抽象函数习题精选精讲

抽象函数有关问题含有函数记号“”有关问题解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。由于函数概念比较抽象，对函数记号的更是感到困惑，针对这一问题，归纳这类知识进行分析如下：一、定义域问题例1. 已知函数的定义域是1，2，求的定义域。解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足，从而函数的定义域是1，4评析：一般地，已知函数的定义域是A，求的定义域问题，相当于已知中的取值范围为A，据此求的值域问题。例2. 已知函数的定义域是，求函数的定义域。解：的定义域是，意思是凡被作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是评析：这类问题的一般形式是：已知函数的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知的值域B，且，据此求的取值范围。例2和例1形式上正相反。二、函数值与值域问题例1. 已知定义域为的函数，同时满足下列条件：，；，求，的值。解：取=2，=3得。因为，所以又取，得评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取=2，=3，这样便把已知条件，与欲求的沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。例2. 设函数定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。解：时，函数为单调函数。 令，得，即有 或 。若，则， 对任意，均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意，0设存在，使得=0，取，则=这与上面已证的矛盾，因此，对任意，0 ， 所以评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。例3、（递推法求函数值） 已知是定义在R上的函数，=1,且对任意xR都有，。若，则=_.解： 由， 得 ，所以，即 ，所以 故 ， 又， 故 三、求表达式：（5种方法）1.换元法：即用中间变量表示原自变量的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法。例1：已知 ,求.解：设,则 2.凑合法或称为配凑法：已知，利用公式对代数式变形，把并凑成以表示的代数式，再利用代换，即可求出。 例2：已知，求解： 又，(|2)注意：函数定义域的求解3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3 已知是二次实函数，且+2+4,求.解:设=，则=， 比较系数得 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知=为奇函数,当 0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0, , 为奇函数， 当0时,求解:为奇函数，的定义域关于原点对称，故先求0,为奇函数， 当0； 当时，而 ， 所以，又当时， ，所以对任意，恒有。设，则,，所以=，所以在R上为增函数。另解，论证如下：，代入，得，由已知当时，则评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。变式训练1. 设定义于实数集上，对于任意实数、，有，当时，都有，求证：在R上为减函数。证明：设，则=，即，所以在R上为减函数。变式训练2：设定义于上，对于任意实数、，有，当时，都有，求证：在上为减函数。证：设，已知当时，都有，则在上为减函数。3、对称性问题（1）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于点成中心对称图形。（2）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于点成中心对称图形。（3）设均为常数，函数对一切实数都满足函数的图象关于轴对称。例3. 已知函数满足，求的值。解：已知式即在对称关系式中，取，2，所以函数的图象关于点（0，1001）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（1001，0）对称。 所以将上式中的用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数对一切实数x都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。下对该性质进行证明：任取，令，则，若，而点与点的中点为（），即。由的任意性，知函数的图象关于点对称.另证明：设P（）为图上任一点，则P关于对称点是（），则，所以点（）也在函数的图象上，所以函数的图象关于点对称。4.确定参数的取值范围例4：奇函数在定义域（-1，1）内递减，求满足的实数的取值范围。解：由得， 为奇函数， ， 又在（-1，1）内递减， 5、解不定式的有关题目 例5：若二次函数=开口向上，对任意的有,比较的大小解：对任意有 =2为抛物线=的对称轴又其开口向上 (2)最小，(1)=(3) 在2，)上，为增函数(3)(4), (2)(1)(4)说明：函数对任意一个都满足，则函数图像关于对称。证：设P（）为图像上一点，则P关于的对称点是（），所以，则点（）也在图像上，所以函数图像关于对称。五 、周期问题命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数：条件1：函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.条件2：函数y=f(x)满足，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.条件3：函数y=f(x)满足，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.命题2：若a、b()是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数：条件1：函数y=f(x)满足，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期.条件2：函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.条件3：函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期.条件4：函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期.命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数：条件1：若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期.条件2：若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期.我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似.设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: 已知A、B C （2001年全国高考第22题第二问），f(x)是R上的偶函数，f(-x)=f(x) ，又f(x)关于x=a对称，f(-x)=f(x+2a) ，f(x)=f(x+2a)，f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 已知A、CB ，定义在R上的函数f(x)是一个偶函数，f(-x)=f(x) ，又2a是f(x)一个周期，f(x)=f(x+2a) ，f(-x)=f(x+2a)， f(x)关于x=a对称 已知C、BA， f(x)关于x=a对称，f(-x)=f(x+2a) ，又2a是f(x)一个周期，f(x)=f(x+2a) ，f(-x)=f(x)， f(x)是R上的偶函数 。由命题3(2)，我们还可以得到结论:f(x)是周期为T的奇函数，则基于上述命题阐述，可以发现，抽象函数具有某些关系.根据上述命题，我们易得函数周期，从而解决问题，以下探究上述命题在解决抽象函数问题中的运用.1.求函数值例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)= f(x+4) ，x0，2时f(x)=x，求f(2007) 的值 解：方法一 ，f(x)=f(x+4) ，f(x+8)=f(x+4)=f(x) ，8是f(x)的一个周期 f(2007)= f(2518-1)=f(-1)=f(1)=1 方法二 f(x)=f(x+4)，f(x)是奇函数 ，f(-x)=f(x+4) ，f(x)关于x=2对称 ，又f(x)是奇函数 ，8是f(x)的一个周期，以下与方法一相同. 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 解：由条件知f(x)1，故，类比命题1可知，函数f(x)的周期为8，故f(2009)= f(2518+1)=f(1)=22. 求函数解析式例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)=2x+1，则当时，求f(x)的解析式解：当时，f(x)=2x+1，f(x)是偶函数，f(x)=f(x) ，f(x)=2x+1当时，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4，故 当时，得f(x)=2x73.判断函数的奇偶性例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足， 试判断函数f(x)的奇偶性.解：由，类比命题1可知，函数f(x)的周期为1998，即f(x+1998)=f(x)；由，知f(x)关于x=999对称，即f(x)=f(1998+x)，故f(x)=f(x) f(x)是偶函数4.判断函数的单调性例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证：当时，f(x)为增函数解：设，则， f(x)在-2，0上是减函数，又函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，类比命题3（1）知函数f(x)的周期为4，故， ， ，故当时，为增函数。六、五类抽象函数解法1、线性函数型抽象函数：线性函数型抽象函数，是由线性函数抽象而得的函数。例1、已知函数对任意实数x，y，均有，且当x0时，0，求在区间2，1上的值域。分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。解：设，则， 当时， ， ， 即， f（x）为增函数。 在条件中， 令， 则， 再令，则， f（0）0， 故f（x）f（x）， f（x）为奇函数，f（1）f（1）2， 又 f（x）的值域为4，2。例2、已知函数对任意，满足条件，且当x0时，f（3）5，求不等式的解。 分析：由题设条件可猜测：是yx2的抽象函数，借助函数模型进行解决问题，且为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，则，当，时，则，即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5， f（1）3。 ， 即， 解得不等式的解为。2、指数函数型抽象函数例3、设函数的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。 求：（1） f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负。分析：由题设可猜测是指数函数的抽象函数，从而猜想f（0）1且f（x）0。解：（1）令y0代入，则，。若f（x）0，则对任意，使得，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则， 又由（1）知f（x）0，f（2x）0， 因为的任意性，所以f（x）0， 故对任意x，f（x）0恒成立。例4、是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x）0，x N；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2）4可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1时，又x N时，f（x）0，结论正确。（2）假设时，有，则xk1时，xk1时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。3、对数函数型抽象函数对数函数型抽象函数，即由对数函数抽象而得到的函数。例5、设f（x）是定义在（0，）上的单调增函数，满足，求：（1）f（1）； （2）若f（x）f（x8）2，求x的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）0，f（9）2。解：（1）， 。或令，则， 。（2）， 从而有f（x）f（x8）f（9），即， f（x）是（0，）上的增函数，故 解之得：8x9。例6、 设函数的反函数是。如果，那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。分析: 由题设条件可猜测yf（x）是对数函数的抽象函数，又yf（x）的反函数是yg（x），yg（x）必为指数函数的抽象函数，于是猜想g（ab）g（a）g（b）正确。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。4、三角函数型抽象函数三角函数型抽象函数即由三角函数抽象而得到的函数。例7、己知函数的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有f（a）1（a0，a是定义域中的一个数）；当0x2a时，f（x）0。试问：（1）的奇偶性如何？说明理由。（2）在（0，4a）上, 的单调性如何？说明理由。分析: 由题设知是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：是奇函数且在（0，4a）上是增函数（这里把a看成进行猜想）。解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。=，f（x）是奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1