数列部分常用方法总结

数列部分常用方法总结2015/11/22l 数列通项的求法一、公式法1 运用等差（等比）数列的通项公式.2 已知数列前项和，则（注意：不能忘记讨论）例1已知数列an的前n和满足求此数列的通项公式。解得，当所以二、（可以求和）累加法例2在数列中，已知=1，当时，有，求数列的通项公式。解析： 上述个等式相加可得： 练习：1、已知数列，=2，=+3+2，求。2、 已知数列满足求通项公式3、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式4. 已知数列满足 且 ，则求这个数列的通项公式三.（可以求积）累积法例3在数列中，已知有，()求数列的通项公式。解析：原式可化为又也满足上式； 练习：1、已知数列满足，求。2、已知,求数列通项公式.3、已知数列满足，求通项公式四 待定常数法可将其转化为，其中，则数列为公比等于A的等比数列，然后求即可。例4在数列中， ，当时，有，求数列的通项公式。解析：设，则，于是是以为首项，以3为公比的等比数列。练习：1、 在数列中， ，求数列的通项公式。2、已知，求。3、已知数列满足，求通项4.已知数列满足，求数列的通项公式。五（）倒数法例5已知，求。解析：两边取倒数得：，设则；令；展开后得，；是以为首项，为公比的等比数列。；即，得；练习：1、设数列满足求2、在数列中，求数列的通项公式.3、在数列中，求数列的通项公式.l 证明是等差（等比）数列的方法一、利用等差（等比）数列的定义在数列中，若（为常数）或（为常数），则数列为等差（等比）数列这是证明数列为等差（等比）数更最主要的方法如：例1（2005北京卷）设数列的首项，且，记（）求；（）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论解：（）；（），所以，所以，猜想：是公比为的等比数列证明如下：因为所以是首项为，公比为的等比数列评析：此题并不知道数列的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。例2（2005山东卷）已知数列的首项，前项和为，且（）证明数列是等比数列；（）略解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，所以，又，所以，从而故总有，又，从而所以数列是等比数列评析：这是常见题型，由依照含的式子再类似写出含的式子，得到的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论本题若是先求出通项的表达式，则较繁注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；时，有（常数）二运用等差或等比中项性质是等差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法例3（2005江苏卷）设数列的前项为，已知，且其中为常数（1）求与的值；（2）证明数列为等差数列；（3）略解：（1）由，得把分别代入 ，得解得，()由()知，即，又-得，即又-得，又，因此，数列是首项为1，公差为5的等差数列评析：此题对考生要求较高，通过挖掘的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算例4（高考题改编）正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列证明：数列为等差数列证明：依题意，且，由此可得即数列为等差数列评析：本题依据条件得到与的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差数列，使问题得以解决l 前n项和的求法一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、6、 例1 已知，求的前n项和.解：由 由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 1例2设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，题1.等比数列的前项和S2，则 题2若12+22+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c= . 解： 原式= 答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3求和：解：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积设. （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 例4求数列前n项的和.解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例5求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 例6求的值解：设. 将式右边反序得 . （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得： 所以.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例8求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） （分组求和）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）例9求数列的前n项和.解：设 （裂项） （裂项求和） 例10在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 例11 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立 练习题1. 答案：.练习题2。 =答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例12求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13数列an：，求S2002.解：设S2002由可得 （找特殊性质项）S2002 （合并求和） 5例14在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得 （合并求和） 10练习、求和：练习题1 设，则_ 答案：2.练习题2 若Sn=1-2+3-4+(-1)n-1n，则S17+S3350等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D .2 解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= 答案：A练习题 3 1002-992+982-972+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=50