量子力学导论期末考试试题内含答案

量子力学试题(1)(2005)姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分）1. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。2. 粒子在一维势阱 中运动，波函数为，写出的跃变条件。3. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。4. 给出如下对易关系： 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。6. 一维运动中，哈密顿量，求7. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。8. 已知厄米算符、互相反对易：；是算符的本征态：，本征值。求在态中，算符的平均值。二. 计算和证明题1. 设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。2. 考虑如下一维波函数： ， 其中为已知常数。利用薛定谔方程求位势和能量。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当）。3.一质量为的粒子沿正方向以能量向处 的势阶运动。当时，该势为；当时，该势为 。问在处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 4.设粒子处于状态下，1)证明在的本征态下，。（提示：利用， 求平均。）2)求和(附加题)5. 设是的整函数，证明整函数是指可以展开成。量子力学试题(1)(2005)姓名 学号 得分 一、 简答题（每小题5分，共40分）1. 一粒子的波函数为，写出粒子位于间的几率。解： 。2. 粒子在一维势阱 中运动，波函数为，写出的跃变条件。解： 。3. 量子力学中，体系的任意态可用一组力学量完全集的共同本征态展开：，写出展开式系数的表达式。解： 。4. 给出如下对易关系： 解： 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度的表达式。解：单位时间内通过与粒子前进方向垂直的单位面积的几率称为几率流密度。 6. 一维运动中，哈密顿量，求 解：7. 一质量为的粒子在一维无限深方势阱中运动，写出其状态波函数和能级表达式。解： 8. 已知厄米算符、互相反对易：；是算符的本征态：，本征值。求在态中，算符的平均值。解： ， 。但，从而有，即在态中，算符的平均值为零。二. 计算和证明题1.设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有即 （：一来一回为一个周期）,同理可得， , ,粒子能量 2. 考虑如下一维波函数： ， 其中为已知常数。利用薛定谔方程求位势和能量。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当）。解: 定态S.eq为 ， （2）对题给求导： （3） （4）从式（2）和（4）中消去，得 （5）当，所以 （6）代回式（5），解得 3一质量为的粒子沿正方向以能量向处 的势阶运动。当时，该势为；当时，该势为 。问在处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 解：S.eg为 其中 方程的解为：处，分别连续，给出解得 ，反射系数 。4.设粒子处于状态下，1)证明在的本征态下，。（提示：利用， 求平均。）证：设是的本征态，本征值为，即，同理:利用. 有：。2)求和解：记本征态为，满足本征方程，将上式在态下求平均，因作用于或后均变成本征值，使得后