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文档简介

函数曲线的凹凸性,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位于所张弦的上方,图形上任意弧段位于所张弦的下方,1,定义,2,有什么想法？,3,4,四、曲线凹凸的判定,定理2,5,判别可微函数的凸凹性主要是对,进行比较.,有什么公式能把以上的函数值与函数的,二阶导数联系在一起呢?,泰勒公式,分析,6,(1)在I内,则在I内图形是凹的;,(2)在I内,则在I内图形是凸的.,证:,两式相加,说明(1)成立;,(2),设函数,在区间I上有二阶导数,利用函数在一阶泰勒公式可得,定理2.(凹凸判定法),7,例2,8,例3,证,9,拐点,10,五、曲线的拐点及其求法,1.定义,2.拐点的求法,证,11,方法1:,拐点的求法,12,例4,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,13,方法2:,想一想为什么？,14,例5,解,15,例6,解,注意:,16,17,例7,解,18,练习,19,第三章微分中值定理与导数的应用,第五节函数的极值与最大,最小值,20,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,一、函数极值的定义,21,22,是函数可能取得极值的点。,一阶导数为零的点,通过观察以上的图形:,一阶导数不存在的点,函数不连续的点,23,二、函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,24,25,首先考察下列函数的图形:,26,判别函数的极值点,主要是判别极值可疑点左、右,对于可导函数将归结于判别函数的导数的符号.,两侧函数的单调性.,27,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),28,求极值的步骤:,(不是极值点情形),29,例1,解,列表讨论,极大值,极小值,30,31,看这一部分,32,当充分接近时,上式左端正负号由右端第一项确定,33,定理3(第二充分条件),证,取得极大值,取得极小值,34,例2,解,35,例3,解,36,说明：,为什么？,37,就是说：,38,定理3(第二充分条件)的推广,39,例3,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,40,小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),41,试问,
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