复变函数与积分变换----第七章----复旦大学出版社

傅里叶变换,第七章,7.1傅里叶变换,一个以L为周期的函数fL(t)，如果在区间-L/2,L/2上连续，那么在-L/2,L/2上可以展开成傅里叶级数其中一个周期函数表示成正弦函数类的和，称为函数fL(t)傅里叶级数.,傅里叶级数的复指数形式,记,设非周期函数F(t)在区间内连续、可积，且绝对可积，考虑区间(-L/2,L/2)，F(t)在此区间上有三角级数表示,其中系数为,定义一个周期为L的函数FL(t)，在区间(-L/2,L/2)内等于F(t)，而在区间端点-L/2,L/2处的值可能等于F(t)在这两点的平均值；,当L越大时，FL(t)与F(t)相等的范围也越大，可以猜测当L时，周期函数FL(t)的极限为F(t)，即是,对任意的，有,当L时，令，则有,以及,记，有,其中对实数，函数定义为,当L趋向无穷时，自然趋向于一个函数，称为函数F的傅里叶变换，,随着L趋向无穷时，趋向于零，而所对应的点均匀地分布在整个数轴上，且取值从-到，,称为的傅里叶逆变换.,定理7.1若F(t)在(-,)上满足下列条件：1)F(t)在任何有限区间上连续或只有有限个第一类间断点；2)F(t)在任何有限区间上只有有限个极值点；3)F(t)在区间(-,)上绝对可积，即是积分收敛.则F的傅里叶变换存在，且有,例7.1求函数的傅里叶变换，并验证傅里叶逆变换.,解:,除了两个单极点外是一个解析函数,如果，考虑在下半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理，有,当，考虑在上半平面取一个半圆周和实轴组成的闭曲线上的积分，由留数定理得,验证傅里叶逆变换,计算,由奇偶性知道，虚部为一奇函数，积分为零，因此有,所以,例7.2求函数的傅里叶变换，并求傅里叶逆变换的积分表达式，其中0.这个函数叫做指数衰减函数，是工程中常遇到的一个函数.,解:,上式最后一行的表达式就是衰减函数的傅里叶变换,傅里叶逆变换,例7.3求函数的傅里叶变换和逆变换的积分表达式，其中.这个函数叫做钟形函数，又称为高斯(Gauss)函数，是工程技术中常见的函数之一.,解:,令，则上式变为一复变函数的积分，,为复平面s上的解析函数，取如图闭曲线：正方形ABCD，由哥西积分定理得,当正方形边长R时，,同理可得，当R时，有,.,故有,即是,高斯函数的傅里叶变换为,的傅里叶逆变换,此即为,7.2单位脉冲函数及其傅里叶变换,定义狄拉克(Dirac)函数：,函数表达式为它表示一个矩形脉冲电流.,即是矩形面积为1，称为脉冲强度.,在脉冲强度不变的条件下，随着s减小，矩形脉冲电流就变得越来越陡，因此有即是,表示的物理意义是是一个宽为0、振幅为、强度为1的理想单位脉冲.,电流为零的电路中，某一个瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，求电路上的电流I(t).记Q(t)为进入上述电路的电荷函数，那么,当t0时，I(t)=0；当t=0时，因为Q(t)不是一个连续函数，不存在通常的导数.,电流强度I(t)=(t).,考虑函数集合：D=;是定义在(-,)上无穷可导、性质很好的函数.不仅可以在(-,)上展开成幂级数，而且当时，函数快速地趋向于零.设,D，k为一个实数或复数，则有，k均属于D，即是D成为一个向量空间.,固定s0，对任意的D，积分定义一个从向量空间D到实数或复数的一个线性映射.,因为D当然是一个连续函数，所以有,最后一个等式定义了从D到实数或复数上的一个线性映射：对任意的D，有,函数的傅里叶变换,例7.4证明单位阶跃函数的傅里叶变换为.,证明,由函数的奇偶性，有,当t=0时，显然有,当t0时，有,当t0时，此时有，所以f=0，因此f(s)g(t-s)=0；,若t0，此时只有当时