功率谱估计常用方法的探讨

功率谱估计常用方法的探讨摘要:进行傅里叶变换在频域中研究信号，是研究确定性信号最简单且有效的手段，但在现代信号分析中，对于常见的随机信号，不可能用清楚的数学关系式来描述，其傅里叶变换更不存在，转而可以利用给定的N个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。功率谱估计是数字信号处理的重要研究内容之一。关键词：经典谱估计；现代谱估计；BT法；周期图法； 在通信系统中，往往需要研究具有目中统计特性的随机信号。由于随机信号是一类持续时间无限长，具有无限大能量的功率信号，它不满足傅里叶变换条件，而且也不存在解析表达式，因此就不能够应用确定信号的频谱计算方法去分析随机信号的频谱。然而，虽然随机信号的频谱不存在，但其相关函数是可以确定的。如果随机信号是平稳的，那么其相关函数的傅里叶变换就是它的功率谱密度函数，简称功率谱。 功率谱估计是随机信号处理的重要内容，其技术渊源很长，而且在过去的40余年中获得了飞速的发展。涉及到信号与系统、随机信号分析、概率统计、矩阵代数等一系列的基础学科，广泛应用于人民的日常生活及军事、工业、农业活动中，是一个具有强大生命力的研究领域。 功率谱的估计方法有很多，主要有经典谱估计和现代谱估计。经典谱估计又可以分成两种：一种是BT法，也叫间接法；另一种是直接法又称周期图法。现代谱估计的方法又大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。 英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。周期图法又称直接法。它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱Sx(ejw)的估计Sx(ejw)的抽样.周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。只是1965年FFT出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。周期图法包含了二条假设：1认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段xN(n)来估计该随机序列的功率谱。这当然必然带来误差。2由于对xN(n)采用DFT，就默认xN(n)在时域是周期的，以及xN(k)在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段xN(n)的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。与相关法相比，相关法在求相关函数Rx(m)时将xN(n)以外是数据全都看成零，因此相关法认为除xN(n)外x(n)是全零序列，这种处理方法显然与周期图法不一样。但是，当相关法被引入基于FFT的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。比我们发现：如果相关法中M=N，不加延迟窗，那么就和充（N-1）个零的周期图法一样了。简单地可以这样说：周期图法是M=N时相关法的特例。因此相关法和周期图法可结合使用。Bartlett法对周期图法改进的思想是将信号分段进行估计，然后再将这些估计结果进行平均，从而减小估计的协方差，是功率谱图变得比直接法更平滑。增加分段数可以进一步减低估计的协方差，然而若每段中的数据点数太少，就会使估计的频率分辨率下降很多。从样本信号序列总点数一定的条件下，可以采用使分段相互重叠的方法来增加分段数，从而保持每段信号点数不变，这样就在保证频率分辨率的前提下进一步降低估计协方差。而一般的Bartlett法是通过降低分辨率来降低其方差的。Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。Welch法 现在比较常用的改进方法是Welch法，又叫加权交叠平均法，简记为WOSA法，这种方法以加窗（加权）求取平滑，以分段重叠求得平均，因此集平均与平滑的优点于一体，同时也不可避免带有两者的缺点，因此归根到底是一种折中。在经典谱估计中,无论是周期图法还是其改进的方法,都存在着频率分辨率低、方差性能不好的问题，原因是谱估计时需要对数据加窗截断，用有限个数据或其自相关函数来估计无限个数据的功率谱，这其实是假定了窗以外的数据或自相关函数全为零，这种假定是不符合实际的，正是由于这些不符合实际的假设造成了经典谱估计分辨率较差。另外，经典谱估计的功率谱定义中既无求均值运算又无求极限运算，因而使得谱估计的方差性能较差，当数据很短时，这个问题更为突出。如何选取最佳窗函数、提高频谱分辨率， 如何在短数据情况下提高信号谱估计质量 ，还需要进一步研究。 现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱,主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。常用模型有 ARMA 模型、 AR 模型、 MA 模型,AR模型的