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1.5、向量函数的积分,1、体积分设D是R3中的一个体积元V，在V中定义的函数。定义（体积分）：设是V的一个分割，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与V的划分与的选取无关，则称这个极限为在V上的积分，记做,在R3空间，可以表示为：,则：,体积分的计算规则：,(1)设为常向量，为数量函数，则：,(2)设为常向量，为向量函数，则：,(3)设为常向量，为向量函数，则：,例1：设V是平面和三个坐标平面x=0,y=0z=0所围的区域，求在V上的体积分。,解：如图表示，则：,分别计算三个分量的积分，首先：,同理：,最后得：,2、曲面积分设D是R3中的一块简单、分块光滑的空间有向曲面，我们可以定义沿一侧的积分。定义(曲面积分)：设在空间曲面上有定义，为的任意一个分割，记，任取点，作和式：当时，若和式的极限存在，且与的划分与的选取无关，则称这个极限为在上的积分，记做,在R3空间，可以表示为：,若的法向量的单位向量为：,则：,所以：,例2：设是平面和三个坐标平面所围的闭曲面，求沿的外侧的曲面积分。,解：如图表示，是分别表示三角形OAB,OBC,OCA所围平面，代表ABC的所围三角形，则：,对于，z=0，dz=0，则：,同理：,对于，则：,而：,所以：,同理：,最后得：,例3：设是球面，求沿球面外侧的积分。,解：对于球面来说，其任意点的法向分量为所以，沿球面外侧的积分为：,3、曲线积分设l是R3中的一条简单、分段光滑的空间有向曲线，我们可以定义在曲线上的积分。定义(曲线积分)：设为空间内由点A到点B的一条有向光滑曲线，任取分段点，把分成n个有向线段，定义，记，任取点，作和当，和式的极限存在且和曲线的划分与的选取无关，则称这个极限为沿曲线的曲线积分，记作,在R3空间，可以表示为：,若的法向量的单位向量为：,则：,所以：,例4：设为平面与三个坐标平面的交线所围的闭曲线，曲线方向如图所示，求函数沿曲线正向的积分。,解：由围成，,同理：,最后得：,对于，z=0，dz=0，则：,4、Gauss公式和Stokes公式,Gauss公式：设空间曲面是分片光滑的双侧闭曲面，其内部区域记为，设函数在和上连续，在内具有一阶偏导数，则：,Stokes公式：设空间曲面是光滑的有界曲面，其边界l是一条分段光滑的闭曲线，设函数在和l上连续，在上具有一阶偏导数，则：,总结,1、体积分体积分的定义体积分公式：2、面积分,3、线积分4、Gauss公式和Stokes公式,作业：(1)设l为正向圆
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