单级倒立摆的智能控制及其GUI动画演示

1 存档日期：存档日期： 存档编号：存档编号： 论论 文文 题题 目：目： 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 姓姓 名：名： XX 系系 别：别： 机电工程系 专专 业：业： 电气工程及其自动化 班班 级级 、 学学 号号： 指指 导导 教教 师：师： xxx 摘摘 要要 倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、动态系统，对于倒立摆 的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。 本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状； 介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性如何 构成；研究倒立摆系统的几种控制方式，并设计出对应的控制器，以 MATLAB 软件为平台为，经行大量的模拟仿真实验，对不同控制方法的效果及优缺点作 出总结；利用 MATLAB 软件中的 GUI 组件设计出模拟的倒立摆系统演示系统， 让大家能直观的了解控制方法的作用。 关键词：关键词：倒立摆， PID 控制器， MATLAB，GUI I Abstract Inverted Pendulum System is a typical multivariable, nonlinear, fast, dynamic system.On inverted pendulum control both in theory and methodology will have far-reaching significance. The main research content of this article : Roughly describe the current situation of research of automatic control and Inverted Pendulum System, introduce the hardware components of Inverted Pendulum System, model the Single Inverted Pendulum System and analyze the formation of the stability. Research on several types of Inverted Pendulum System controlling, and design the dedicated controller for corresponding type. Based on mass test result on Malatb platform, summarize the advantages and disadvantages of different type of controlling. Using the GUI component of Malatb Software design the mimetic demo system of Inverted Pendulum System. In order to let everyone can intuitive understand the role of control method. Keywords: Inverted Pendulum, PIDController , Malatb , GUI II 目 录 摘 要.I Abstract.II 1 绪论.1 1.1 课题研究背景及意义.1 1.2 倒立摆系统介绍及其研究意义.1 1.3 本论文的主要工作.2 2 单级倒立摆的数学模型.3 2.1 模型的推导原理.3 2.2 单级倒立摆系统描述.3 2.3 单级倒立摆系统数学建模.4 2.4 本章小结.5 3 最优控制方法设计.6 3.1 最优控制概述.6 3.2 最优控制器的设计.7 3.3 最优控制 MATLAB 仿真.10 3.4 本章小结.14 4 单级倒立摆的 PID 控制系统设计.15 4.1 PID 控制概述 .15 4.2 PID 控制系统设计的原理 .16 4.3 摆杆角度控制.17 4.4 小车位置控制.18 4.5 PID 控制算法的 MATLAB 仿真.19 4.6 本章小结.23 5 基于 GUI 的倒立摆 LQR 控制动画演示.24 5.1 GUI 介绍.24 III 5.2 演示程序的构成.24 5.3 主程序的实现.24 5.4 演示界面的设计.25 5.5 演示过程.26 5.6 本章小结.27 6 结论.28 致 谢.29 参考文献.30 附录.32 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 0 1 绪论 1.1 课题研究背景及意义 控制理论的发展，起于“经典控制理论” 。早期最有代表性的自动控制系统 是 18 世纪的蒸汽机调速器。20 世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速 等控制。20 世纪起，应用范围 扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅 炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、 火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控 制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体 系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分 析问题。经典控制理论的研 究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种 曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方 法现在仍是人们学习控制理论的入门之道156。 1.2 倒立摆系统介绍及其研究意义 倒立摆控制系统2是一个非线性动态系统, 是作为理论教学及开展各种控制 实验的理想平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收 敛速度和系统抗干扰能力等，都可以利用倒立摆系统直接的展现出来。除了用 于教学，在自动控制领域中，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性 和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它作为研究对象。他 们通过对倒立摆系统的研究出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人 学等各种高新科技领域。倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控 制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实 验平台3。 常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、 两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的 目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等 倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走倒立摆系统。从日常生活 中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺 服云台的 稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 1 实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火 箭姿态控制、飞机 安全着陆、化工过程控制等4。 1.3 本论文的主要工作 1、为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学 模型，并线性化处理了在平衡点的系统，得到了倒立摆系统的线性化模型;在此 模型的基础上，对系统的稳定性、能控性和能观性进行分析，阐述了倒立摆系 统的运动规律和各个变量之间的相互关系。 2、目前有多种方法可以稳定控制倒立摆系统，本文主要简述了两种常见的 控制器，包括 PID 控制和最优 LQR 控制，基于上述理论方法设计了控制器， 并实现了对倒立摆的 MATLAB 仿真，分析了它们的特点。 3、通过 MATLAB 中的 GUI 工具设计出倒立摆最优 LQR 控制的模拟效果 动画。 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 2 2 单级倒立摆的数学模型 2.1 模型的推导原理 推导控制系统的数学模型有两种基本方法。方法一，对系统各部分的运动 机理进行分析，根据它们所依据的物理规律建立对应的运动方程，整合后即成 为描述整个系统的方程。方法二，通过给系统施加某种测试参数，记录其输出， 并用适当的数学模型去逼近，这种方法适用于系统运动过程复杂因而难以分析 或不可能分析的情况。 系统的建模原则： （1）建模之前，要对系统的特征和运动机理进行一个全面细致的了解，确 定研究的目标以及系统对于准确性要求，分析时选用正确的方法。 （2）按照确定的分析法，确定建立何种数学模型； （3）系统规定的误差范围内，对分析方法的准确性进行考量，然后建立简 洁正确的数学模型。因为倒立摆有比较规则的形状，并且是一个极不稳定的动 态系统，且不能利用通过测量其频率特性来获取数学模型，因此非常适合利用 数学工具对其进行进行理论推导。 2.2 单级倒立摆系统描述 在控制理论研究中经常把小车倒立摆系统作为研究对象，研究过程中只要 认定是小车倒立摆系统，即认为数学模型已经定型。并且小车倒立摆的数学模 型与驱动系统有关， 因此此模型只适用于执行机构是直流电机的情况下，并不 适用于交流电机驱动的倒立摆系统。本文分析的倒立摆系统即为直流电机作为 动力核心。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高 阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。 1 L u x 小车M 2.1 单级倒立摆系统的原理图 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 3 图中 u 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，是摆的倾 斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆 出现偏角时，在 水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保 持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。 2.3 单级倒立摆系统数学建模 为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: （1）倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 （2）忽略倒立摆运动过程中的摩擦。 2.3.1 结构参数 倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可 能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在平面内运动。控 制力 u 作用于小车上。摆杆长度为 L，质量为 m，小车的质量为 M，小车瞬时 位移为 x，摆杆瞬时位置为，在外力的作用下，系统产生运动。假 ()sin+lx 设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力 u，输出为摆角 。 2.3.2 系统的运动方程 图 2-2 是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，和为小车与摆杆相NP 互作用力的水平和垂直方向的分量。 注意：在实际倒立摆系统中监测和执行机构的正负方向已经事先确定，因 此得到如下矢量方向定义图，图中箭头所指方向即为倒立摆系统的矢量正方向。 应用 Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下： 分析小车水平方向所受的合力，可以得到方程： NxbFxM 小车M x x bx N F P 1 L N mg P （a)小车隔离受力图 （b）摆杆隔离受力图 图 2-2 小车和摆杆的受力分析图 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 4 通过对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： （2-1） 2 2 (sin ) d Nmxl dt 即： 2 cossinNmxmlml 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程： （2-2） FmlmlxbxmMsincos)( 2 接下来推出系统的第二运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行了分 析，得到下面方程： （2- 2 2 ( cos ) d Pmgml dt 3） 即： （2- 2 sincosPmgmlml 4） 力矩平衡方程如下： （2- INlPlcossin 5） 注：上式中力矩的方向，由于，故等sinsin,coscos, 式前面有负号。 合并这两个方程，经过处理，得到第二个运动方程： （2-cossin)( 2 xmlmglmlI 6） 2.4 本章小结 因为倒立摆系统具有非常典型的非线性、变量多以及不稳定性，以倒立摆 系统作为被控对象的控制系统可以直观的表现许多抽象的控制概念。因此这一 章的目的是建立单级倒立摆的数学模型，通过对倒立摆数学模型的推导，加深 对系统建模和模型线性化问题的了解，同时对系统建立数学模型也是一个系统 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 5 分析、设计的前提，一个准确又简练的数学模型可以极大的减少后期的工作量， 降低解决问题的难度。 3 最优控制方法设计 3.1 最优控制概述 控制系统的最优控制问题一般提法为：对于通过动态方程来描述的系统， 在特定的初始和最终状态条件下，在系统所规定的控制系统集合中寻找一个控 制，令测试系统的性能目标函数最优化。 最优控制问题的完整描述要包括以下个方面。 （1）系统的动态方程，大多数情况下只需要有系统的状态方程。对于连续 的系统，其状态方程为 （3- ttutxftx, 1） 对于离散系统，其状态方程为 （3- kkukxfkx,1 2） 系统状态方程指出了系统内部状态由于系统控制输入的改变而变化，或者 说是内部状态的一种约束关系。 （2）系统状态的始端和终端条件。系统的状态方程定义了系统状态在整个 控制过程中的约束关系，始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和 结束时刻的约束条件。端点条件包括以下三种类型：固定端、自由端、和可变 端。 固定端就是指时间和状态值都确定的端点。例如，初始时间及其初始状 0 t 态都固定就是称初始固定条件，而终端时间及其终端状态都固定 0 tX f t f tX 就称终端固定条件。一般来说，最简单的状态就是始、终端都确定的状态。 自由端是指端点时间固定，但端点的状态值不受任何限制。分为始端或终 端自由两种。 可变端就是端点时间及其状态值都不确定的端点。但它一般都有一定的约 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 6 束条件，例如，或。 0 f tC 0, ff ttXN （3）系统控制域。在实际控制系统中，控制输入通常是无法任意取值tu 的，例如作为伺服电机，其输出力矩就有最大力矩的限制。因此多数最优控制 问题中，必须给定一个允许的控制域。 （4）系统目标泛函，即系统的性能指标。因为最优控制问题中的性能指标 一般都是一个函数的函数，即泛函，所以称系统目标泛函。 对于连续时间系统，目标泛函一般为 （3- f t t f dtttutxLtxJ 0 , 3） 对于离散时间系统，目标泛函一般为 （3- 1 0 , l k kkukxLlxJ 4） 以上泛函称为综合型，其第一部分表示对系统的终端状态的要求，而第二 部分表示对系统的整个控制过程的要求。 如果系统目标泛函只取以上指标中的第一项，即 （3- f txJ 5） 或 （3-lxJ 6） 那么称为终端型性能指标。反之若只取其中第二部分，即 （3- f t t dtttutxLJ 0 , 7） 或 （3- 1 0 , l k kkukxLJ 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 7 8） 则称为积分型性能指标。 最优控制问题就是在上述（1） ， （2） ， （3）点所定义的问题空间内找到一个 控制，使得系统目标泛函 J 达到最大或最小。这样的控制就称为系统tUtU 的最优控制，将代入系统方程就可以解得系统的状态轨迹。tU tU tX 3.2 最优控制器的设计 我们的输入是脉冲量，并且在设计控制器时，只能对摆杆的角度进行控制， 而对小车的位移并不做考量。但是，对一个倒立摆系统来说，把它作为单输出 系统是不严谨也不够科学，因此如果将倒立摆系统作为多输出系统来设计，用 状态空间法分析要相对简单一些，在这一节我们将设计一个对摆杆角度和小车 位移都进行控制的系统。下面的公式即倒立摆系统的状态方程： （3- DuCXY BuAXX 9） 设定倒立摆的相关参数为： 小车质量 0.5 KgM 摆杆质量 0.2 Kgm 小车摩擦系数 0.1 N/m/secb 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3 ml 摆杆惯量 0.006 kg*m*mI 采样时间 0.005 秒T 根据以上的条件，可建立如下的状态方程系数矩阵： ； 01818.314545 . 0 0 1000 06727. 21818 . 0 0 0010 A 5455 . 4 0 8182 . 1 0 B 0100 0001 C 0 0 D 最优控制的前提条件是系统是能控的，下面来判断一下系统的能控能观性。 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 8 系统的能控矩阵的秩 。 23 4rank BABA BA B 系统的能观矩阵的秩 。 23 4rank C CA CACA 故系统是能控能观的。因此通过给系统加上最优控制器可以使得系统闭环 稳定，同时符合暂态性能指标。采用 LQR 最优控制算法进行控制器设计时，关 键就是取得反馈向量的值，而通过上节推导可知，设计系统状态反馈控制器K 时，主要的问题同样是二次型性能指标泛函中加权矩阵和的取值。如何才QR 能使问题思路清晰并且加权矩阵具有比较明确的物理意义是设计关键。 在这里我们令取为对角阵。假设Q ； 44 33 22 11 000 000 000 000 Q Q Q Q Q rR 这样得到的性能指标泛函为 （3- 0 2 2 444 2 333 2 222 2 111 dtruxQxQxQxQJ 10） 由上式可以看出，是对的平方的加权，的相对增加就代表了对 ii Q i x ii Q 的要求更加严格，占据了更大比重的性能指标，也就是减小了的偏差状态。 i x i x 是对控制量的平方加权，当 相对较大时，代表了控制费用增加，此时rur 控制能量较小，反馈减弱，系统动态反应迟缓，但是当 值变小时，系统的控r 制费用也相应减小，此时反馈增加，系统动态响应更加迅速。 由于一阶倒立摆系统在运行过程中，系统的输出量和作为主要的被控x 量，由于代表小车位置的权重，而是摆杆角度的权重，因此在选取加权 11 Q 33 Q 对角阵的各元素值时，只选取了、，而。Q 11 Q 33 Q0 4422 QQ 但是在选取和时需要注意以下几点：QR （1）我们采用的系统模型是线性化的结果，所以要求系统能够在线性范围 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 9 内工作，此时各状态量不应过大。 （2）为了克服系统的非线性摩擦，闭环系统需要一对共轭复数极点，但系 统对噪声过于敏感，因此需要控制系统主导极点的模在一定范围内避免系统频 带过宽，导致系统不能正常工作。 （3）加权矩阵的减小，会导致大的控制能量，应注意控制的大小，将RU 系统执行机构的能力控制在额定范围内，避免放大器处于过饱和状态。 控制系统如图 3-1 所示，图中 R 是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量 分别是小车位移、小车速度、摆杆位置和摆杆角速度，输出包x x , xy 括小车位置和摆杆角度。我们要设计的目标是，当给系统施加一个阶跃输入时， 摆杆会摆动，但通过控制器的调整然后回到垂直位置，并且小车到达新的命令 位置。 xAxBy yCx K R yy x + 图 3-1 控制系统图 3.3 最优控制 MATLAB 仿真 最优控制仿真程序如下： % - lqr1.m - % 最优控制 % 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1; I = 0.006;g = 9.8; l = 0.3;p = I*(M+m)+M*m*l2; A = 0 1 0 0;0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0; B = 0; (I+m*l2)/p; 0; m*l/p ; C = 1 0 0 0;0 0 1 0; D = 0; 0; p = eig(A) % 求向量K x = 1;y = 1; Q = x 0 0 0;0 0 0 0; 0 0 y 0 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 10 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) % 计算LQR控制的阶跃响应并画出曲线 Ac = (A-B*K);Bc = B; Cc = C Dc = D; T = 0:0.005:5; U = 0.2*ones(size(T); % 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线 Y,X = lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-) legend(Cart Position,Pendulum Angle) grid % - end - （1）运行 LQR1.M，可以确定系统的开环极点为 0、5.5651、-0.1428、- 5.6041，可以看出有一个极点位于 S 平面的右半部分，这说明开环系统不稳定。 （2）在取的条件下，得到反馈控制向1011 44222211 RQQQQ， 量 4594 . 3 6854.186567 . 1 0000 . 1 K （3）LQR 控制的阶跃响应如图 3-2 所示。 其中，实线表示摆杆角度，虚线表示小车位置。从图中可以看出，系统响 应的超调量很小，而且摆杆的稳定和上升所消耗的时间偏长，小车向相反的方 向移动是像预计的跟随摆杆移动。 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 11 00.511.522.533.544.55 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 Cart Position Pendulum Angle 图 3-2 系统响应曲线 可以发现，在矩阵中，增加降低摆杆稳定所消耗的时间和上升时间，Q 11 Q 并且使摆杆的摆动幅度减小。在这里取，在，则 4500 11 Q150 33 Q 20.226102.340536.2547-67.082-=K 响应曲线如图 3-3 所示。 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 12 00.511.522.533.544.55 -3 -2 -1 0 1 2 3 x 10 -3 Cart Position Pendulum Angle 图 3-3 系统响应曲线 此时，如果再增加和值，系统的响应还会改善。但在保证和 11 Q 33 Q 11 Q 足够小的情况下，系统响应已经满足要求了。 33 Q 上述的设计中，是在输出信号得到反馈之后与系数矩阵 K 相乘，然后再减 去输入量，即可得到控制信号。但是，这样会导致输入和反馈的量纲相异，因 此为了不发生这样的矛盾，我们可以给输入乘以一个增益 NBar，如图 3-4 所示 xAxBy yCx K R yy x + arNB 图 3-4 控制系统框图 此时具有量纲匹配的最优控制 LQR 仿真文件 LQR2.m 如下： % 最优控制（量纲匹配） % 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = 0.2; b = 0.1;I = 0.006; g = 9.8; 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 13 l = 0.3; I*(M+m)+M*m*l2; A = 0 1 0 0; 0 -(I+m*l2)*b/p (m2*g*l2)/p 0; 0 0 0 1; 0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0; B = 0; (I+m*l2)/p; 0;m*l/p ; C = 1 0 0 0;0 0 1 0; D = 0;0; p = eig(A); % 求向量 K x = 5000; y = 100; Q = x 0 0 0; 0 0 0 0; 0 0 y 0 0 0 0 0; R = 1; K = lqr(A,B,Q,R) % 计算 LQR 控制矩阵 Ac = (A-B*K); Bc = B;Cc = C;Dc = D; % 计算增益 Nbar Cn = 1 0 0 0; Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K); Bcn = Nbar*B; % 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线 T = 0:0.005:5; U = 0.2*ones(size(T); Y,X = Lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),:,T,Y(:,2),-) legend(Cart Position,Pendulum Angle) grid % - end - 在仿真的过程中需要用到输入/输出匹配系数函数 rscale,由于它不是 Matlab 工具，因此需要将其拷贝到 rscale.m 文件中，并将其与源文件 LQR2.m 一起复 制到 Matlab 工作区内，方可正常仿真，rscale.m 如下： % - rscale.m - % 求取输入输出匹配系数 functionNbar = rscale(A,B,C,D,K) s = size(A,1); Z = zeros(1,s) 1; N = inv(A,B;C,D)*Z; Nx = N(1:s); 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 14 Nu = N(1+s); Nbar = Nu + K*Nx; % - end - 利用函数 recale 来计算，运行程序，计算出：N K = -70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238 即 Nbar=rscale-70.7107 ,可以看出，事实()=0= n KCBArscaleNbar 上 Nbar 和 K 向量中与小车位置对应的那一项相等。此时系统的响应曲线如图x 3-5 所示： 00.511.522.533.544.55 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Cart Position Pendulum Angle 图 3-5 系统响应曲线 从系统曲线上反映出，小车位置跟踪输入信号，并且摆杆超调足够小，稳 态误差满足要求，上升时间和稳定时间也符合了设计指标。 3.4 本章小结 最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，过去因为许多复杂的计算难 以实现，但随着计算机技术的不断进步，复杂的计算可以通过计算机进行处理， 因此最优控制在工程技术应用的越来越广泛。 而最用控制算法（LQR）的目的是在一定性能指标下，使系统获得最佳的 控制效果，达到最小的状态误差。 在仿真的过程中我首先对倒立摆系统如何缩短稳定时间和上升时间进行了 仿真，通过不断的调试，使得系统的响应时间满足了设计要求。然后为了使系 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 15 统输入和反馈的量纲相互匹配，给输入乘以了增益 Nbar，然后进行仿真之后使 得小车位置跟踪输入信号，而且摆杆超调最够小，稳态误差满足了要求，上升 时间和稳定时间也满足设计指标。 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 16 4 单级倒立摆的 PID 控制系统设计 4.1 PID 控制概述 在工业自动化设备中，常采用由比例、积分、微分控制策略形成的校正装 置作为系统的控制器。 自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟 计算机调节器组成计算机控制系统，可以用软件编写实现 PID 控制算法，并且 运用计算机的逻辑功能，更加灵活的控制工业中的自动化设备。在生产过程中 数字 PID 控制器是一种比较常见的控制器，它通过将偏差的比例、积分、和微 分进行线性组合由此构成控制量，对被控对象进行控制，因此被称为 PID 控制 器。 PID 控制器至今依旧是应用最广泛的工业控制器。PID 控制简单易懂，使 用中不需精确的系统模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。 当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论包括三个要素：测量、 比较和执行。反馈的过程就是测量关心的变量，和期望值进行比对，得到误差 后调节控制系统的响应。 PID 控制由比例单元（P） 、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入 e (t)与输出 u (t)的关系为 0 1( ) t pD de t u tKe te t dtT Tdt （4-1） 因此它的传递函数为： （4-2）( ) ( ) ( ) () sT sT K sE sU sG D I p + 1 +1= 需设定三个参数（Kp， Ki 和 Kd）即可。在很多情况下，并不一定需要全 部三个单元，可以取其中的一到两个单元，但比例控制单元是必不可少的。 PID 控制之所以广泛使用： 首先，PID 应用范围广。虽然很多工业过程是非线性或时变的，但通过简 化可以变成基本线性和动态特性不随时间变化的系统，这样 PID 就可控制了。 其次，PID 参数较易整定。也就是，PID 参数 Kp，Ki 和 Kd 可以根据过程 的动态特性及时整定。如果过程的动态特性变化，例如可能由负载的变化引起 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 17 系统动态特性变化，PID 参数就可重新整定。 第三，PID 控制在实践中也不断的得到改进。 在一些情况下针对特定的系统设计的 PID 控制控制得很好，但它们仍存在 一些问题需要解决。比如： 在以模型为基础的自整定中，如何替 PID 参数的重新整定实时寻找并保持 好过程模型是比较困难的。闭环工作时，如果控制过程中插入一个测试信号。 此时 PID 控制器就会产生扰动，所以基于模型的 PID 参数自整定在工业应用不 是太好。 在基于控制律的自整定中，难以区分干扰是由负载变化还是由过程动态特 性变化引起的，因此在干扰的影响下控制器会发生超调，造成系统产生一个多 余的自适应转换。另外，目前还没有一个比较成熟的方法来对基于控制律的系 统进行稳定分析，所以参数整定并不是完全可靠，因此，许多系统本身整定参 数的 PID 控制经常工作在自动整定模式而不是连续的自身整定模式。自动整定 通常是指根据开环状态确定的简单过程模型自动计算 PID 参数。 但 PID 依旧存在不可弥补的缺点： PID 在控制非线性、时变、耦合或者当参数和结构呈现动态的复杂过程中， 发挥地不是太好。最重要的是，如果 PID 控制器控制的过程过于复杂，此时无 论如何调整参数 PID 工作的效率都不太尽如人意。 即便存在这些缺点，PID 却依旧是最简单最高效的控制方法。 4.2 PID 控制系统设计的原理 在模拟控制系统中，控制器中最常用的控制规律是 PID 控制。模拟 PID 控 制系原理框图如图 4-1 所示。系统由模拟 PID 控制器和被控对象组成。 =0R s E s Y s U s F sF 1 Gs KD s PID 图 4.1 模拟 PID 控制系统原理图 PID 控制器是一种线性控制器， 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 18 它根据给定值与实际输出值构 成控制偏差 trintyout （4-3）tyouttrinterror PID 控制规律为 （4-4） t D p dt tderrorT dtterror T terrorktu 0 1 1 或者写成传递函数的形式为 （4-5） sT sT k sE sU sG Dp 1 1 1 式中，为比例系数；为积分时间常数；为微分时间常数。 p k i T D T 简单来说，PID 控制各校正环节的作用如下。 （1）比例环节：成比例地反映控制系统的偏差信号,偏差一旦产生，terror 控制器立即产生控制作用，以减少偏差。 （2）积分环节：主要用于消除静差，提高系统的无差度。积分作用的强弱 取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。 i T i T （3）微分环节：反应偏差信号的变化趋势，并能在偏差信号变得太大之前， 在系统中引入一个有效的早期修正信号，使系统的动作速度加快，减少调节时 间。 4.3 摆杆角度控制 摆杆角度控制问题区别于其他标准控制问题，在这里输出来是摆杆的位置， 它的初始位置为垂直向上，我们通过给系统施加一个扰动，来观察摆杆的响应。 系统框图如图 4-2 所示。 R s E s Y s U s F sF 1 Gs KD s PID 图 4-2 倒立摆系统控制结构 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 19 图中KD（s）是控制器传递函数，G（s）是被控对象传递函数。 考虑到输入r（S）=0，结构图可以很容易的变换成： F sF U s Y s 1 Gs KD s PID 图 4-3 倒立摆系统控制结构 被控对象的传递函数是： （4- den num s q bmgl s q mglMm s q mlIb s s q ml sU s 23 2 4 2 6） 其中, 2 2 mlmlIMmq PID 控制器的传递函数为: （4- 2 2 s KsKsK s K KsKsKD IpD I PD 7） 4.4 小车位置控制 前面的讨论只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加控制的过程中，小车位 置如何变化呢考虑小车位置，得到改进的系统框图如下： F sF U s E s =0R s 1 Gs KD s 2 Gs PID x 单级倒立摆的智能控制及 GUI 动画演示 20 图 4-4 改进后系统结构图 其中，是摆杆的传递函数，是小车的传递函数。 1 G 2 G 由于有信号输入，可以