多边形的内角和与外角和典型热点考题

多边形的内角和与外角和典型热点考题例1 已知：四边形的四个外角度数比为1234，求各外角的度数？解：设四边形的最小外角为x，则其他三角分别为2x，3x，4x，根据四边形外角和定理：x2x3x4x=360 x=36， 2x=72， 3x=108， 4x=144 四边形各外角度数分别为36，72，108，144例2 多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350，求多边形的边数？解法一：设边数为n，这个外角为x度，则ox180，依题意有：(n-2)180x=1350，.又 Ox180， -9090-x90， n=9.解法二：Ox180； 1350-1801350-x1350；即 11701350-x1350，又 (n-2)180=1350-x， 1170(n-2)1801350. 8.5n9.5； n的边数必为整数， n=9.注：此类题都隐含着边数为正整数这个条件解法一是利用整数方程来解的解法二是利用不等式确定边数范围然后通过边数为整数来解的例3 如图4-39，已知在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，B=90求：四边形ABCD的面积点悟：由B=90，AB=3，BC=4，想到连接AC，利用勾股定理解题得AC=5，又AD=12，CD=13由勾股定理的逆定理有DAC为直角，从而.解：连结AC在RtABC中，有 AC=5. CD=13，AD=12，有即 . ACD是直角三角形，DAC=90， = =点拨：当题目中有线段长度时，一般利用勾股定理的逆定理判定某三角形是否为直角三角形四边形问题通常转化为三角形问题来解决，在构造三角形时必须同已知条件结合起来，不要随意连线例4 一个n边形每个内角都是150，则这个多边形的内角和是多少？点悟：由于这个n边形每个内角都是150，所以可以推知它的每个外角都为30，而任意多边形的外角和都为360，从而可以知道这个n边形的边数，再利用多边形内角和定理即可解：方法一： 这个n边形的每个内角都为150， 此n边形的每个外角为30，又 任意多边形的外角和为360， n=36030=12. 此n边形的内角和为180(n-2)=18010=1800方法二：设这个多边形的边数为n，由题意得：150n=180(n-2)解这个方程，得n=12则此多边形的内角和为：180(n-2)=18010=1800点悟：如图4-40，在n边形内部取一点O，连接O与各个顶点的线段，把n边形分成n个三角形，因为这n个三角形的内角和等于n180，以O为公共顶点的n个角的和是360，即2180，所以n边形的内角和是n180-2180=(n-2)180我们还可以这样求n边形内角和，如图4-41所示，作经过n边形某一个顶点的所有对角线，把n边形分成(n-2)个三角形，则n边形的内角和即为(n-2)个三角形的内角和即(n-2)180例5 已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？点悟：此题首先要利用多边形内角和定理表示出每一个内角，然后列出不等式解：设多边形是n边形，由题意得：即 解得 n4.内角都为钝角的多边形有无数个又 n4，n为整数， n的最小值为5，即边数最少的一个是五边形注：对于此题的最后一个问题，实际上是对不等式附加某些条件，然后可求出具体未知数，但要注意的是，五个角都是钝角的五边形是存在的，但五四形不一定五个角都是钝角点拨：如果有4个或4个以上内角