高等数学第八章多元函数积分学

.,第八章多元函数积分学,一二重积分的概念及简单性质二二重积分的计算,.,第一节二重积分的概念与性质,一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结,.,特点：平顶.,柱体体积=？,特点：曲顶.,曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,.,回忆定积分.,设一元函数y=f(x)在a,b可积.,则,如图,其中ixi,xi+1,xi=xi+1xi,表小区间xi,xi+1的长,f(i)xi表示小矩形的面积.,.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,.,求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法,设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.,若立体的顶是平行于xy面的平面.则平顶柱体的体积=底面积高.,如图,一、例,1.求曲顶柱体的体积V.,(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.,如图,z=f(x,y),z=f(x,y),Di,Di,(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.,(i,i)Di.,小平顶柱体的高=f(i,i).,若记i=Di的面积.,则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积,(iii)因此,大曲顶柱体的体积,分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得无限细,则右端近似值会无限接近于精确值V.,若,存在,则,(iv),其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.,其中(i,i)Di,i=Di的面积.,如图,.,求曲顶柱体体积的方法：,分割、取近似、求和、取极限。,.,步骤如下：,1.分割,2.取近似,3.求和,4.取极限,.,求平面薄片的质量,将薄片分割成若干小块，,取典型小块，将其近似看作均匀薄片，,所有小块质量之和近似等于薄片总质量,.,二、二重积分的概念,.,积分区域,被积函数,积分变量,-被积表达式,面积元素,.,对二重积分定义的说明：,.,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,.,在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，,故二重积分可写为,则面积元素为,.,性质,当k为常数时，,性质,（二重积分与定积分有类似的性质）,三、二重积分的性质,.,性质,对区域具有可加性,性质,若为D的面积，,性质,若在D上,特殊地,则有,.,性质,性质,（二重积分中值定理）,（二重积分估值不等式）,.,解,因此，,由性质6知,即,.,二重积分的定义,二重积分的性质,二重积分的几何意义,（曲顶柱体的体积）,（积分和式的极限）,四、小结,.,思考题,将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.,.,定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是:定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数,思考题解答,.,第二节二重积分的计算法（1）,利用直角坐标计算二重积分,.,先讨论积分区域为：,其中函数、在区间上连续.,利用直角坐标系计算二重积分,X型,X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.,.,.,积分区域为：,X型,一般地，,-先对y积分，后对x积分的二次积分,.,如果积分区域为：,Y型,-先对x积分，后对y积分的二次积分,.,1.若D既是x型区域,又是y型区域.,比如,当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.,.,2.（1）如果积分区域是矩形,（2）如果被积函数f(x,y)=f1(x)f2(y),且积分区域是矩形区域，,则,.,设D：axb,cyd.f(x,y)=f1(x)f2(y)可积，,则,.,比如，,.,若区域如图，,在分割后的三个区域上分别使用积分公式,则必须分割.,3.,.,4.设D:y1(x)yy2(x),axb,为x型区域.,其中y2(x)为分段函数.,如图,则,由于y2(x)是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式.,故应将D分成D1,D2,分块积分.,.,解1：,先画出积分区域D。,D是Y型。,于是，,.,解2：,于是，,.,解,先画出积分区域D。,D是X型。,于是，,.,于是，,.,例3,.,解,积分区域为,于是，,.,解,设,则,.,于是，,设,.,解,.,.,解,.,例9.求,解：由于,是“积不出”的，怎么办？,要改换积分次序.,先画积分区域D的图形.,由积分表达式知，D：yx1,0y1,画曲线x=y和x=1，直线y=0,y=1.,如图：,故原式=,.,由例8，例9知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行。在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试。,.,1.,.,.,法2.先对x积分.,.,.,2.,.,所以,原式=,问,若先对y积分,情形怎样?,.,3.改换,.,第二节二重积分的计算（2）,一、利用极坐标系计算二重积分二、小结,.,一、利用极坐标系计算二重积分,面积元素,.,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,.,区域特征如图,.,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,.,极坐标系下区域的面积,二重积分化为二次积分的公式（）,区域特征如图,.,例1将,化为在极坐标系下的二次积分。,.,1）,解,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,.,2）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,.,3）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,.,4）,在极坐标系中，闭区域,D可表示为,.,解,.,解,.,例4.求,其中D：x2+y21,解：一般,若D的表达式中含有x2+y2时，可考虑用极坐标积分。,令x=rcos,y=rsin,则,x2+y21的极坐标方程为r=1.,由(2),D*:0r1,02,.,另由几何意义：,.,解,.,.,.,.,二重积分在极坐标下的计算公式,二、小结,.,5利用极坐标计算二重积分,.,D：由所围成区域（第一象限部分）,.,.,.,.,第三节二重积分的应用,.,一、立体的体积,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,.,例1计算由曲面,及xoy面所围的立体,体积。,解,设立体在,第一卦限上的体积为V1。,由立体的对称性，所求立体体积V=4V1。,立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,.,立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的曲顶为,它的底为,于是，,.,所求立体的体积,.,例2求两个圆柱面,所围,的立体在第一卦限部分的体积