微分几何陈维桓习题答案

练习答案2P.58练习3.12.在球体上，生命.对于赤道平面上的任何一点，它可以作为一条直线穿过两点，并且它与球体有一个独特的交点，这被记录为。(1)证明：点的坐标为，它给出了去掉北极后球体其余部分的规则参数表示。(2)找到去除南极后球体剩余部分的类似规则参数表示；(3)在公共部分找到上述两个正则参数的参数变换；(4)证明球面是可定向的。证据。(1)设置。如图所示，这三个点共线，所以有原因。(1)因为，取上述公式两边模数的平方，我们得到。嘿。(2)根据(1),同样，所以。(3)因此，给出了的正则参数表示。(2)顺序是两点连线与赤道面的交点。同样，也有，嘿。(4)。(5)因此，(4)给出了的正则参数表示。(3)可以从表达式(2)和(4)中得到，因此上述两个正则参数在公共部分上的参数变换公式为嘿。(6)从(3)和(5)可以看出。因此，参数转换是允许的，并且是改变方向的参数转换。注意。如果使用复数坐标，上述参数转换可以写成。这是广义复平面上的保角变换。(4)表中使用公式(1)中给出的常规参数，表中使用常规参数那么公共部分的参数转换公式是嘿。(4)由于形成了敞开的盖子，并且,所以它是可定向的。写出单叶双曲面和直纹双曲面的参数方程。解决方案。(1)对于单叶双曲面，取腰椭圆。,为了准线。将直母线的方向向量设置为。直纹面的参数方程是。由于的分量满足单叶双曲面方程，我们可以得到嘿。从任意性中获得嘿。因此。访问嘿。(2)对于双曲抛物面，曲面的参数方程为嘿。P.94练习3.21.证明：一个规则的参数曲面是一个球体，它的所有法线都通过一个固定点。证明了 是一个球，参数方程为，球的中心为，半径为。然后是嘿。(1)差分可用嘿。(2)因此，有一个函数。(3)这表明球的中心在所有的法线上。由“”设置的所有法线都经过一个固定点。然后有一个函数使方程(3)成立，即有。分别作为内积得到方程(2)。这表明方程(1)成立，其中(否则它只是一个点，不是一个规则的表面)是一个常数。因此，它被认为是球体的中心、半径球体或球体的一部分。3.证明：一个规则的参数曲面是一个旋转曲面，它的所有法线都与一条固定的直线相交。证明了 是一个旋转平面，旋转轴是轴。其参数方程为嘿。因为，,所以图中任何一点的法线的参数方程是。因为轴的参数方程是,因此，它与共面。如果它在任何地方都是平行的，那么，在这个时候，它就是一个垂直于轴的平面。因此，当它不是垂直于轴的平面时，旋转曲面的所有法线都与轴相交。 通过选择坐标系，您可以设置一条固定的直线作为轴。参数方程为嘿。根据条件，的所有法线都与轴相交，因此法线不能平行于轴，即嘿。因此，它不可能都是零。它可以设置在点附近。通过参数变换，曲面的参数方程可以写成嘿。(1)因此.，因为所有法线都与轴相交。这表明它是一个只依赖于。设置,其中，从上述公式获得的参数方程(1)可以改写为。这是一个旋转曲面，通过绕轴旋转平面上的母线获得。假设它是一个圆锥面，上面有一条曲线。(1)曲线的切向量由线性组合表示；(2)证明：切线向量平分和的夹角。(1)解的参数方程为。的切向量是(2)证明。因为,在曲线上的每一点，嘿。从上面可以看出。因此，嘿。P.104练习3.32.将球面的参数方程设置为。寻找它的第一个基本形式。理解、记录和裁决，嘿。因此,T(1)确定该点的两个切线方向。证明了两个切线方向的正交函数满足,其中曲面是第一种基本形式。由于这个条件，证明了二次方程(1)有两个不同的实根和，所以它可以分解成两个主要因素的乘积：(2)关于变量的函数。因为上面的公式是关于字符的二次多项式，比较两边的系数，我们得到，(3)从(2)可以看出，由(1)确定的两个切线方向是嘿。(4)两个切线方向相互正交。(教科书(3.18)(来自公式(4)(来自公式(3)8.已知曲面的第一种基本形式是。(1)求出曲线和的交角；(2)找出曲线和曲线三角形的长度和内角。(3)找出曲线和曲线三角形的面积。解决方案。(1)已知。因为交点是。在交叉点。对于；为了。它们的切线方向满足。所以它们的交角是，或者。(2)让我们设置一个常数。如图所示，和的交点是，和的交点是，和的交点是。因为它是用来计算内角的，在这个点上。同样，内角也是如此。在，所以。在点上。所以，曲线的弧长分别为,注意。在第90版中，主题是，,(3)因为，所以弯曲的三角形面积P.110练习3.41.将弧长设置为参数，曲率设置为。写出其切面的参数方程，使相应的参数曲线形成一个正交曲线网络。解决方案。如果一条曲线的Frenet框架是，它的切面参数方程可以写成。从，可以得到它的第一个基本形式。(1)直母线(即曲线)的正交轨迹的微分方程是，也就是说，由于这个原因，逆变换是，而切面的参数方程是。在新的参数下，嘿。第一个基本形式化是。因此，参数曲线形成正交曲线网络。或者，上述公式可以通过直接代入公式(1)获得：3.求曲线的参数曲线的正交轨迹，其中是常数。解决方案。第一种基本形式是。曲线的正交轨迹的微分方程是，也就是说，求解这个微分方程：,曲线的最终正交轨迹为。曲线的正交轨迹的微分方程是，即交叉正交轨迹是。P.110练习3.51.证据：在悬链线表面,带正螺纹表面,他们之间有保证长度的对应关系。证据。悬链线表面的第一种基本形式是。正螺旋面的第一种基本形式是。对普通螺纹表面进行参数转换，允许参数转换。因为,正螺旋面的第一个基本形式是。根据定理5.3，悬链线表面和法向螺钉表面之间有一个保证长度的对应关系。对应公式是。P.110练习3.51.确定下列哪个曲面是可展的？解释原因。(1)；(2)；(3)；(4)。解决方案。(1)。所以它是一个可展曲面，因为它与规则曲线相切()。(2)，这是一个圆柱螺旋，所以它是一个可展曲面。(3)命令嘿。然后，直接进行计算。当时，它是一个鞍形曲面，所以它不是一个可展曲面。当或，它是平面的，所以它是可展的。当和时，它不是一个规则的表面。(4)命令.然后.由于,这不是一个可展曲面。2.考虑一个双参数线性族，其中是线性族的参数。(1)找出参数之间的关系，从而得到的单参数直线族是可展曲面的直母线族；(2)确定相应可展曲面的类型。解决方案。(1)对于固定参数，双参数直线族中的直线可以写成点方向公式：让函数关系。然后得到一个单参数线性族，由它们构成的直纹面方程为。因此.是一个可展曲面，哪里有常数？也就是说，函数关系是。(2)此时的参数方程为，其中嘿。因为，它不是圆柱体。如果它是一个圆锥体，那么有一个函数,常数向量在哪里？因此,因此，它是一个常数。因此，矛盾。所以它是一个切面。事实上，记住，在哪里。然后。以新的准线为例。然