任意常数)也,是方程(1)的解.,6,定理2(通解定理),(1),1、二阶齐次线性微分方程解的结构,设是方程(1)的两个线性无关解,则(是任意常数)是方程(1),的通解.,定义,7,2、二阶非齐次线性微分方程解的结构,(2),定理3（非齐次方程通解定理）,那么方程(2)的通解为,证,设是方程(2)的特解,由条件，,从而，,8,定理4(非齐次线性方程的叠加原理),和,的特解,的一个特解。,证略,9,第六节二阶常系数线性微分方程,其中p,q是常数.,1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,问题归结为求方程(1)的两个线性无关的特解.,方程特点：,之间仅相差一个常数.,10,1、二阶常系数齐次线性微分方程的解法,(2),代数方程(2)称为微分方程(1)的特征方程,它的根称,为特征根.,方程特点：,之间仅相差一个常数.,11,(2),情形1,则特征方程(2)有两个相异的实根,故它们线性无关,因此(1)的通解为,12,情形2,则特征方程(2)有两个相等的实根,于是(1)的通解为,代入方程(1),得,故有,13,由欧拉公式知，,情形3,则特征方程(2)有一对共轭复根,仍然是(1)的解,所以方程(1)的通解为,由叠加原理,14,小结,特征根的情况,通解的表达式,相异实根,相等实根,复根,15,解,特征方程为,故通解为,例1,特征根为,故所求特解为,16,例2,例3,例4,17,解,特征方程为,故所求通解为,例2,例3,解,特征方程为,解得,故所求通解为,特征根为,18,解,特征方程为,故通解为,例4,特征根为,19,训练：求下列微分方程的通解,解,解,方程通解为,特征方程,特征根,解,通解为,20,对应齐次方程,(1),问题归结为求方程(3)的一个特解.,只讨论f(x)的一种类型，,用待定系数法求解.,2、二阶常系数非齐次线性方程的解法,(3),21,则,22,情形1,若不是特征根,即,情形2,若是特征方程的单根,即,23,情形3,若是特征方程的重根,即,24,综上讨论,设特解为,其中,25,作业：,25,知识回顾,1、二阶常系数齐次线性方程：,解法：,特征方程法,26,知识回顾,2、二阶常系数非齐次线性方程：,通解：,27,28,例5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,不是特征根，,所求特解形式为,（为待求系数）,（二次多项式），,29,例5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,是单根，,所求特解形式为,（a为待求系数）,30,例5,写出下列非齐次方程的特解形式,解,特征方程为,特征根为,是重根，,所求特解形式为,（为待求系数）.,31,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程得,原方程通解为,例6,化简整理得,所以特解为,32,解,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,例7,代入原方程,得,解,对应齐次方程通