现代控制理论实验报告

现代控制理论实验指导书实验一：线性系统状态空间分析1、模型转换图1、模型转换示意图及所用命令传递函数一般形式： MATLAB表示为：G=tf(num,den)，其中num,den分别是上式中分子，分母系数矩阵。零极点形式： MATLAB表示为：G=zpk(Z,P,K)，其中 Z，P，K分别表示上式中的零点矩阵，极点矩阵和增益。传递函数向状态空间转换：A,B,C,D = TF2SS(NUM,DEN)；状态空间转换向传递函数：NUM,DEN = SS2TF(A,B,C,D,iu)-iu表示对系统的第iu个输入量求传递函数；对单输入iu为1;验证教材P438页的例9-6。求P512的9-6题的状态空间描述。 A=0 1;0 -2; B=1 0;0 1; C=1 0;0 1; D=0 0;0 0; NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,1)NUM = 0 1 2 0 0 0DEN = 1 2 0 NUM,DEN = ss2tf(A,B,C,D,2)NUM = 0 0 1 0 1 0DEN = 1 2 0给出的结果是正确的，是没有约分过的形式P512 9-6 A,B,C,D=tf2ss(1 6 8,1 4 3)A = -4 -3 1 0B = 1 0C = 2 5D = 12、状态方程求解单位阶跃输入作用下的状态响应：G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x).零输入响应y,t,x=initial(G,x0)其中，x0为状态初值。验证P435的例9-4，P437的例9-5。9-4A=0 1;-2 -3;B=0;0;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G,1;2);plot(t,x)（设初始状态为1 ;2）零输入响应9-5零输入响应A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y,t,x=initial(G,1;2);plot(t,x)零状态响应，阶跃信号激励下 A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0; G=ss(A,B,C,D);y,t,x=step(G);plot(t,x)总响应 A=0 1;-2 -3;B=0;1;C=0 0;D=0;G=ss(A,B,C,D);y1,t1,x1=step(G);y2,t2,x2=initial(G,1;2); x=x1+x2; plot(t1,x)3、系统可控性和可观测性可控性判断： 首先求可控性矩阵：co=ctrb(A，B)。然后求rank(co)并比较与A的行数n的大小，若小于n则不可控，等于为可控。也可以求co的绝对值，不等于0，系统可控，否则不可控。验证P456例9-14。A=0 1;-1 -2;B=1;-1; C=1 0; co=ctrb(A,B)co = 1 -1 -1 1 rank(co)ans = 1系统不可控可观测性判断：首先求可观测性矩阵ob=obsv(A，C),或者ob=ctrb(A，C);然后求rank(ob)并比较与A的行数大小，若小于，为不可观测，等于则为可观测。验证P458例9-15。1 A=-2 0;0 -1;B=3;1;C=1 0; ob=obsv(A,C)ob = 1 0 -2 0 rank(ob)ans = 1不可观测2、 A=1 -1;1 1;B=2 -1;1 0;C=1 0;-1 1; ob=obsv(A,C)ob = 1 0 -1 1 1 -1 0 2 rank(ob)ans = 2可观测4、 线性变换一个系统可以选用不同的状态变量，所以状态方程是不唯一的。但是这些方程之间是可以相互转换的。At，Bt，Ct，Dt=ss2ss(A，B，C，D，T)变换矩阵T不同，可得到不同的状态方程表示形式，如可控型，可观测型，Jordan标准型表示。matlab变换与控制书上讲的变换略有差别。这里是，其中x是原来的变量，z是现在的变量。书上则是。因此线性变换时，首先要对给定的变换矩阵进行逆变换，然后将其代入上面指令的T中。求对角阵（或约当阵）：MATLAB提供指令：At，Bt，Ct，Dt，T=canon(A，B，C，D，modal)它可将系统完全对角化，不会出现经典控制中的约当块。 A=-4 -3;1 0;B=1;0;C=2 5;D=0; At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,modal)At = -3 0 0 -1Bt = -3.6056 -2.2361Ct = -0.1387 -0.6708Dt = 0T = -3.6056 -3.6056 -2.2361 -6.7082 inv(T)ans = -0.4160 0.2236 0.1387 -0.2236求可观测标准型：At，Bt，Ct，Dt，T=canon(A，B，C，D，companion) At,Bt,Ct,Dt,T=canon(A,B,C,D,companion)At = 0 -3 1 -4Bt = 1 0Ct = 2 -3Dt = 0T = 1 4 0 1 inv(T)ans = 1 -4 0 1求可控标准型：首先需要求可观测标准型，然后根据对偶关系求At，Ct，Bt，Dt Atans = 0 1 -3 -4Ctans = 2 -3Btans = 1 0验证P512的9-6习题。5、线性定常系统的结构分解当系统是不可控的，可以进行可控性规范分解。使用 a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)命令。验证P473例题9-19。当系统是不可观测的，可以进行可观测性规范分解。使用a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) 命令。验证P475例题9-20。 A=1 2 -1;0 1 0;1 -4 3;B=0;0;1;C=1 -1 1; co=ctrb(A,B)co = 0 -1 -4 0 0 0 1 3 8 rank(co)ans = 2系统不可控a1,b1,c1,t,k=ctrbf(A,B,C)a1 = 1 0 0 -2 1 1 -4 -1 3b1 = 0 0 1c1 = -1 -1 1t = 0 1 0 -1 0 0 0 0 1k = 1 1 0 ob=obsv(A,C)ob = 1 -1 1 2 -3 2 4 -7 4 rank(ob)ans = 2系统不可观测 a2,b2,c2,t,k=obsvf(A,B,C) a2 = 2.0000 2.3094 4.0825 -0.0000 0.6667 -0.9428 -0.0000 0.4714 2.3333b2 = 0.7071 -0.4082 0.5774c2 = -0.0000 -0.0000 1.7321t = -0.7071 -0.0000 0.7071 -0.4082 -0.8165 -0.4082 0.5774 -0.5774 0.5774k = 1 1 06、极点配置算法调用命令格式为K=place(A,B,P)。A，B为系统系数矩阵，P为配置极点，K为反馈增益矩阵。验证P484例9-21。 A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j; K=place(A,B,P)K = 1.0e+003 * -0.0140 0.1860 -1.2200用下列编码对状态反馈前后的输出响应进行比较（附带文件control.m）。t = 0:0.01:5; U = 0.025*ones(size(t);%幅值为0.025输入阶跃信号 Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t); Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t); figure(1) plot(t,Y1); grid; title(反馈前); figure(2) plot(t,Y2); title(反馈后); grid; A=0 0 0;1 -6 0;0 1 -12;B=1;0;0;P=-2 -1+j -1-j;C=1 0 0;D=0;K=1.0e+003 *-0.0140 0.1860 -1.2200; t = 0:0.01:5; U = 0.025*ones(size(t);%幅值为0.025输入阶跃信号 Y1,X1=lsim(A,B,C,D,U,t); Y2,X2=lsim(A-B*K,B,C,D,U,t); figure(1) plot(t,Y1); grid; title(反馈前); figure(2) plot(t,Y2); title(反馈后); grid;7、线性定常系统稳定判据函数lyap(A,Q)求如下式的李氏方程：AP+PAT=-Q注意与教材的区别，应将给定A矩阵转置后再代入lyap函数。验证P495的例9-25。 A=0 2;1 -1; Q=1 0;0 1; lyap(A,Q)ans = -0.7500 -0.2500 -0.2500 0.2500实验二：单级倒立摆的LQR状态调节器设计有一个倒立摆小车系统如图一所示。它由质量为M的小车，长为2L的倒立摆构成，倒立摆的质量为m，铰链在小车上，小车在控制函数u的作用下，沿滑轨在x方向运动，使倒立摆在垂直平面内稳定。2LxjMmu图一 小车倒立摆系统示意图为了简单起见，设倒立摆为均匀细杆，执行机构和轴无摩擦，此时系统的动力学非线性微分方程为：其中，M = 1kg，m = 0.1kg，L = 1m，g = 9.81m/s2，f = 50N/s。现设计LQR控制器，使系统倒立摆在初始条件x(0), dx(0), j(0), dj(0)T = 0.05, 0, 0.08, 0T下稳定。注：倒立摆偏角j可以通过同轴旋转电位计送出正比j的电信号。思路：先建立状态空间模型A、B、C和D矩阵，当摆杆角度很小时，可令，四个状态为x(0), dx(0), j(0), dj(0)T。采用LQR命令求最优K矩阵，定义Q和R阵，用对角阵，人工定义对角线上的加权系数，由此决定对每个状态分量的影响。如对角度侧重，则对应系数加大。 A=0 1 0 0;0 -4.9725 0 0;0 0 0 1;0 3.7294 0 0 B=0;0.9756;0;-0.7317; C=1 0 0 0;0 0 1 0; D=0;0; Q=100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0; R=1; K,P=lqr(A,B,Q,R)K = 9.8312 369.6931 -0.5786 490.5742P = 1.0e+012 * 0.0000 0.0001 0.0000 0.0001 0.0001 0.7337 0.0002 0.9783 0.0000 0.0002 0.0000 0.0002 0.0001 0.9783 0.0002