高一数学 等差数列优秀

.,（第一课时）,.,教学目标：,1、掌握等差数列定义和通项公式;2、提高学生的归纳、猜想能力;3、联系生活中的数学。,.,教学重点与难点：,难点对等差数列特点的理解、把握和应用重点掌握对数列概念的理解、数列通项公式的推导及应用,.,一、由具体例子归纳等差数列的定义,看下面的数列：4，5，6，7，8，9，10；3，0，3，6，；下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种（表示鞋长、单位是cm）21，21，22，22，23，23，24，24，25;一张梯子从高到低每级的宽度依次为（单位cm）40，50，60，70，80，90，100；每级之间的高度相差分别为40，40，40，40，40，40.,从第2项起，每一项与前一项差都等于1,这就是说，这些数列具有这样的共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。,从第2项起，每一项与前一项差都等于3,从第2项起，每一项与前一项差都等于10,从第2项起，每一项与前一项差都等于0,问：这5个数列有什么共同特点？,.,数学语言：anan1=d（d是常数，n2，nN*）,定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列,通常用AP表示。这个常数叫等差数列的公差，用字母d表示。,.,二、由定义归纳通项公式,a2a1=d，,a3a2=d，,a4a3=d，,.,则a2=a1+d,a3=a2+d=a1+2d,a4=a3+d=a1+3d,an1an2=d,anan1=d.,这（n1）个式子迭加,ana1=(n1)d,当n=1时，上式两边均等于a1，即等式也成立的。这表明当nN*时上式都成立，因而它就是等差数列an的通项公式。,.,三、巩固通项公式,an=a1+(n1)d(nN*),.,（一）求通项an,若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an例如：a1=1,d=2,则,an=1+(n1)2=2n1,已知等差数列8，5，2，求an及a20,解：a1=8,d=58=3,a20=49,an=8+(n1)(3)=3n+11,练习：已知等差数列3，7，11，则an=_a4=_a10=_,an=a1+(n1)d(nN*),4n-1,15,39,.,(二)求首项a1,例如：已知a20=49,d=3则，,由a20=a1+(201)(3),得a1=8,练习：a4=15d=3则a1=_,6,an=a1+(n1)d(nN*),.,(三)求项数n,例如：已知等差数列8，5，2问49是第几项?,解：a1=8,d=3,则an=8+(n1)(3),49=8+(n1)(3),得n=20.是第20项.,an=a1+(n1)d(nN*),.,问400是不是等差数列5，9，13,的项？如果是，是第几项？,解：a1=5,d=4an=5+(n1)(4),则,由题意知，本题是要回答是否存在正整数n，使得401=5+(n1)(4)成立,所以400不是这个数列的项,an=a1+(n1)d(nN*),.,解2：这些三位数为100，101，102，999可组成首项a1=100，公差d=1，末项为an=999的等差数列。由an=a1+(n1)1得999=100+（n1）1n=999100+1=900,练习：10100是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.20在正整数集合中，有多少个三位数？30在三位正整数集合中有多少个是7的倍数？,an=a1+(n1)d(nN*),解1:a1=2,a2=9,a3=16,d=7,an=2+(n-1)=100n=15.是第15项.,.,(四)求公差d,例如一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。,分析：用an表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。,由题意知a1=33,a12=110,n=12由an=a1+(n-1)d得110=33+(12-1)d解得d=7,从而可求出a2=33+7=40a3=40+7=47a4=54。,总结：在an=a1+(n1)dnN*中，有an,a1,n,d四个量,已知其中任意3个量即可求出第四个量。,那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？,an=a1+(n1)d(nN*),.,（五）小综合,在等差数列an中已知a5=10,a12=31,求a1、d及an,an=2+(n1)3=3n5,知识延伸：,由定义，可知：a6=a5+da7=a6+d=a5+2d=a5+(75)da8=a7+d=a5+3d=a5+(85)da12=a5+(125)d,猜想：任意两项an和am之间的关系：,an=am+(nm)d,证明：am=a1+(m1)dan=a1+(m1)d+(nm)d=a1+(n1)d,本题也可以这样处理：由a12=a5+(125)d得31=10+7dd=3又a5=a1+4da1=2,.,练习：等差数列an中,已知a3=9,且a9=3,则a12=_,课后思考：能否对上面的结论进行推广：若ap=q且aq=p(pq)则ap+q=0?,0,.,四、能力培养：两个等差数列5，8，11，和3，7，11，都有100项，求：这两个数列相同项的个数,解法一：已知两个等差数列an:5，8，11，公差为3bn:3，7，11，公差为4通项公式分别是an=5+(n1)3=3n+2bn=3+(n1)4=4n1,假设an的第n项与bn的第k项相同，即an=bk则3n+2=4k1n=k1nN*k必是3的倍数k=3,6,9,12,，组成新的等差数列cn而相应的n=3,7,11,15,，组成新的等差数列dn即a3=b3,a7=b6,a11=b9,a15=b12，,.,解法二：已知两个等差数列an：5，8，11，和bn：3,7,11,则通项公式分别是an=5+(n1)3bn=3+(n1)4,观察：5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47，51，,因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,公差d=12的等差数列cn又a100=5+(1001)3=302b100=3+(1001)