五证明解答(三-格)

（格与布尔代数）67、当n分别是24，36，110时，是布尔代数吗？若是，则求出其原子集。解：因为|S24|=8，|S36|=9，|S110|=8，故不是布尔代数。在中12没有补元，故它也不是布尔代数。是布尔代数，其原子集为2,5,11。68、设L是有界格，且|L|1。证明：01。证明：用反证法证明。设0=1。则任取aL，则由于L是有界格，故a1且0a。即0a1。因为0=1且是L上的偏序关系，所以a=0。这与已知|L|1矛盾。69、设(L,)是格，若a,b,cL，abc，则ab=bc , (ab)(bc)=(ab)(ac)证明：因为abc，所以ab=a，ab=b=b，且b=bc，以c=bc。从而ab=bc。(ab)(bc)=a(bc)=a(ab)=(aa) b=ab=b，(ab)(ac)=(bc)(ac)=b(c(ac)=bc=b。70、在布尔代数中，证明恒等式a(b)=ab证明：a(b)=(a)(ab)=1(ab)=ab71、设是格，a1,a2,anL。试证：a1a2an= a1a2an当且仅当a1=a2=an。证明：显然是成立的。对任一k=1,2,.,n，a1a2anak，aka1a2an。因为a1a2an= a1a2an，且是L上的偏序关系，故ak=a1a2an。从而a1=a2=an。72、在布尔代数中，证明恒等式(ac)(b)(bc)=(ac)(b)证明：(ac)(b)(bc)=(ac)(bc)(b)(bc)=(abc)(bc)=(a)bc=1bc=bc,故 bc(ac)(b)，从而(ac)(b)(bc)=(ac)(b)。73、在布尔代数中，证明恒等式(ab)(c)(c)=(ab)c证明：(ab)(c)(c)=(ab)()c)=(ab)(c)=(ab)c。74、设是格，a,b,c,dL。试证：若ab且cd，则 acbd证明：因为ab，cd，所以a=ab,c=cd。从而(ac)(bd)=(ac)b)d=(b(ac)d=(ba)c)d=a(cd)=ac，所以acbd。75、当n分别是10,45时，画出的哈斯图。解： 10 45 15 9 5 2 5 3 1 1 76、在布尔代数中，证明恒等式(a)(b)(c)=(b)(c)(a)证明：(a)(b)(c)=(abc)(ab)(a)(ac)(bc)(c)()(b)=(abc)()，(b)(c)(a)=()(a)(c)(ca)(b)(ba)(bc)(bca)=(abc)()，故(a)(b)(c)=(b)(c)(a)。77、设是格，a,bL，且ab，记Ia,b=xL|axb则是的子格。证明：x,yIa,b,axb且ayb。由定理6.1.1有axyb且axyb。从而xyIa,b且xyIa,b。故Ia,b 关于和是封闭的，从而是的子格。78、设Aa,b,c，求的子格（P(A)表示A的幂集）。解：P(A)=,a,b,c,a,b,a,c,b,c,A。在P(A)的所有非空子集中，只要它关于和是封闭的，则它就是的子格。显然和是的子格。、等都是的子格。79、证明：在同构意义下，4阶格只有2个。证明：若是L上的全序关系，则它一定是良序关系(因为任一有限的全序集一定是良序集)。若设L=a,b,c,d，则L的四个元素满足：abcd。若不是L上的全序关系，则L中一定存在两个元素（不妨设为b,c），bc和cb都不成立。因此bc和bc既不可能相等，也不可能是b和c。不妨记a=bc,d=bc。故的四个元素a,b,c,d满足aa,bb,cc,dd,ab,ac,ad,bd,cd。 d d c b c b a a 80、设是有界格，是A上的全序关系。若|A|2，则aA-0,1，a无补元。证明： 用反证法证明。若 aA-0,1，a有补元a。即aa=1，aa=0。因为是A上的全序关系，所以aa或aa。若aa，则a= aa=0。若aa，则a= aa=1。无论如何，这与a矛盾。81、格是模格a,b,cL，有a(b(ac)=(ab)(ac)证明：a,b,cL，记d= ac。所以ad,从而a(b(ac)= a(bd)= (ab)d=(ab)(ac)。a,b,cL，若ac，则c= ac。所以(ab)c= (ab)（ac）= a(b(ac)= a(bc)。82、设是分配格， a,b,cL。若(ab)(ac)且(ab)(ac)，则bc。证明：由吸收律、分配律和交换律有b=b(ab)b(ac)=（ba）（bc）=(ac) (bc)=c(ab)= c(ac)c。83、证明：在有补分配格中，每个元素的补元一定惟一。证明：设是一个有补分配格。aL,设b和c都是a 的补元，即ab=1,ac=1,ab=0,ac=0。由吸收律、分配律和交换律有b= b0b(ac)=(ba)(bc)=1(bc)=bc,c= c0=c(ab)(ca)(cb)=1(cb)=cb。 故b=c。从而每个元素的补元是惟一的。84、设是格，则L是分配格当且仅当a,b,cL，有(ab)ca(bc)证明：设L是分配格。对a,b,cL，有(ab)c=(ac)(bc)因为aca，故(ac)(bc) a(bc)。从而(ab)ca(bc)对a,b,cL，因为aca,ac c,a ab,bc c,bc b,b ab,所以ac ab，ac c，bc c,bc ab，从而(ac)(bc)(ab)c。又由已知有(ab)c=(ba)c)c(b(ac)c=(ac)b)c(ac)(bc)。故(ab)c=(ac)b)c(ac)(bc)。从而L是分配格。85、设是一布尔代数，则是一个交换群，其中定义为a+b=(ab)(ab)。证明： a,bS，S,0,1是一布尔代数，a+b=(ab)(ab)= (ba)(ba)=b+a。运算+满足交换律。 a,b,cS，(a+b)+c=(ab)(ab)+c=(ab)(ab)c)(ab)(ab)c) =(abc)(abc) (ab)(ab)c) =(abc)(abc)(ab)(ba) c)=(abc)(abc) (abc) (abc)a+(b+c)=(c+b)+a=(cba)(cba) (cba) (cba)=(abc)(abc) (abc) (abc) =(a+b)+c运算+满足结合律。aS，S,0,1是一布尔代数，a+0=(a0)(a0)= (a1)0=a。0关于运算+的单位元。aS，S,0,1是一布尔代数，a+a=(aa)(aa)=00=0。a是a关于运算+的逆元。综上所述，是一个交换群。86、设是一布尔代数，则 R= | ab=b是S上的偏序关系。证明：aS，满足等幂律， aa=a，故aRa。即R是自反的。a,bS，若aRb且bRa, 满足交换律， b=ab=ba=a。即R是反对称的。a,b,cS，若aRb且bRc, 满足结合律， c=cb=c（ba）=(cb)a=ca,故aRc。即R是反对称的。综上所述，R= | ab=b是S上的偏序关系。87、设是一布尔代数，则关系= | ab=a是S上的偏