反例在数学中的价值

数学系数学与应用数学专业09级本科毕业论文反例在数学中的价值 摘 要 本文通过探讨，反例在数学教学中的作用，来阐述反例在数学中的价值，在教学中尤其是数学教学中通过反例不仅可以使学生加深对最基础概念的理解，还可以起到学生对概念理解的全面性、提高学生逆向思维的能力、与纠正错误、发现问题的能力。 关键词 数学反例 数学教学 数学概念 数学定理 应用 在数学思维中，举反例和证明同等重要,它们是同一个问题所具有的不同的两个侧面。我记得数学曾经指出:“冒着过于简单化的风险,我们可以说数学是由证明与反例这两大类组成,并且以后数学问题中的发现也是朝着证明与构造反例这两个目标在发展1。在数学中反例比正面简洁而且比正面还更有说服力，但要论证反例比较难，要有雄厚的数学知识，一经找到反例则会马上明朗。 然而举反例并不是一件容易的事，对此我自己有深刻的感受，觉得对于某一个命题而言，要构造出它的反例，结果发现，要比证明出它还难。 因此，我们要了解和研究构造反例的方法是必要的，如果你掌握了构造反例的方法，则能对于我们，数学问题的解决能力，有很好的培养，和现在的学生在数学学习中都是采用死记硬背时，而死记硬背都是靠直觉思维，但直觉思维存在着不严密性，所以结论可能是存在不严密或者是错误的。 因此，教师在教学过程中，要引导学生用逆向的思维，来考虑和解决问题。这样，既可以客服学生呆板的、固定的思维模式，还可以使学生对该问题有更全面的认识。由此可见教师在教学过程中根据学生的心理特点,抓住机会恰当地利用反例,可以消除学生思维的定势错觉2。以前的教科书无一例外都是围绕所学知识的理论体系建立、书上的例题基本上全是从正面先进行证明，再给出结论，最后给予总结，从而引出定理，基本上不出现反例,导致学生产生惯性思维，一看到问题不管合不合理，首先在脑海中出现的是直接证明,直接从题目、正面入手，不管横不能得出结论，就算是证明不出结论，而很少想到可不可以举出一个反例来否定该命题。所以在教学中，教师要充分认识到这点，引用反例的价值，戒除学生的惯性思维，并且间接提高学生逆向思维、发散思维等能力。 1、反例在数学中的应用与意义 记得我在以前的学习过程中总是有这样一种感觉，当我在解某一个数学命题无法解出时我改变解题思路从该命题的结论下手，或者从反面去想一想，发现该命题的答案就在眼前，结果解出了这道题，现在的数学课本，好像是上海的，新编数学课本中就说：“我们要确定一个命题是不是假命题就要看你能不能举出一个，满足这个命题的条件但是却满足不了这一个命题的结论的例子就判断出来了，这就是数学中所说的反例。G波利亚说：“类比和反例是获得发明的伟大源泉。”通过类比使我们获得1系列的猜想，但当猜想实为谬误时，反例是最简捷的1种说明方法4。我们从数学的发展历程来看，发现证明和反例居然是一样重要的，并不像我们不管教师还是学生认为的那样貌似证明比反例重要的多其实造成我们这样认为的原因很简单，因为我们在平常的解题过程中，绝大部分的证明是从正面直接入手的，所以在脑海中给我们留下了，好像所有的数学问题都市通过正面来解决，进而认为反例不重要的错误结论。而数学的发现也是朝着这两个目标提出证明和构造反例发展5。下面就让我来解释一下，什么叫做反例，用通俗的话来说反例，首先必须是一个例子，而且，是推翻了假设命题不成立的例子，这种例子我们就叫做反例。我们看看世界数学发展的历史，发现有很多猜，想都用到了构造反例的方法来证明，比较著名和典型的比如：法国数学家费马猜想“任何形如的数（n为自然数）都是质数”（即费马小定理），曾难倒许多数学家。直到半个多世纪后，由欧拉发现是合数而不是质数，才一举否定了费马猜想7。从这个例子中我们明显感觉到了反例的价值，反例对数学史的发展明显有着很大的推进作用。进入21世纪，和平与发展早已成为当今时代的主题，而现代科学技术的快速发展带动了各行各业的发展机遇，学校教育也不例外，我们知道不管何时何地，发展与挑战是同时存在的，这也给我们学校教育的发展带来了挑战，就拿我们国家来说，目前，在我国重视教育的前提下，我们国家基础教育，投入越来越大，越来越深入，课程当中的理论知识内容改革有很大的机遇和挑战，但我们知道理论知识再怎么改革都脱离不了知识的本质。 因此要在教学方法的改革上下足功夫，改变以往课堂上老师在整节课当中一直当作的主体地位，通过更多的教学方法使学生在课堂中变的对知识的渴望程度越来越高，对学习的主体地位比例越来越大，这样对于学生的学习水平和成绩明显有很大的提高，要达到这种效果，提高教学质量，我们的教育工作者要对教材，和教法的研究上有了很高的要求，必须要大胆的在理论联系实际的前提下成功的摸索出比较合理，比较有效，比较符合我国情况的教育教学方法。使社会的快速发展与教育的快速发展走到同一条高速轨道上。 但是，现阶段我国的数学教学现状不容乐观，由于我国经济发展的不平衡，严重造成了我国教育，教学水平发展的巨大差距，在我国西北地区，就是我所在地区我们的教学问题是很多的，就拿中学数学教学来说，我们的老师由于各方面的原因，在教学方法，效果，成绩等各方面都比较落后，老师们平常就拿着一支粉笔，在黑板上一次讲完，然后开始布置作业，让学生写完交上就完成。对于没听懂的，或者不会做的同学，采取增加作业量，死记硬背等方式来掌握该部分内容，很明显这样的教学方法不可能从实质上提高成绩，反而使他们更加厌倦课本，远离知识，这在我实习的过程中有很深的感触，特别是在中学数学的教学中，题海战术已成为老师们认为提高学生学习成绩的唯一和最好办法，结果使得学生们越来越反感，从主观上排斥学习，更不要说培养学习兴趣，边学边忘，没有理解与掌握，这是在我们西北这边教学给我留下的最大映像。所以我认为研究反例在数学教学中的价值，在一定的程度上可以改变上述情况。 2、数学反例的概念和类型 我们所说的数学中的反例，是指符合某个命题的条件，但是不符合这个命题结论的例子。也就是说，反例是一种指出某命题不成立的具体例子，所以从某种意义上说所有的例子都可以称为反例，因为我们所举出的这些例子就是为了否定原命题不成立而举的，所以说它总能指出某命题不成立，但是我们所说的数学反例是相对于数学命题而言的具体实例.是反驳与纠正错误数学命题的一种方法，是建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上.一般来说一个假命题的反例有多个，我们在举反例时只选其中一个有代表性的就可以了1。平常我们说的反例，是有条件的，是在一定范围内，针对某一命题而言的，所以平常我们所说的反例与针对该命题的命题条件和结论等相对于而言成立，数学上的反例，我们通过它的概念可以分为这样几种： 2.1基本形式的反例 根据数学命题，反例有以下四种基本形式:第一个是全称肯定判断，也就是我们平常所说，的所有S都是P，第二个是全称否定判断，我们平常所说的，所有S都不是P，第三个是特称肯定判断，我们平常所说的，有S是P，最后一个，第四个是，特称否定判断我们平常所说得，有S不是P，这四种基本形式之间的关系比较复杂，但可以通过一个逻辑方阵明朗的表示出来，其中，全称肯定判断和特称否定判断之间互为矛盾关系，全称否定判断，与特称肯定判断互为，矛盾关系。具体的关系我不在这做文字性叙述，如下面的图所示： 下面我举个例子，例1 设为实数，函数讨论的奇偶性.差等关系差等关系下反对关系（可以同真不能同假）上反对关系（不能同真可以同假）特称肯定判断全称肯定判断全称否定判断特称否定判断解析 函数,由一个反例可得，此时既不是奇函数，也不是偶函数。 2.2充分条件假言判断的反例充分条件的假言判断，什么是充分条件的假言判断那？也就是说，判定某一事物，或某一情况，是另一事物，或另一情况，充分条件的假言判断，我们把它用字母，表示，用汉字可以简单地叙述为只要条件成立，结论必成立，只要条件不成立结论有可能不成立，也有可能成立。”这时候我们可以举反例 “没有前者，却有后者”，来说明。平常我们把所举的这种反例叫做，充分条件假言判断的反例。例2：在高中数学课本，好像是高一课本上有这样一个命题， 它说“四边形是矩形的充要条件，是对角线相等”，看到这个命题很多同学都觉得是正确的，并且还给出来了证明，当然，这个证明很显然也会是错误的，不然该命题就成为真命题了，要证明它是假命题，很简单，举一反例就可以了，下面给出我所举的反例。我们画出一图，如右边的图1所示，四边形，为一个等腰梯形，很容易证明它的对角线相等，也就是说它的 ，但它是等腰梯形而不是矩形。 2.3必要条件假言判断的反例下面我们来说一说什么是必要条件的假言判断，我们平常是用字母可以表述为，也就是说，没有前面的命题，就一定没有后面的结论，而且是有了前面的命题也不能保证有后面的结论，后面的结论能不能成立是不一定的，这个我们也可以这样的举反例，就是“有了前者，没有后者”来解释和说明。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例4。例如我们所学过的，并且经常接触的的方程与函数来说，方程不一定是函数，但函数则一定是方程。 例3：是方程，我们发现这个方程不是关于的函数，因为通过函数的概念，我们知道函数具有唯一性，但这个方程明显不具有唯一性，所以它不是函数。 2.4条件变化型反例平常我们所学的数学命题，当我们发现一旦它的题目的条件发生改变后，结论也会发生变化，原前的结论有时还成立，而在大多数情况下不成立，而我们为了更直接，更详细的表达我们的这个观点会举出例子来说明，而我们这个时候所举的这种例子叫做条件变化型反例，我们将常用这种举例的方法来说明一些简单的数学定理。 例4：我们在大学里学过这样一个定理，叫做闭区间上的连续函数性质定理，也可以把它叫做最值定理，这个根据不同老师的习惯有不同的这两种称呼，但他们的内容肯定是一样的：说若有这样一个函数，它在上连续，则在上至少取得最大值和最小值各一次。 这时候如果我们改变一下条件，把条件闭区间减弱成为开区间，然后我们来看看结论还正不正确？怎么来看那，我们可以举一反例，举反例：在上连续，但无最值。 3、在教学中反例的作用 3.1 反例可使学生正确理解基本概念 我们在平常的学习过程中无一例外的都是通从正面过直接接触概念和在解题的过程中无一例外的通过从命题推结论的方式来进行学习和命题的证明，当你在平常证明和解题的过程中多举从反例和从结论推命题的过程中入手你会发现自己概括知识点或者说是信息的能力和辨别信息的能力会有很大的提高，所以我们说反例在一定程度上能有效地克服思维定势10。我们在平常的学习过程中自己总是感觉得到课本上的概念、定理、理论知识、例题等，都是比较简单的，可以说课本上的这部分内容是我们以后进行解题和证明的最基础、最基本的知识点，如果我们的学生连这部分最基本、最简单的内容都没有真真的理解和熟练的掌握，那么对于某些稍微复杂，稍有深度的习题无法解出正确的结论，给出正确的答案，所以说学生要学好数学，提高成绩，老师要提高教学水平，必须先要让学生非常熟练的理解和掌握，课本上那些最基本的概念和定理，当然了课本中有的概念很容易理解，有的则还是有难度，相对来说比较抽象，我们的教师在教学生们这些比较有难度，比较抽象的定理和概念时，则可以引导学生通过反例来进行讲解，这样做很容易从反面排除学生容易模糊，理解错误的知识。间接的对概念、定理有了清楚地认识。其实从过去自己的学习中我们知道，不管那门课程的学习，都离不开对该门课程最基本概念的理解，尤其是物理与数学这两门课程特别突出，所以我希望，以后的课程改革，课本中对于概念、定理不仅能从正面给出解释并且可以从反面来举例说明，这样学生对于课本中的知识会有更全面、更清楚、更深度的理解，让我来举例说明，来看下面这个例题。 例5 .在进行奇、偶函数概念的教学时，不少学生对概念的理解只是表面的，还没有深入到其本质教师可提出问题：是偶函数吗?看到这个问题我估计大概会有百分之九十的学生会大声的喊出是，而正确答案是这个函数不是偶函数，说这是是偶函数的学生我认为有两部分，第一部分是比较粗心的学生，看命题不仔细，没有注意到，该函数后面给定义域划出了范围，所以认为这是偶函数，而占大多数的，第二部风学生，就是对课本上的基本概念和定理理解的不够深入，而通过这个例子教师可以再给学生进行详细的讲解之后，相信他们对该部分的概念、定理内容有了准确，深刻的认识，今后遇到同类问题时，可以减少犯错率。下面我们再多举几个例子。 例6、我们在高一的时候学习了角的概念，老师给我们说，锐角是第一象限的角，学生们都记下了，这时候，很多同学，可能也想当然的认为，第一象限的角是锐角，老师遇到这种情况的时候可以举一个简单的例子，就可以使学生们认识到这句话是不对的，比方说，很明显它不是锐角，因为锐角的范围是零度到九十度，四百度明显在这之外，但它是第一象限的角，因为第一象限的角是,所以我们通过这一反例即可得出正确结论锐角一定是第一象限的角，但第一象限的角不一定是锐角。 例7、记得自己在高二学习异面直线，那一章的内容的时候，没有完全理解什么样的直线是异面直线，只是简单的以为在两个平面内，即不在同一平面内的直线就是异面直线，相信现在也有许多学生跟当初的我一样，还是这样理解异面直线的概念，这时候教师就应该举这样一个例子来加深我们对异面直线概念的认识，比方说有一长方体，它的顶面长方形和底面长方形相对应的对角线不在同一平面上，但它们是平行直线，而不是异面直线来说明。 可见，教师在教学中通过运用反例与原概念、定义比较，学生对有关概念就有较深的印象。如果我们从认知的角度来分析，不难发现具有同一功效。例如，当我们遇到一些比较复杂的事情时，很少能通过对该事物一次的了解来清楚的认识它，不然它也不算复杂的事情了，但我们通过多次重复的对该事物认真和努力的观察可以对它有了更清楚和深刻的认识，有了经验，有了教训，在以后的观察中对于认识复杂事物的内在、本质，会有很大的帮助，所以根据我们得出的这个经验，可以在教学中应用到去，是学生在学习不易懂得、复杂的概念知识时，恰当。合理的应用反例对学生掌握复杂概念的程度有很大的帮助，并通过正反两方面的比较，就可以加深学生对概念本质的理解和掌握。 3.2帮助学生学习基础知识，提高学生修养 当今社会，随着经济、科学技术水平的快速发展，运用而生了许多的学科，但不同的学科具有不同的要求，而我认为从严谨的角度来说，数学学科的要求是最严谨的之一，因为在数学中，尤其是在数学运算，数学解题过程中决不能允许犯一丁点的错误，比如说在历史上比较有名的俄罗斯航空遇难事件，就是因为一个小数点造成的，给后来的人们留下了深刻的印象。那现在的教学来说，很多老师都是从正面直接入手，这种方式很难引起学生的学习兴趣和主动性，更不要说严谨性了，所以我们要改变这种情况的话我觉得反例教学很有价值与作用。 就拿人民教育出版社的课本中关于线和面垂直概念和如何判断的定理来说，课本中是这样说的，如果有一条能与一个平面中的任何一条直线都垂直的的直线，那么这条直线就和这个面垂直。我们可以举出这样一个例子来说明该命题的不对进而强调这个定理中任何这个关键词的重要性。来举例“有这样一条直线，它与一个平面中的无数条平行线都垂直，但它与该平面相交而不垂直 如右图所示，我们要让学生仔细观察，平面内的着无数条直线有什么关系，这样一对比发现，学生就更容易加深来对概念的理解，并且增加学习气氛，并进一步提高学生的数学修养。3.3培养学生的辨证思维能力一般说来，构造反例不像提出证明那样有清晰可循的逻辑途径，而给人一种不可琢磨的感受，它是一个探索发现的过程9。同时，反例的构造使不唯一的，这就给我们的学生，在构造反例的过程中提供了很多很好的素材。强化了学生用辩证的眼光去看待数学问题的能力，还能让他们感觉到数学所具有的严密性，在不断举例反驳和肯定的学习过程中，扩宽了知识面，并且提高了学生的辩证思维和发散思维的能力。 4、反例在实例中的运用。 有一部分看着好像正确的命题，如果我们取个特殊的情形，便可以容易的发现该命题的反例，从而为你构造反例节省很多不必要的麻烦。 例8“现假设为有理数，请问它的倒数是正不正确？ 我们的学生看到这道命题吗，感觉很简单，便不假思索的回答当然是对，其实不然，这时老师就可以举例来解释说明，比方给取一个特殊值，学生可以显然发现此时是没有倒数的，所以这个命题是不对的，老师通过这样的讲解，使学生对有理数的概念加深了理解，并可以在以后的解题过程中可以学会针对某些命题，可以以一个特例来得出真假的简便方法。 例9、求抛物线过点(3，3)的切线，有同学解答如下：因为=过点()的切线方程为，此时，我们把这些已知量代人后可得切线方程，但该切线方程是否准确，我们画出它的图形，发现它与该抛物线不相切，说明该切线方程是不对的，因为在这里我们忽略了抛物线的切点有一个前提条件，它是公共点，所以它要满足抛物线方程但点不是抛物线上的点，所以我们不能得出正确结论。而这个例子也告诉学生们解题过程中，一定要认真。不能忽视，和否定学生的质疑，对于学生的反复思考和坚持不懈，给予肯定和鼓励，培养出在遇到困难时，刻苦钻研的精神。例10、有两条直线，与一组平行直线相交被这组平行线截成,现在我们知道 ，所以是成立的，如果现在我们改变一下条件，把一组平行直线，改为不平行，那么这个比例还能不能成立？很多学生想当然的认为不成立，这是老师就举一个这个结论成立的例子即可，比方说如图3中的第二幅图。GeFEGEHLHGFabcdabGedcL图 35、反例的构造如果说我们在解题过程中要判断一个命题的真假，而很难从正面来直接判断时，就要想到用构造反例来判断原命题真假的办法，所以，从构造反例的目的我们就能给反例的概念下出定义，但构造反例并不是盲目的，有时候构造反例也不是很容易的一件事，所以针对怎么构造反例、方法等我有以下几种介绍。5.1特例构造法特殊与一般属于对偶范畴，它们一方面相互对立，另一方面相互联系和相互依赖10。在平常的解题过程中我们如果合理的利用它们之间的关系就能减少很多麻烦，有时候用特殊来推广到一般，而有时候又可以用某一特殊来否定它的一般性，这在数学问题解决中是经常用到的，在数学史上也用这种方法来否定过很多著名假想。例12、请问同学们，一个无理数的无理数次方，是不是还是一个无理数。让我们来看看这道题，第一眼感觉到无从下手，这时候我们应该马上想到举例，举出一个符合该命题并且容易得出结论的特殊例子，下面就是详细的解觉过程。 解：取为一个无已知理数，则取，现在如果说为有理数，则我们上面所说的命题不成立，如果说为无理数，则，为有理数，即不管怎么样我们发现都是有理数。例13、已知求是（ ）（A） （B） （C） （D）读完这道题，我们先来尝试着从正面来解答，感觉到有难度、解题很复杂、步骤很多，根本不容易解出，这时候应该改变解题思路，教师在讲解时可以考虑用取特殊值的方法来解答，比方我们取时发现=，符合选项当中的答案，故答案就是。这就是一个很典型的运用举例取特殊值来解决问题的例子。5.2直观构造法直观构造法我们一般应用的范围主要在几何、数形结合等比较直观的问题上，由于主要应用在解决几何命题的问题中，所以在它的构造中我们要必须结合命题图形来构造。例14如果一个四边形，它的对一组边相等，并有一组对角相等，那么，这个四边形是平行四边形。分析：由平行四边形的判定定理原本没有这一条定理，我们先画出一个图，然后来看看有些同学认为是平行四边形，就作出了以下证明： 已知：四边形中, 求证：四边形是平行四边形。 证明：作于，于,连结。 ，,四边形是平行四边形。 然而这样的证明似乎没有什么不妥之处，每一步都证据充分，但根据“同弧所对的圆周角相等”，可构造以下反例来说明以上证明是错误的：如图5所示，作平行四边形，过三点以及三点分别作两个圆，让所在弧上移动，使得，则在四边形中，但它不是平行四边形。 6、总结语 现在社会，科技、经济、文化都在快速发展，而数学知识在科技发展中是必不可少的一部分，数学知识已成为科技发展的基础，科技的发展来不开数学，所以我们要越来越重视未来科技人才的培养，数学人才的培养，从基础抓起，从现在学生的数学基础、课堂知识抓起，这就要求当今教师教学水平的大力提升，而反例教学，在教学中的价值是我们当今教师所不能忽略的一部分。并且我们应该认识到应用反例教学可以把比较难的，抽象的知识转化为现实中比较具体的例子，更有利于学生的理解，并且由于是现实中的例子，给学生留下的印象会比较深。B.R.盖尔鲍姆和M.H.奥姆斯得给予了高度评价：“一个数学问题用一个反例予以解决，给人的刺激诚如一出好的喜剧13。“反例法的辩驳、对照，使学生对于命题真假的判断、一题多解的培养及发散思维能力的提高等都有很大的帮助，值得应用与推广。参考文献：1 占莹.试论反例的功能与构造J.科技信息，2008,14，7：597-598。2 林美娟，注重反例教学，培养学生的发散思维能力J，科技信息，2008,6，31：644-645。3 张志淼.数学学习与数学思想方法M.郑州：郑州大学出版社，2006。4 (美）G波利亚，怎样解题M，上海科技教育出版社，2007。5 彭光焰，例谈反例的教学功能J，数学通报，2002,12，8：16-18。6 郭丽暄，论数学问题解决能力的培养J，宁德师专学报（自然科学版），2005,17，3：76-79。8 任樟辉.数学思维理论M.南宁：广西教育出版社，2003。9 王知人.浅谈反例的教学功能J.燕山大学教学研究2000,23，3：278-279。10 解恩泽.徐本顺.数学思想方法M.济南：山东教育出版社，1989。11 严镇军.陈吉范.从反面考虑问题M.合肥中国科技大学出版社,1989。12 王俊青 . 数学分析中的反例M. 成都电子科技大学 ，2005。13 张景斌，中学数学中的反例M .北京科学出版社，2002。14 席振伟，数学的思维方法M.南京、江苏教育出版社，1995。Value of counterexample in Mathematic