初三数学一轮复习：方程解法归纳

1、 方程解法归纳代数方程分类解法精析一.一元二次方程的解法主要有四种：（1）直接开平方法：适用于（mx+n）2=h (h0)的一元二次方程。（2）配方法： 适用于所有化为一般形式后的一元二次方程。但是，具有二次项系数为1，一次项系数为偶数特点的一元二次方程，用配方法解才较简便。配方法是通过配方将一元二次方程化成（mx+n）2=h (h0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。 其基本步骤是：首先在方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；把常数项移到等式的右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；方程左边写成完全平方式，右边化简为常数；利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为1时，一定要化为1，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方（3）公式法：适用于解一般形式的一元二次方程。利用公式可以解所有的一元二次方程。注意：当b2-4ac0时，方程才有实数解；当b2-4ac0时，原方程无实数解。（4）因式分解法： 适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。二.二项方程的根的情况： 对于二项方程， 当n为奇数时，方程只有且只有一个实数根。 当n为偶数时，如果，那么方程有两个实数根，且这两个实数根互为相反数；如果，那么方程没有实数根。三.因式分解法解高次方程 解高于一次的方程，基本思想就是是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。 用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。四.可化为一元二次方程的分式方程的解法1适宜用“去分母”的方法的分式方程 解分式方程，通常是通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程来解。 解分式方程要注意验根！2、适宜用“换元法”的分式方程 适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，五.无理方程的解法 解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。1只有一个含未知数根式的无理方程 当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。2.有两个含未知数根式的无理方程 当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。3.适宜用换元法解的无理方程 如果无理方程中，二次根式里面的未知项和二次根式外面的未知项相同，可以使用换元法来解。例题分类详解一.整式方程的解法1.一元一次方程和一元二次方程的解法一元一次方程的解法同学们都很熟练了，我们主要回顾一下一元二次方程的解法。例题 用适当的方法解下列方程：（1）（2x+1）2=25 （2） （3）3x2+8x-1=0 (4) x2-9x=0 解：（1）两边直接开平方，得 2x+1=5 2x+1=5或2x+1=-5 即 x=2或x=-3 原方程的解为x1=2，x2=-3（2）在方程两边同除以2，得移项，得 方程配方，得即 利用直接开平方法，得原方程的解为，（3），原方程有实数解。，（4）方程左边因式分解，得 x(x-9)=0x1=0，x2=92.含字母系数的整式方程的解法 例题 解下列关于x的方程（1）(3a-2)x=2（3-x）（2）bx2-1=1-x2（b-1）解（1）去括号，得 3ax-2x=6-2x 移项，得 3ax-2x+2x=6 合并同类项，得 3ax=6 当a0时，方程是一元一次方程，解得 ；当a=0时，方程变成 0x=6，这时不论x取什么值，等式0x=6都不成立，因此方程无解。所以，当a0时，原方程的根是；当a=0时，原方程无解。（2）移项，得 bx2+x2=1+1合并同类项，得（b+1）x2=2因为b-1，所以b+10两边同除以b+1，得 当b+10时，由方程解得 ；当b+10时，方程中，这时方程没有实数根。所以，当b+10时，原方程的根是，； 当b+10时，原方程没有实数根。3.特殊的高次方程的解法（1）二项方程的解法 二项方程的定义：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另外一边是零，那么这样的方程叫做二项方程。关于x的一元n次二项方程的一般形式是 二项方程的解法及根的情况：一般地，二项方程可变形为可见，解一元n次二项方程，可以转化为求一个已知数的n次方根，运用开方运算可以求出这个方程的根。 例题 判断下列方程是不是二项方程，如果是二项方程，求出它的根。（1）x3-64=0 （2）x4+x=0（3）x5= -9 （4）x3+x=1解：（1）、（3）是二项方程，（2）、（4）不是二项方程。下面解方程（1）、（3）：（1）移项，得 x3=64 开方，得 即 x=4（3）开方，得 即 （2）双二次方程的解法 双二次方程的定义：只含有偶数次项的一元四次方程，叫做双二次方程。关于x的双二次方程的一般形式是 双二次方程的解法：可以用“换元法”解形如的双二次方程。就是用y代替方程中的x2，同时用y2代替x4，将方程转化为关于y的一元二次方程 ay2+by+c=0解这个关于y的一元二次方程即可。通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 例题 判断下列方程是不是双二次方程，如果是，求出它的根：（1）x4-9x2+14=0 （2）x4+10x+25=0（3）2x4-7x3-4=0 （4）x4+9x2+20=0解：（1）、（4）是双二次方程，（2）、（3）不是双二次方程。下面解方程（1）、（4）：（1） 设x2=y，则x4=y2，于是原方程可化为y2-9y+14=0解这个关于y的方程，得 y1=2，y2=7由y1=2，得x2=2，解得 由y2=7，得x2=7，解得 所以，原方程的根是 x1=，x2=，x3=，x4=（4）设x2=y，则x4=y2，于是原方程可化为y2+9y+20=0解这个关于y的方程，得 y1=-4，y2=-5由y1=-4，得x2=-4，它没有实数根； 由y2=-5，得x2=-5，它也没有实数根所以，原方程没有实数根。（3）因式分解法解高次方程 例题 解下列方程：（1）2x3+7x2-4x=0 （2）x3-2x2+x-2=0解：（1）方程左边因式分解，得 x(2x2+7x-4)=0 x(x+4)(2x-1)=0 得x=0或x+4=0或2x-1=0原方程的根是 x=0，x=-4，x=注意：不要漏掉x=0这个根!（2）方程左边因式分解，得 (x3-2x2) +(x-2)=0 x2(x-2)+(x-2)=0（x-2）(x2+1)=0 即 x-2=0或x2+1=0解方程x-2=0得 x=2方程x2+1=0没有实数根所以，原方程的根是 x=2二.可化为一元二次方程的分式方程的解法1适宜用“去分母”的方法的分式方程 例题 解下列方程分析：本例是一道分式方程，通常采用去分母法。（1）首先应观察各项分母，如能分解因式必须先分解因式，如本例x2-17x+60可分解因式为（x-5）（x-12）.（2）分解因式后再找各分母的最小公倍式.如本例为“（x-5）（x-12）”.（3）用此整式去乘方程的每一项，便可约去分母，将分式方程转化为整式方程求解.（4）最后应检验，至此例可找到本例完整解答.解：原方程就是，方程两边都乘以，约去分母，得，整理后，得.解这个方程，得.检验：， 均为原方程根.在去分母的过程中要注意两点：（1）必须注意符号的变化规律（如本例“12-x”与“x-12”的关系）；（2）用整式乘以方程的每一项，一项都不能漏.2.适宜用“换元法”的分式方程适宜用换元法的分式方程有两种，一是二次项与一次项相同的，采取同底换元法；二是不看系数，方程的未知项呈倒数关系的，可采取倒数换元法，下面的例题中的两个方程，分别具有这两种特点。 例题 解下列方程：（1）；（2）.（1）分析：观察方程（1）可发现二次项底数与一次项未知底数相同，因而，可考虑同底换元法为宜.解：（1）设.则原方程可化为， .当y1=-2时，即；当y2=-3时，即. 均为原方程的根.（2）分析：观察方程（2）可发现这个方程左边两个分式中的与互为倒数，根据这个特点，可以用倒数换元法来解.解：设，那么，于是原方程变形为，去分母，得 ， ，解得 y1=,y2=1.当 y=时，.去分母并整理，得.解得 .当y=1时，即.去分母并整理，得.检验：把分别代入原方程的分母，各分母都不等于0，所以它们都是原方程的根.原方程根是：.由此可以看出，解分式方程“转化”为整式方程（一元一次方程或一元二次方程）用去分母法是基础方法，解分式方程应首先考虑用基本方法求解，然后再根据分式方程特点，考虑换元法，便可达到转化的目的，找到思路.对于解题过程的每一个步骤都不能疏忽，才能正确求解.三.无理方程的解法 解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。解无理方程一定要验根！在初中阶段，我们主要学习下面两种无理方程的解法。1只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例题 解下列方程：(1) （2）解：（1）两边平方，得 4（x-3）=(x-6)2 整理，得 x2-16x+48=0解这个方程，得 x1=4，x2=12经检验，x=4是增根，舍去；x=12是原方程的根。所以，原方程的根是 x=12（2）原方程可变形为 两边平方，得 (3-x)2=2x-3整理，得 x2-8x+12=0解得 x1=2，x2=6经检验，x=2是原方程的根；x=6是增根，舍去。所以，原方程的根是x=22.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使乙个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。 例题 解下列方程：（1） （2）解：（1）原方程可变形为 两边平方，得 x2-2=2x+1整理，得 x2-2x-3=0解得 x1=-1,x2=3经检验，x=-1是增根，舍去；x=3是原方程的根。