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文档简介
1.5、向量函数的积分,1、体积分设D是R3中的一个体积元V,在V中定义的函数。定义(体积分):设是V的一个分割,任取点,作和式:当时,若和式的极限存在,且与V的划分与的选取无关,则称这个极限为在V上的积分,记做,在R3空间,可以表示为:,则:,体积分的计算规则:,(1)设为常向量,为数量函数,则:,(2)设为常向量,为向量函数,则:,(3)设为常向量,为向量函数,则:,例1:设V是平面和三个坐标平面x=0,y=0z=0所围的区域,求在V上的体积分。,解:如图表示,则:,分别计算三个分量的积分,首先:,同理:,最后得:,2、曲面积分设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面,我们可以定义沿一侧的积分。定义(曲面积分):设在空间曲面上有定义,为的任意一个分割,记,任取点,作和式:当时,若和式的极限存在,且与的划分与的选取无关,则称这个极限为在上的积分,记做,在R3空间,可以表示为:,若的法向量的单位向量为:,则:,所以:,例2:设是平面和三个坐标平面所围的闭曲面,求沿的外侧的曲面积分。,解:如图表示,是分别表示三角形OAB,OBC,OCA所围平面,代表ABC的所围三角形,则:,对于,z=0,dz=0,则:,同理:,对于,则:,而:,所以:,同理:,最后得:,例3:设是球面,求沿球面外侧的积分。,解:对于球面来说,其任意点的法向分量为所以,沿球面外侧的积分为:,3、曲线积分设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线,我们可以定义在曲线上的积分。定义(曲线积分):设为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线,任取分段点,把分成n个有向线段,定义,记,任取点,作和当,和式的极限存在且和曲线的划分与的选取无关,则称这个极限为沿曲线的曲线积分,记作,在R3空间,可以表示为:,若的法向量的单位向量为:,则:,所以:,例4:设为平面与三个坐标平面的交线所围的闭曲线,曲线方向如图所示,求函数沿曲线正向的积分。,解:由围成,,同理:,最后得:,对于,z=0,dz=0,则:,4、Gauss公式和Stokes公式,Gauss公式:设空间曲面是分片光滑的双侧闭曲面,其内部区域记为,设函数在和上连续,在内具有一阶偏导数,则:,Stokes公式:设空间曲面是光滑的有界曲面,其边界l是一条分段光滑的闭曲线,设函数在和l上连续,在上具有一阶偏导数,则:,总结,1、体积分体积分的定义体积分公式:2、面积分,3、线积分4、Gauss公式和Stokes公式,作业:(1)设l为正向圆
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