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文档简介

.,1,第三节向量的乘法,一、向量的数量积二、向量的向量积三、向量的混合积四、小结、思考题,.,2,实例,一、两向量的数量积,启示我们可以定义向量的一种乘法运算,两向量作这样的运算,结果是一个数量.,.,3,数量积也称为“点积”、“内积”.,由此得,定义,.,4,推导数量积的坐标表达式,如右图,由余弦定理得:,设,则上式可写成,.,5,于是,是任意实数,那么,交换律,数乘结合律,分配律,运算律:,.,6,两向量夹角余弦满足,正交(或垂直),记作,.,7,证,定理,有一个为,结论显然成立,不妨设,.,8,定理的坐标形式为,.,9,解,.,10,例2已知点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),求AMB,解AMB可以看成向量,与,的夹角,而,=(2-1,2-1,1-1)=(1,1,0),=(2-1,1-1,2-1)=(1,0,1),故,=11+10+01=1,带入公式,.,11,.,12,.,13,实例,二、两向量的向量积,.,14,定义,关于向量积的说明：,向量积也称为“叉积”、“外积”.,(反交换律),并规定,(),(),.,15,向量积符合下列运算规律：,分配律,是任意实数,那么,结合律,例5设是两个向量,证明:,.,16,/,/,证设均为非零向量(否则命题不证自明),.,17,设,向量积的分解表达式:,.,18,向量积还可用行列式表示,即,.,19,两向量的向量积的几何意义:,(),(),.,20,例6设平面过空间三点A(1,0,0)、B(3,1,-1)、C(2,-1,2),求一个垂直于平面的向量,解,故可取,.,21,解,三角形ABC的面积为,.,22,例8设刚体以等角速率绕l轴旋转，计算刚体上一点M的线速率。,解刚体旋转时,我们可用转动轴l上的向量表示角速度,它的大小，它的方向按右手法则定出,如右图.,设点M到l轴的距离为a,任取l轴上一点记为O，并记,若用表示与的夹角,则有,从物理中知道,线速率与角速率有如下关系：,又符合右手法则,因此得,.,23,定义,设,三、向量的混合积,下面推导混合积的坐标表达式,因为,.,24,所以,即,显然,.,25,（1）向量混合积的几何意义：,关于混合积的说明：,.,26,例9已知空间内四点A(1,1,1),B(3,4,4),C(3,5,5)和D(2,4,7),求四面体ABCD的体积.,解,故,.,27,例10问点A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3)和D(10,15,17)四点是否在同一平面上？,.,28,向量的数量积,向量的向量积,向量的混合积,（结果是一个数量）,（结果是一个向量）,（结果是一个数量）,（注意共线、共面的条
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