4 1 不定积分的概念和性质

第四章第四章 微分法微分法:)?()( x F 积分法积分法:)()?(xf 互逆运算互逆运算 不定积分不定积分 第一节第一节 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 一、一、 原函数与不定积分的概念原函数与不定积分的概念 引例引例: 定义定义 1 . 若在区间若在区间 I 上定义的两个函数上定义的两个函数 F (x) 及及 f (x) 满足满足 在区间在区间 I 上的一个上的一个原函数原函数. 则称则称 F (x) 为为f (x) 正问题正问题: 已知已知:求求即即 反问题反问题: 已知已知:求求即即 问题问题: 1. 在什么条件下在什么条件下, 一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在? 2. 若原函数存在若原函数存在, 它如何表示它如何表示? 定理定理1. 存在原函数存在原函数. 初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数 （原函数存在定理）（原函数存在定理） 定理定理 2. 原函数都在函数族原函数都在函数族( C 为任意常数为任意常数) 内内 . 证证: 1) 又知又知 )()(xFx)()(xFx0)()(xfxf 故故 0 )()(CxFx)( 0 为某个常数C 它属于函数族它属于函数族.)(CxF 即即 定义定义 2. 在区间在区间 I 上的原函数全体称为上的原函数全体称为 上的不定积分上的不定积分,其中其中 积分号积分号; 被积函数被积函数; 被积表达式被积表达式. 积分变量积分变量; (P185) 若若则则 ( C 为任意常数为任意常数) C 称称为积分常数为积分常数, 不可丢不可丢 ! 例如例如, x x deC x e xx d 2 Cx 3 3 1 xxdsinCxcos 记作记作 6 例例1. 以下结果哪个是正确的？以下结果哪个是正确的？ 答案：都正确。答案：都正确。方法一：求导验证；方法一：求导验证； 方法二：恒等变形。方法二：恒等变形。 注：注：由于原函数之间相差一个函数，所以积分结果呈由于原函数之间相差一个函数，所以积分结果呈 现出形式上的多样性。可用对原函数求导来验证结果现出形式上的多样性。可用对原函数求导来验证结果 的正确性。的正确性。 不定积分的几何意义不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为的原函数的图形称为 xxfd)( 的图形的图形的所有积分曲线组成的所有积分曲线组成 的平行曲线族的平行曲线族. y xO 0 x 的的积分曲线积分曲线. 例例2. 设曲线通过点设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线 斜率等于该点横坐标的两倍斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程求此曲线的方程. y x )2 , 1 ( O 例例3. 已知已知,cossin)(xxxF 求求).(xF ,)(2 2 F 例例4. 已知已知 )(xf , 1x 1x , 1x , x2 求求.)( dxxf 9 由不定积分的定义由不定积分的定义 x xxfd )( (1) xxfd )( 或或 或或 )(xf xxfd)( d CxF )(CxF )()(x F xd d)(xF 二、不定积分的性质二、不定积分的性质 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 xxgxfd)()( xxgxxfd)(d)(2) xxkfd)( xxfkd)(（k是常数，是常数，)0 k(3) 10 实例实例 x C x 1 1 启示启示 能否根据求导公式得出积分公式能否根据求导公式得出积分公式 结论结论 )1( 要判断一个不定积分公式是否正确要判断一个不定积分公式是否正确,只要只要 将右端的函数求导将右端的函数求导,看是否等于被积函数看是否等于被积函数. xx d 求导公式求导公式 1 1 x 积分公式积分公式. 三、基本积分公式三、基本积分公式 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 积分运算和微分运算是互逆的，积分运算和微分运算是互逆的， 11 基本积分公式基本积分公式 xkd1)(k是常数是常数) xx d2 )( x xd 3)( 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 x x d 1 1 )4( 2 Cx arctan x x d 1 1 )5( 2 Cx arcsin xxdcos)6(Cx sin Ckx )(1 1 1 C x Cx ln 12 x x 2 cos d )8( xxdsec2 Cx tan x x 2 sin d )9( xxdcsc2Cx cot 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 xxxdtansec)10(Cx sec xxxdcotcsc)11(Cx csc xe xd )12(Ce x xa xd )13(C a a x ln xxdsin)7(Cx cos 13 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 例例5. 求求 例例6. 求求 例例7. 求求 例例8. 求求 例例9. 求求例例10. 求求.d 1 2 4 x x x 例例11. 求求 例例12. 求求 14 思考与练习思考与练习 2. 若若 2 xxfxd)(ln Cx 2 2 1 3. 若若是是 x e的原函数的原函数 , 则则 x x xf d )(ln 21 1 CxC x ln 1. 已知已知,d)(Cxexxf x 2 1 求求 x xf x d )( 1 5. 已知已知 2 2 2 2 1 d 1d 1x x BxxAx x x 求求 A , B . 4. 若若 ;sin1)(xA;sin1)(xB 的导函数为的导函数为则则的