2010年“数学之家”门户体系竞赛全站统一考试-国庆活动-研究性课题评讲.ppt

研究性课题评讲,供题者:zhangyuong,背景,这次数学之家国庆试题的最后一题,是由我提供的(zhangyuong)之所以会提供这样一道题目,主要是希望各位能够通过这题回顾一些代数学最基本的定理,这道题目就涉及了很多著名的定理,例如说:韦达定理代数基本定理多项式恒等定理零点存在定理,同时也介绍了一些新颖的定义,例如说:判别式本题整体难度并不高，只是有一些技巧性，但整体解题方向都很明确,当然,我在出完这题目的5问之后,还想继续出,因为我还觉得难度不够原本是打算加一道未解问题的最简单情形(判别式问题),但这个问题n=3我自己也没有做出来,而且CAS觉得本题难度已经够了,所以我也并没有加上去,事实上,我就是最先看到这个题目比较有意思,就去学习一下判别式有关内容,从而出了这道题目,逐问讲解,现在,就对题目的5个问，分别进行讲解,第1问,(1)利用判别式，讨论此二次方程根的情况,解析本问是比较简单的一问,在初中学习相关内容的时候,书上已经有现成内容,相信不需要太多解释注意我之所以会出这个问,不仅是因为要先送点分,更重要的是,从这问引出最后一问,让各位注意判别式对方程根判别的作用,第2问,(2),解析对于这个问,只要将判别式写出来,然后运用韦达定理将b和c消掉就可以了注意当然各位可能在平时习题也注意到这一点,那就是在学习解析几何的内容，要运用弦长公式,必须先计算出值而计算得多你就会发现那其实就是判别式除以首系数的平方,第2问,我之所以会提出这个问，就是联系到后面将要引出的判别式定义同时这个问的解决是需要用韦达定理的所以也提示到最后一问计算三次方程判别式的时候,也是需要韦达定理来进行,第3问,解析这个题目开始,难度有所上升初看这问,似乎并没有什么方法可以解决但是想到本题的前2问,都是从二次方程开始的所以也不妨回想二次方程的韦达定理是如何证明的当初学二次方程韦达定理的证明，正是运用代数基本定理将二次方程分解为两个单项式展开之后,根据多项式恒等定理就能够得证事实上,这也是证明韦达定理的一般方法,第3问,注意之所以会提出此问,是因为想大家注意韦达定理韦达定理并不是只有n=2的情形同时也为各位解决第5问而留的提示,第4问,解析各位见到这问的时候可能并没有什么办法,因为很奇怪少了二次项但是其实,熟悉解析几何的同学，知道方程通过坐标平移或者坐标旋转可以简化方程举个例子:直线y=k(x-a)(a0)通过将坐标系向右平移a个单位,那么就可以将直线的常数项消去简化成为y=kx的形式这就是方程简化,那同样,这里我们可以考虑将三次函数的图象平移,以消去二次项,第4问,第4问,注意此问的提出,主要是想各位了解方程的简化问题这里的方程简化方法并不只是对n=3才成立对所有次数的方程简化都是仍然成立的也就是n次方程，可以通过变换,使其n-1次项的系数变为0例如二次方程,所以我们可以再联系到之前的一道未解问题,判别式问题,这里的多项式为什么缺少了n-1次项,就是因为这一问的原因而且各位在读有关三次方程的根式求解的文章时候可能会奇怪为什么总要讨论这样的方程,在解决了这一问之后可能会很明了了,第4问,第5问,这问的难度与之前四问难度相差较大事实上这问已经包含了两小问一是计算出判别式二是利用判别式说明根的情况,之所以这题难度相对较大,首先因为各位要读懂判别式的定义如果连判别式的定义都搞错了,那么要解决这个问题就是不可能了另一方面,就是要计算出判别式是一难点第三,则是利用判别式说明根的情况的时候,会有遗漏这里先利用判别式说明根的情况,解析利用判别式说明根的情况首先我们知道,三次方程在复数域中，必至少有一实数根这是因为三次函数没有最大值和最小值所以接下来只要讨论另外两个根的情况就可以了,第5问,第5问,接下来就是计算判别式由于第4问方程的简化,加上韦达定理,实际上给我们提供了一个很好的条件,那就是三根之和为0,为计算判别式,首先看定义,为方便讨论,设三根为a,b,c,第5问,第5问,注意这里的目的性很强,计算