信息论习题解答

第二章 信息量和熵2.2 八元编码系统，码长为3，第一个符号用于同步，每秒1000个码字，求它的信息速率。解：同步信息均相同，不含信息，因此 每个码字的信息量为 2=23=6 bit 因此，信息速率为 61000=6000 bit/s2.3 掷一对无偏骰子，告诉你得到的总的点数为：(a) 7; (b) 12。问各得到多少信息量。 解：(1) 可能的组合为 1，6,2，5,3，4,4，3,5，2,6，1=得到的信息量 =2.585 bit (2) 可能的唯一，为 6，6 = 得到的信息量=5.17 bit2.4 经过充分洗牌后的一副扑克（52张），问：(a) 任何一种特定的排列所给出的信息量是多少？(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量？解：(a) = 信息量=225.58 bit (b) = 信息量=13.208 bit2.9 随机掷3颗骰子，X表示第一颗骰子的结果，Y表示第一和第二颗骰子的点数之和，Z表示3颗骰子的点数之和，试求、。 解：令第一第二第三颗骰子的结果分别为，相互独立，则， =6=2.585 bit = =2(36+18+12+9+)+6 =3.2744 bit =-=- 而=，所以= 2-=1.8955 bit 或=-=+- 而= ，所以=2-=1.8955 bit=2.585 bit=+=1.8955+2.585=4.4805 bit2.10 设一个系统传送10个数字，0，1，9。奇数在传送过程中以0.5的概率错成另外一个奇数，其余正确接收，求收到一个数字平均得到的信息量。 解：=-因为输入等概，由信道条件可知，即输出等概，则=10= =- =0- = - =25+845 =1 bit=-=10 -1=5=2.3219 bit2.11 令为一等概消息集，各消息相应被编成下述二元码字 =0000，=0011，=0101，=0110，=1001，=1010，=1100，=1111通过转移概率为p的BSC传送。求：(a)接收到的第一个数字0与之间的互信息量。(b)接收到的前二个数字00与之间的互信息量。(c)接收到的前三个数字000与之间的互信息量。(d)接收到的前四个数字0000与之间的互信息量。解：即， =+= =1+ bit = = bit = =31+ bit = = bit2.12 计算习题2.9中、。解：根据题2.9分析=2(+) =3.5993 bit =-=-=1.0143 bit =-=-=0.3249 bit =-=-=1.0143 bit =-=-=0.6894 bit =-=-=0 bit2.14 对于任意概率事件集X,Y,Z，证明下述关系式成立 (a)+，给出等号成立的条件 (b)=+ (c) 证明：(b) =- =- =- =+ (c) =- =- - =- = 当=，即X给定条件下，Y与Z相互独立时等号成立 (a) 上式(c)左右两边加上，可得+于是+2.28 令概率空间，令Y是连续随机变量。已知条件概率密度为 ，求： (a)Y的概率密度 (b) (c) 若对Y做如下硬判决 求，并对结果进行解释。 解：(a) 由已知，可得= = =+ = (b) =2.5 bit = = =2 bit =-=0.5 bit (c) 由可得到V的分布律V-101p1/41/21/4 再由可知V-101p(V|x=-1)1/21/20p(V|x=1)01/21/2 bit =1 bit = 0.5 bit2.29 令和是同一事件集U上的两个概率分布，相应的熵分别为和。 (a)对于，证明=+是概率分布 (b)是相应于分布的熵，试证明+ 证明：(a) 由于和是同一事件集U上的两个概率分布，于是0，0 =1，=1 又，则=+0 =+=1 因此，是概率分布。 (b) = = （引理2） =+第三章 信源编码离散信源无失真编码 3.1 试证明长为的元等长码至多有个码字。证：在元码树上，第一点节点有个，第二级有，每个节点对应一个码字，若最长码有，则函数有=，此时，所有码字对应码树中的所有节点。码长为1的个；码长为2的个，码长为的个总共=个3.2 设有一离散无记忆信源。若对其输出的长为100的事件序列中含有两个或者少于两个的序列提供不同的码字。 (a) 在等长编码下，求二元码的最短码长。 (b) 求错误概率（误组率）。解: (a)不含的序列 1个长为100的序列中含有1个的序列 =100个 长为100的序列中含有2个的序列 =4950个 所需提供码的总数M=1+100+4950=5051于是采用二元等长编码 =12.3，故取=13(b)当长度为100的序列中含有两个或更多的时出现错误，因此错误概率为=-=3.3 设有一离散无记忆信源，U=，其熵为。考察其长为的输出序列，当时满足下式(a)在=0.05，=0.1下求(b)在=，=下求(c)令是序列的集合，其中 试求L=时情况(a)(b)下，T中元素个数的上下限。解：=0.81 bit =-= =0.471则根据契比雪夫大数定理(a) =1884(b) =4.71(c) 由条件可知为典型序列，若设元素个数为，则根据定理其中，可知 (i) ， 下边界： 上边界：= 故 (ii) ， =故3.4 对于有4字母的离散无记忆信源有两个码A和码B，参看题表。字母概率码A码Ba10.411a20.30110a30.2001100a40.100011000(a) 各码是否满足异字头条件？是否为唯一可译码？(b) 当收到1时得到多少关于字母a的信息？(c) 当收到1时得到多少关于信源的平均信息？解：码A是异头字码，而B为逗点码，都是唯一可译码。码A bit码B bit码A U= =1.32 bit 码B =0 bit（收到1后，只知道它是码字开头，不能得到关于U的信息。）3.5 令离散无记忆信源(a) 求最佳二元码,计算平均码长和编码效率。(b) 求最佳三元码,计算平均码长和编码效率。解：(a) =3.234 bit平均码长 =3.26=效率 (b)平均码长 =2.11=3.344效率 3.6 令离散无记忆信源 (a) 求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(b) 求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(c) 求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。 解：(a)=0.51+0.32+20.2=1.5 bit (b) 离散无记忆 H(UU)=2H(U)=2.97 bitp(aa)=0.25, p(aa)=0.15, p(aa)=0.1, p(aa)=0.15, p(aa)=0.09 p(aa)=0.06, p(aa)=0.1, p(aa)=0.06, p(aa)=0.04=0.99(c) 有关最佳二元类似 略3.7 令离散无记忆信源且0P(a)P(a). P(a)1，而Q1=0，今按下述方法进行二元编码。消息a的码字为实数Q的二元数字表示序列的截短（例如1/2的二元数字表示序列为1/210000，1/40100）,保留的截短序列长度n是大于或等于I(a)的最小整数。(a) 对信源构造码。(b) 证明上述编码法得到的码满足异字头条件，且平均码长满足H(U)H(U)+1。解：(a)符号QiLC040000400014001040011401003011210211 (b) 反证法证明异字头条件令kk，若是的字头，则又由可知， 从而得 这与假设是的字头（即）相矛盾，故满足异字头条件。由已知可得对不等号两边取概率平均可得即 3.8 扩展源DMC，(a)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(b)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(c)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。(d)求对U的最佳二元码、平均码长和编码效率。解：(a) ，=1，=1 bit(b) DMC信道，(c)=2.944 =0.981=98.85%(d) 略3.9 设离散无记忆信源 试求其二元和三元Huffman编码。解： 3.11 设信源有K个等概的字母,其中K=,12。今用Huffman编码法进行二元编码。（a）是否存在有长度不为j或j+1的码字，为什么？（b）利用和j表示长为j+1的码字数目。（c）码的平均长度是多少？ 解：Huffman思想：将概率小的用长码，大的用短码，保证，当等概时，趋于等长码。a) 对时，K=2j，则用长度为j码表示；当时，用K=2j+1，用长度为j+1码表示。平均码长最短，则当12时，则介于两者之间，即只存在j，j+1长的码字。b) 设长为j的码字个数为Nj，长度为j+1的码字数目为Nj+1，根据二元Huffman编码思想（必定占满整个码树），即从而，c） =3.12 设二元信源的字母概率为，。若信源输出序列为 1011 0111 1011 0111 (a) 对其进行算术编码并进行计算编码效率。 (b) 对其进行LZ编码并计算编码效率。解：(a) 根据递推公式 可得如下表格其中，F(1)=0， F(1)= ， p(0)=， p(1)=101011011110110111 从而 C = 0101100111101 (b) 首先对信源序列进行分段：1 0 11 01 111 011 0111然后对其进行编码，编码字典如下所示段号短语ij编码11010001200000003111100114012101015111310111601141100170111611101 bit3.13 设DMS为U=，各a相应编成码字0、10、110和1110。 试证明对足够长的信源输出序列，相应的码序列中0和1出现的概率相等。解：概率信源符号码字1/201/4101/81101/81110设信源序列长为N，则相应码字长为（条件是N要足够长）相应码序列中0出现的次数 p(0)= = p(1)=1-p(0)= 3.14 设有一DMS, U= 采用如下表的串长编码法进行编码信源输出序列0串长度（或中间数字）输出二元码字10100100000001000000000127800000001001001111 (a)求H(U)。 (b)求对于每个中间数字相应的信源数字的平均长度。 (c)求每个中间数字对应的平均长度。(d)说明码的唯一可译性。解：(a) bit由已知可得下表先验概率信源输出序列0串长度（或中间数字）输出二元码字0.11000000.0901100010.081001200100.07290001300110.065600001401000.059000001501010.05310000001601100.047800000001701110.430500000000181(b) bit(c) bit(d) 异字码头 第四章 信道及信道容量4.1 计算由下述转移概率矩阵给定的DMC的容量。(a) 它是一对称信道，达到C需要输入等概，即=C bit/符号(b) 它是一对称信道 bit/符号（c）它是分信道和的和信道由，可知 bit/符号4.3求图中DMC的容量及最佳输入分布（a） (b)解：（a）由图知 发送符号1时等概率收到0,1,2,传对与传错概率完全相同，即不携带任何信息量，于是信道简化为二元纯删除信道 bit/符号（b）由图知为准对称当输入等概，即时达到信道容量C此时 = bit/符号4.5 N个相同的BSC级联如图。各信道的转移概率矩阵。令，且为已知。(a) 求的表达式。(b) 证明时有，且与取值无关，从而证明时的级联信道容量解：N个信道级联后BSC可表示为N个级联可以看成N-1个级联后与第N个级联同理可得从而(a)(b)因此与无关。由于与无关，因此，C=0。4.8 一PCM语音通信系统，已知信号带宽W=4000 Hz，采样频率为2W，且采用8级幅度量化，各级出现的概率为1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/32，1/32，1/32。试求所需的信息速率.解： bit信息速率 bit/s4.9 在数字电视编码中，若每帧为500行，每行划分成600个像素，每个像素采用8电平量化，且每秒传送30帧时，试求所需的信息速率。解：每个像素信息量为3 bit每秒传输30帧，即个像素 bit/s4.10 带宽为3 kHZ，信噪比为30 dB的电话系统，若传送时间为3分钟，试估计可能传送话音信息的数目。解：=30dB=1000则R bit/s=29.9 Kb/s又传送时间t=30分钟=180 s信息量为29.9180=5.382 Mbit4.12 若要以R=的速率通过一个带宽为8 kHz、信噪比为31的连续信道传送，可否实现？解：根据SHANNON公式40 Kb/s当连续信道为高斯信道时，CR=，于是不可实现；然而信道为非高斯信道时，其信道容量小于C，因此不能判定它与R的大小关系，从而不能确定能否实现。第五章 离散信道编码定理5.1 设有一DMC，其转移概率矩阵为若=1/2，=1/4，试求两种译码准则下的译码规则，并计算误码率。解：（1）最大后验概率译码准则首先计算 译码规则为 （2）最大似