十七章--高斯光束的物理特性

17章-高斯光束的物理特性 之前的章节建立了计算在真空中的光束特性的分析工具，然而，我们也需要对真实光束特性的物理的，直观的理解-下两节将尝试建立一个了解。特别地，我们以前章节介绍的哈密顿-高斯和拉格拉日-高斯模型都是数学方面的，而且也为拥有有限直径反射镜的、稳定的、激光共振器的传输模型提供了好的近似。因此高斯或者类高斯光束在分析激光问题和有关光学系统的问题得到广泛的应用。高斯光束特性的物理和数学理解是特别重要的。在这章里我们回顾在真空中的理想高斯光束的大多数重要的物理特性。17.1 高斯光束特性在本节中我们首先观察低阶高斯光束物理的性质，包含光圈传输，平行光距离，远场角光束传播和高斯光束传播的其他的实际方面。解析表达式让我们总结低阶高斯光束的特点在一斑点尺寸0和在横向尺寸的平面波前R0=情况下，在一个简化的参考平面，我们令z=0.从今以后，这个平面将被显而易见的原因证明为束腰。如图17.1所示：在另外平面z的高斯光束的归一场方向图将有以下方程复合的曲率半径与光斑的尺寸和曲率半径在任意z平面都有以下定义关系： 在真空中参数遵守传输定理：有初始值记在这些方程里的的值为光束在这些介质中传输的放射波长。高斯光束所有重要的性质都能用束腰尺寸0和zzR比值用以下方程联系：换句话说，沿场方向的整个高斯光束以在束腰上的单一的因素0（或者q0，或者zR）为特点，还有在介质传输的波长。光圈传输 在分析真空中理想高斯光束传播特性前,我们可以简要的了解在任何真正的光学系统存在的有限尺寸光孔的渐晕效应. 光斑尺寸半径之后，高斯光束的强度减弱是非常迅速的。一个实际的光孔必须是多大才能使高斯光束上的截断效应之前能被忽略。 猜想我们定义一束光的总功率为P=|u|2dA ，其中dA表示横截面的面积，在孔尺寸中高斯光束的辐射强度变化如下： 有效直径和均匀的拥有相同峰值强度和相同总功率的柱状光束的面积作为一束柱状高斯光束将是： 如图17.2所示。孔明显比所需的要大，然而，要穿过一个真正的光斑尺寸为的，没有减掉外沿的高斯光束。例如，光斑尺寸为的高斯光束通过集中在直径为2a的圆孔时有极小的的能量会转让掉，如图17.3所示：图中标出了圆孔半径a的圆孔对于光斑尺寸光的传输比值。半径a=的孔可以传输高斯光束86的总功率。我们定义光衰减到86或者1e 时为孔尺寸。然而过去记录里我们有更有用的归纳总结，当圆孔半径为a=（2）或者直径为时，孔将通过高斯光束超过99的总功率。我们经常运用这作为实际的设计准则来设计高斯光束的孔面积，趋向于取“d=”或者是99准则。（当d=3时，我们可以很好的观察到光孔将传输98.9的功率.）图17.4展示一些高斯光束重要的直径落在高斯光束轮廓上。光圈衍射效应然而，光学设计中应该注意到，与圆孔不一样的是方形边缘的孔，即使他们之削弱了一束光总功率中很小的一部分，也会产生光圈衍射效应如图17.5，这将致使传输光束在近场（fresnel）和远场（Fraunhofer）辐射图形产生剧烈的变形。我们将在接下来的章节里介绍，例如，理想高斯光束在通过光斑尺寸为d=且有锐利边缘的圆孔时产生的衍射效应导致强度变化I/I17的近场衍射涟漪，同样在远场轴向的峰强度大约17%的衰减。我们必须放大有锐利边缘的孔的尺寸d4.6来减少1%的衍射涟漪效应的影响。光束的准直：瑞利半径和共焦参数另外一个重要的问题是理想高斯光束从束腰区域传播出来时衍射分散扩大的速度有多少，后者，实际上，我们要知道一束准直的高斯光束开始很大的分散之前的距离是多少？光斑尺寸随距离的变化由方程17.5给出，图17.6展示了两个不同的束腰半径01 和02 01 ，随着传输的距离剧烈的扩大。主要点是当入射光斑在束腰的尺寸0 越小，光束由于衍射分散得越迅速；再近场内保持准直一段比较短的距离；在远场分散一个大的束角。实际上，在光束直径增加到束腰时的2倍，或者是光斑面积加倍时，光束从束腰传播出来的距离由以下参数简单给定术语瑞利半径有时候用于天线原理，描述准直的光束通过直径为d（假设d）天线孔后开始剧烈的分散时的距离zd2/。因此我们采用相同的术语命名zR02/。高斯光束从束腰传播出时，瑞利范围标记了在近场（fresnel）和远场（fraunhofer）区域的分解线。 换一种说法来讲，假如一束高斯光束从一个孔聚焦到束腰然后再扩散，在斑尺寸为20面之间的全部距离b可以表示为 b=2zR= 202=confocal parameter (10)共焦参数广泛用于描述高斯光束。，如图17.7所示，瑞利范围zRb/2在运用于大多数高斯光束有关的公式里。准直高斯光束传播在实际情况下，一束光的准直束腰区域在超过多少距离后扩大？为对这个问题得到更深的了解，我们可以设计高斯光束从一个直径为D的有微小汇聚的初始光圈传播出来，入图17.8所示，结果是光束在离开瑞利范围后缓慢的聚焦到束腰上，其尺寸为0，然后又从新扩散到另一边的相同直径D（或者说相同聚焦界限）的瑞利范围上。例如，我们选择孔直径为或者是穿过总功率为99%原则，所以我们在每一个结尾选定D=20。然后准直光束距离和传输孔尺寸之间的关系用公式表达为Collimated range=2zR=202D2. (11)图17.8和表17.1展示了两束不同波长激光准直范围的典型的数据。一束可见光通过1cm的光孔能投射出有几毫米的有效直径的光束，它在传播50米后者更远距离后没有严重的衍射。这样的光束能用于例如在建设项目中做准直的无重力的弦。在光电池列阵的辅助下，能很容易的发现这样一束光的中心，而且在整个传输距离里准确性好于/20，或者一毫米的小部分。远场光束角：“礼帽”准则接下来我们设想在远场情况下，当光束尺寸随距离变化线性变化时，如图17.9.在zzR的远场下光束传播的角度是多少？由高斯光束方程（17.117.5），在远场中从尺寸为0的束腰通过的高斯光束，它的1/e强度斑尺寸如下（z）=0zzR=z0 （zzR） （12）化简为 0（z）z （13）将束腰的光斑尺寸和远场联系起来。高斯光束在远场中呈角度传播能用几种方法联系近场光束尺寸后者孔面积，这基于我们的要求。例如，远场沿轴向的光束强度如下因此，在轴向与总功率相同的光束强度分散到面积2（2）/2=2z2/202。在远场中相等的礼帽分散的立体角TH(z)，由下给出 与此同时，由17.7给出的方程ATH=02/2为相同大礼帽的柱状光束面积。这两个参数的乘积为 源光圈尺寸（在束腰）和远场立体角传播的叉乘为为平方，尽管精确的数字基于我们选择的面积和立体角，在将来我们将看到更多细节。 远场光束角：1/e准则另一个也是可能更合理的远场束角的定义用到光束直径的1/e或者86%准则，这样通过在电场中巨大距离z里相应1/e强度的点的宽度定义的远场半角。 由以上定义得，在远场中，光束通过1/e强度的点组成半角1e，如图17.9所示：两倍的半角给出全角： 对于高斯光束，可以用更精确的公式化的表述，我们在第一章给出近似的关系/d。我们可以利用由有角的传输来定义圆锥相同的基础来定义高斯光束的立体角1e，或者 如之前记录一样，在远场中，这圆锥发散将包含光束总功率的86%。猜想我们相同的1/e准则来定义在光束束腰的入射光束有效半径（忽略在束腰位置一个半径a=0的孔实际上在远场部分将产生大量的衍射效应）。在1/e定义下，有效圆孔面积A1/202/2与有效远场立体角1e2的乘积为 对于有普遍天线理论的高斯光束来说，这是一个十分精确的公式，表述如下 在物理学方面，这个定理说明， 假如我们测量平面波辐射从一个矢量角=（，）方向到达 有效孔面积为A（）的一个天线， 然后对所有可能角度d的测量面积进行积分，结果（任何形式的无损天线）大多数时候用于衡量波长。结果是固定的，不管是对于任何天线，不管是任何的无线电波，微波或者是光学波长。远场光束角：守恒准则最后，一个更为保守的方法来表示所有的点，我们可以用d=或者99%原则代替1/e原则来定义有效来源光圈尺寸和有效远场立体角。然后我们可以知道初始的斑尺寸0 从直径d=0源孔传输将产生含能量99%的远场光束，其锥形的分散角2=（z）/z。在此基础之上，我们来源光圈面积A为d2/4和光束远场立体角=2；这些可以用更保守的方式联系起来 我们介绍的准则中没有一个可以定义有效孔尺寸和极其精确的有效立体角，以上准则中我们选择哪一个取决于针对什么样的目标。曲率半径我们接下来来看高斯光束曲率半径随距离的变化。高斯光束曲率半径R（z）随距离变化规律如下：在图17.10中标出沿法线方向的变化。在束腰上波前是平坦的或者是平面时，相当于曲率半径R（0）=。然而，随着光束向外传播，波前变得弯曲，曲率半径的值非常迅速的减少（图17.10）。在超过瑞利范围适当距离R（z）z 时再次增加，换言之，高斯光束的光束束腰基本上变成球形波的中心。在物理方面为波前曲线的中心开始于-到波前恰好落在光束束腰上，然后单调向这束腰，直到波前移到z+。曲率共焦曲率的最小半径发现在从束腰开始的一段距离z=zR的波前，半径值R=b=2zR。波前的曲率中心点，坐落在z=+zR，反过来也一样在z=-zR点，如图17.10所示。 某特定的间距根据可靠的共振器理论有一个特殊的意义，设想波前曲线R（z）在zR时在两点安装配套的两个半径为R的镜子，它们之间的距离L=R=b=2zR。这样一个半径为R的镜子的焦点坐落于f=R/2，两个镜子的焦点一致的在共振器的中心。这两个镜子叫做对称共焦谐振器，共焦因子为b2zR202/。我们在接下来探索这样一个独特的，有趣特构造征的共振器。参考文献对于瑞利半径的更深层次了解能在J.F.Ramasy的”Tubular beams from radiating apertures” 中查阅到，微波前沿章节，Vol.3,ed.by L.F.Young(Academic Press,New York,1968),p.127.对相同的意见的更早期的理解可以参考Lord Rayleigh(J.W.strutt)本人的文献”On images formed with or without reflection or refraction,”Phil.mag.11,214-218(1881),和”On pinhole photography,” Phil.mag.31,87-89(1891.)问题17.1略17.2 高斯光束的聚焦在平行高斯光束传播很远距离时，我们经常对将这样光束在聚焦到一个很小的斑很感兴趣，记录数据到影碟或者磁带上，或者在刀片上打洞，或者在激光显微镜下计数细胞核。（因为关于红宝石激光器强度规范的证明，通过仅仅使用一次激光射击就可以在一片或者多片的刀片上击出一个孔，脉冲激光器能量偶尔在“Gillettes”中被引用。）通过高斯光束的聚焦能获得什么种类的光斑尺寸和光强或者是对任何结构完整的高斯光束产生的问题。聚焦光斑尺寸在通常情况下，高斯光束被一面焦距为f的棱镜聚焦，如图17.11所示，简化为像之前17.9所示远场光束问题。束腰区域现在变成了斑尺寸0的焦点， 而且聚焦棱镜的焦距在远场中zf。假设（f）为高斯光束在在透镜上的尺寸，我们能有如公式17.13相同的关系，但是是相反的联系，在实际情况下以上公式有什么隐身意义？能看出在实际聚焦问题中，入射的高斯光束应该填满聚焦透镜的最大面积，来保证高斯光束通过有限孔径的透镜时没有一丝能量的丧失，（同时也没有边缘衍射效应）。在实际设计中一个合理的准则，我们可以采用聚透镜的直径d为D=（f）或者99%准则，所以我们将在透镜中损失小于1%的能量，同时我们也可以采用1/e或者d=20准则来选择聚焦斑点的有效直径，因为这个直径可以通过86%的能量，和在功率强度已经减少峰值的1/e214%的边缘。结合上面准则有为聚焦高斯光束的有效直径。聚焦透镜的焦距f的值（也叫相对孔径或者透镜的感光度），定义为 f#fD （26）聚焦斑直径，我们总结出来的规则如下 选择一种能得到基本相同结果的非传统方法，我们能计算假如一束带着总能量P的高斯光束，然后我们用一面焦距为f的透镜聚焦，对透镜直径用相同的D=准则。接下来在光束聚焦的中间峰强度如下峰强度与面积为2（f#）2或者是直径为（8/）12 f#1.6f#的圆的光束聚焦的能量是相同的。 透镜f值和菲涅耳数的影响无论我们选择什么样的定义，一束理想高斯光束能聚焦到一个一倍或者两倍波长为直径的斑点，透镜焦距f值作为乘数。记一个长焦距的棱镜，如，一个简单的，便宜的，也比较容易得到的焦距f/10的棱镜，其畸变系数十分小。另一方面，当透镜f的值小于2，尤其是f#1时，具体的要求十分复杂的，昂贵的复杂元素设计，和能非常昂贵。有些光学工作者也喜欢棱镜直径D=2a，焦距f和Nf有一下关系，如下： Nfa2f. （29）就上面值与我们的光束和斑直径来说，焦点直径和棱镜直径有以下关系 d0D1Nf. （30）但是给定的棱镜焦距f的值与波长无光，Fresnel系数与波长有关。在方程17.30中的条件可用于更长波长，例如，用IR棱镜强聚焦红外线，可以将光束聚集到远远小于棱镜直径的斑尺寸，要求棱镜有一个很大的Fresnel数Nf。一个完成强焦距的关键性条件，入射高斯光束传输填满聚焦棱镜面积，因为高斯光束直径和非棱镜直径是在计算高斯光束焦点尺寸的参数。景深高斯光束的景深可以很方便的通过高斯光束束腰的瑞利范围给定出来，或者可能就是2zR，这取决于我们怎么定义景深。假使我们用后者的定义，沿着棱镜直径准则D=（f），接下来我们可以定义景深 景深=2zR2f#22（d0）. （31）假如光束聚焦后得到直径为N个波长的光斑。景深N2个波长。焦点尺寸和景深的所有表达式当然也是表现为（a）高斯光束通过棱镜后大致是平行的，也就是平坦的波前，光束聚焦到在焦距f的焦点附近；（b）光束实际上为强聚焦，表现为0（f），或者zRf，或者Nf1。相反的从束腰或者焦点看回去，后者的点说明棱镜在远场中。不管这些假设是不是全部正确，在计算焦点精确位置和光焦点尺寸是是必需有修正的，在接下来的章节理我们可以展示以下问题。焦点偏离当平行光由理想棱镜聚焦时，实际上焦点，意味着很小斑尺寸和最大能量密度的位置，斌不是几何上的棱镜的焦点；更显然的是，焦点落在棱镜焦距内。焦点偏差的量实际上是很小的，如图17.2可以很容易的测量高斯光束的偏差。由图17.2的记号我们能测量棱镜到束腰的距离，或是实际上的焦点，用z表示，然而棱镜的焦距为f。一束平行光通过一面焦距为f的薄透镜，可得到波前曲率半径大约为f。在薄棱镜另一边的一个波前的曲率由下式给出，有高斯光束理论和棱镜理论联合得：焦距f与束腰的实际距离z之间的差异如下标出焦距光束的瑞利范围zR在正常情况下要比焦距小得多，焦点的偏移当然也大幅度的小于焦距长度（意味着实际上这可以忽略掉）。这个规律的表示为下式 ff=12Nf2 （34）作为一个实际的问题，当调节光学设计时我们通常不能知道棱镜焦距的精确值，或者是棱镜焦点的精确位置，或者是准直的入射光的有在任何实际影响的情况下有足够高准确性的焦点偏移。当光学系统组合好了以后，我们通常发现在任何系统中的焦距调整，可以通过小的实验性调节来调整。 总结 基本上我们在本章给出的所有结论，包括准直光束长度，远场角，焦点尺寸，景深，和焦点偏移，尽管我们是用高斯光束推导，但其实是可以用于任何有准直距离或者相同波前和合理、相同的光束振幅。 高斯光束简单提供了部分的典型案例，在数学分析光斑尺寸或者波前曲率是比较容易的。与大多数其他的光束相区别，高斯光束也有显著的特点，在光束传播的任何截面都服从高斯分布。猜想一束相同性质的平面波穿过一面有一个圆孔的薄棱镜聚焦到一个点。这个焦点在棱镜的焦平面上存在Airy斑结构；但是焦点的焦点尺寸和焦距将由如方程17.24至17.31给出的棱镜焦距或者Fresnel值。更多的细节计算可以更清晰的展示光束轴向强度，平均光束直径非常的小，在准确的焦距内的截面是很小的；焦点平面的位置可以由相同的方程17.33或者17.34确定的。参考文献17.2问题略17.3 棱镜定理和与之匹配的高斯模式在各种激光光学系统内一个通常的要求就是发射一束高斯光束通过一系列串联的棱镜，在真空区域和其他光学元件之间，如图17.14所示，或许为了匹配一束由束腰斑尺寸1且在位置z1高斯光束与另一束束腰尺寸2在位置z2的光束干涉。完成此设计经常牵涉到高斯光束模式匹配。如果我们可以用接下来介绍的ABCD的方法来解决所有的可能的问题。在观点上简要的介绍初级的高斯模式匹配技术，当然，这是很有用的。棱镜定理和Collins描述理想的球面波穿过理想的焦距为f的窄棱镜（图17.13）的棱镜定理为 1R2=1R1-1f （35）我们沿着本书中的基础协议，用在+z方向轴上的分散距离R，和棱镜的焦距f。一束高斯球面波穿过这样一面窄棱镜后，其曲率半径以相同的方式改变，然而其斑尺寸不会改变。高斯光束的棱镜定理以此类推，如下 1q2= 1q11f （36）其中q是由方程17.2定义得复合曲率因子。使用棱镜定理得，在真空中这样一个传播规则q2=q1+z2z1，我们能在任何一组棱镜和空间之间传播高斯光束。这在复合的1/q平面描述这个传播轨迹将是很有用的，也是更为方便的，在复合平面j/q有直角坐标系x和y轴分别同位于x/2（z）和y1/R（z），由方程17.36，一个窄棱镜的影响是在j/q平面内-1/f值的垂直跳跃。 这些双向改变的定理被用于电路理论和其他地方，在真空区域的传输定理，q(z)=q0+z=z+jzR,明显的类似于在复合的j/q平面里沿着圈状弧线传输。如图17.14所示。 这就是所谓的高斯光束图像或者为Collins图像与Smith图像中的线性传输理论十分相似不同的高斯光束束腰相对于在x轴上不同的点x=1/zR,y=0。在真空中的传输曲线相当于通过点和源的圆弧（在远场条件下z-）；有不同zR的常数z/zR也穿过源，在图中展示了窄棱镜竖直位置的的图像。这种形式的图像能用于粗略观察高斯光束的传播问题或者一些图像问题的解决。然而随着计算机的普遍应用，我们渐渐忽略他们在实际运用中作为计算工具。参考文献17.3 问题略17.4 轴向相移：GUOY影响高斯光束的传播穿过束腰区域时也会产生细微的；却是重要的相位移动变化，在这一节里我们将明确的讨论。轴向相移低阶高斯光束传输方程（17.3或者17.5）包含斑尺寸变化和随z轴距离变化而变化的相位移动，在光学轴（x=y=0）以及附近的因素除了真空或者平面波相位移动由e-jkz项表示，也有一个增加的轴向变化的相位移动项 如果我们测量考虑束腰位置的相位移动增加。低阶高斯模型相位变化（z）的网状影响，如图17.15所示，给出在束腰的两边额外900变化，或者在穿过束腰时总相位变化为1800，在束腰两侧一个或者两个的瑞利范围内增加的最大的相位移动。在物理学方面，增加的相位移动在束腰区域的有效轴向传播常数有细微的减小，即，keq（z）=kk，或者相速度和波前之间的空间比理想的平面波想速度轻微的增大，即，v(z)=c+v。穿过束腰的高斯光束波前相对理想的平面波提前半个