圆辅助线的常用做法

浅谈圆辅助线的做法对于平面几何，圆的许多主题需要添加辅助线来解决。 百思不解的题目，加上适当的辅助线，解决问题，构思顺畅，有效培养学生的创造性思维。 追加辅助线的方法有很多，但是在本文中，仅仅通过分析来探索汇总几个圆中常见的辅助线的手法。 下面以几个主题为例进行说明。1 .有弦，有弦心距d.dc.c乙组联赛po.oa.aef.fp乙组联赛图1为了解决弦、弧的问题，通常创建诸如弦的中心距离、半径等辅助线，将其应用于垂直定理和定理以解决问题。例1图1，4444444444444444444444444444AC=BD。 寻求证据： PO二等分APD。BD(交流适配器(解析1 :等弦AC=BD从BD到等弧=CD(甲组联赛(并且=，由此等弦AB=CD，从同圆开始由于等弦上的弦心距离相等，且与各自对应的弦垂直，因此可获得辅助线oe、ab、of、CD、简易证明opeOPF、PO二等分APD。CD(甲组联赛(把证明法OEAB变成e，把OFCD变成fBD公司(交流适配器(AC=BD=AB=CD=OE=OFOEP=ofp=90=opeopfd.dc.c乙组联赛po.oa.ap乙组联赛图1-10OP=OPope=OPF=po二等分APD分析2 :如图1-1所示，需要证明PO为一半的APD，即证书OPA=OPD可以将opa和OPD构成两个三角形中，证明三角形全等，所以也可以做辅助线即半径OA、OD，因此容易证明acpdbp，得到AP=DP，容易证明opaopd。证明法2 :连接OA、OD。CAP=BDPapc=dpb=acpdbpAC=BD=AP=DPOA=od=opaOPD=opa=OPD=po二等分APDOP=OP2 .有直径，形成直径上的圆周角乙组联赛d.dc.cma.ao.o.a.a21图2对于与直径有关的问题，利用直径上的圆周角，可利用直径的作为对象的圆周角为直角的性质。例2如图2那样，在ABC中，AB=AC直径- 1111222222222222222222211111222卡卡卡卡卡卡卡卡卡653求证DMAC。分析： AB是直径，自然地考虑那个地方正确的圆周角是直角。 因此，连接AD，得到ADB=Rt，另外，从等腰三角形的性质得到1=2，从用绳切角的性质得到ADM=B，简单地证明了AMD=ADB=90，可以得到DMAC。证明链接AD。=1=2AB是- o的直径=ADB=RtAB=ACDM切片- o位于D=ADM=B1 b=2ADM=amd=ADB=rtDMAC从直径和等腰三角形考虑直径的圆周角。3 .圆中有切线时，切线总是连接切线点的半径或切线点的弦例3如图3所示，AB求出111112卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡a的度数。d.da.ao.o乙组联赛c.c.图3分析：由于过切点的半径垂直于切线可以得到作为辅助线半径OC、Rt通过求解直角三角形，可以得到cob的度数因此，可以求出A的度数。解：链接OC。=COSCOD=OC/OD=1/2=COB=60DC切割o为C=OCD=90OC=OB=BDed.dc.cf.fo.o12a.a乙组联赛图4=A=1/2COB=30换句话说，过切点的半径垂直于切线，因此考虑连接半径。例4如图4所示，在ABC中，1=2圆o超过a、d两点，在BC和d点相接。求EF/BC。分析：要证明EF/BC，可以找到同位角或内误角等于与否，明显是同位角相等，难以证明，可以连接DE，得到一对内误差角BDE和DEF，从圆的性质可以看出这两个角分别等于1和2，因此EF/BC容易证明。证明链接DE。BC切片o位于D=BDE=12=def=bde=def=ef/BC1=2乙组联赛d.dmpO1O2.图5要说明的话，由于有切线，与圆的中等圆弧成对的圆周角相等，所以考虑连接弦。4 .两圆相切时，可形成公共切线或连心线在实例5中，如图5所示，得知o1和o 2是外接的在点p处，越过p点使两条直线相交O1o 2在点a、b、c和d处。 要求签证的PBPC=PAPD。分析： PBPC=PAPD，即PAPB=PCPD由此，能够证明辅助线AC、BD以及AC/DB，为了证明它们平行，必须考虑到这两个角分别与弦的角度有关，如C=D，制作作为辅助线的两圆的公共切线MN，以解决该问题。连接AC、BD，证明越过p点制作两圆的内通切线MN=C=DAPM=c，BPN=DAPM=BPN=ac/db=pa:pb=pc:pd=pbpc=papdt.t乙组联赛a.aO1O212图6根据说明，从弦平行且弦的切线角与其相等的圆周角考虑公切线和弦。例6如图6所示，是4444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡6接点t的直线和o1和o2分别与点a和b相交。要求签证的TATB=O1AO2B。分析：为了证明TATB=O1AO2B，可以考虑验证这四条线段一个三角形相似，即to1a2222卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡埃埃埃埃埃埃埃埃埃埃埃埃埃=O2O1一定超过接点t证明合并延长O2O1o 1和o 2与点t内接=1=2=O1A/O2BO1A=O1T=1=TO2T=O2B=2=T=to1a8765； to2b=ta:tb=o1a:o2bf.fe乙组联赛c.ca.aO1O2.图7d.d根据说明，连心线必须通过切断接点来制作三角形的证明书等，可以认为是连心线。5 .两个圆相交时，形成共同弦或连心线。例7如图7所示，44444卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡2点，超过a点的点在o2的切线相交的o1在点c直线CB交叉11111气体气体气体气体6用点e连接CE。 寻求证据的CA=CE。分析：为了证明CA=CE，需要在三角形中验证它们的对角相等，即E=CAE，并且考虑到DAF=CAE，因为弦的切线角DAF被认为等于夹弧对的圆周角，所以需要创建辅助线：公共弦AB，得到E=DBA，易证CA=CE。证明链接AB。CA切割o2为A=DAF=DBA四边形ABCE与- O1=-e=-DBA内接DAF=CAEe=CAE=ca=cec.cd.demnga.a乙组联赛O2O1f.f图8说明一下，用两个圆相交，弦的角和圆的内接四边形，想出了共同的弦。例8如图8所示，在梯形ABCD中，在两腰AD、BC各自直径的2个圆与m、n的2点相交超过m、n的直线在梯形上，下底与e、f相交。求证： MNAB .分析：因为MN是共用弦，所以作为辅助线O1O2需要MNO1O2，再说O1O2是梯形中央线，得到O1O2/AB，容易证明MNAB .证明连接O1O2处于G=MNO1O2.DO1=O1A、CO2=O2B=O1O2是梯形ABCD中央线=O1O2/ABEFA=go1=rt Mnabf.fa.a乙组联赛d.do.o.hec.c图9换句话说，两个圆相交的连心线被认为是垂直于公共弦的连心线。有半圆，可以做圆例9如图9所示，BC是- 11111222222222222222226BA(AF(AD交叉点BF为e。 寻求证据AE=BE分析：要证明AE=BE，可以考虑在三角形中证明两侧BH(BA(BH(AF(对角相等。 也就是说，ABF=BAE，考虑验证这两个圆周角因为对的弧是相等的，所以1222222222222222222222226证明书全11112卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡卡BA=AF(BH(BA(直径BCAD=BH(AF(abf=bah=AE=be要说明的话，二等分弦的直径一定要从二等分弦的成对的弧开始考虑补圆。pa.aq.q乙组联赛O2O1.图107 .面对两个相交的圆的至少一个穿过另一个圆的中心的问题，常用的辅助线是连接交叉点的半径例10如图10所示，44444卡卡卡卡卡卡卡卡卡a、b两点，且O2在- O1上，点p在- O1上点q在O2上如果APB=40，则求出aqb的度数。分析连接O2A、O2B，1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111根据圆内接四边形性质求出AO2B=140，得到11111气动气体6AQB=1/2AO2B=70。证明过程微乎其微。要说明的是，由于该圆内的该圆弧的圆周角等于对圆心角的一半，因此考虑连接交点的半径。添加几何辅助线是几何学习的难点，正确添加辅助线是设置问题和传达结论的桥梁，也是解决问题的重要手段。 学生在