系统的稳定性.ppt

熟悉Bode稳定判据的基本原理和应用方法。熟悉系统的相对稳定性概念及其应用。,掌握稳定性的概念；掌握Routh稳定判据的基本原理和应用方法；掌握Nyquist稳定判据基本原理和应用方法。,内容提要,5.1系统稳定的初步概念,1、系统不稳定现象的发生,（1）线性系统不稳定现象发生与否，取决于系统内部条件，而与输入无关。,（2）系统发生不稳定现象必有适当的反馈作用。,（3）控制理论中所讨论的稳定性是指自由振荡下的稳定性。,2稳定的概念和定义,指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后，系统能够以足够精度逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的或具有稳定性。否则，系统是不稳定的。,5.1系统稳定的初步概念,系统的稳定性：,从空间尺度来考察。,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,不稳定,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，若在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不稳定的。,稳定性的定义：,从时间尺度来考察。,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,稳定,不稳定,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,若系统稳定，则在初始条件不超出允许区域()的条件下，系统的输出响应xo(t)最终只能在原平衡工作点附近变化，而与原平衡工作点的偏差不超出预先指定的正数，则系统称为在李雅普诺夫意义下的稳定；反之，若对任意给定的正数，找不到不为零的正数满足下式，则系统称为在李雅普诺夫意义下的不稳定。,李雅普诺夫稳定性：,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称为“在大范围内渐近稳定”。,渐近稳定性是对线性系统定义的稳定性，它要求初态引起的响应最终衰减到零。,渐近稳定性：,渐近稳定性比李雅普诺夫意义下的稳定性要求高；渐近稳定的一定是李雅普诺夫稳定，反之则不尽然。,2稳定的概念和定义,5.1系统稳定的初步概念,用线性化方程来研究系统的稳定性时，就只限于讨论初始偏差不超出某一微小范围时的稳定性，称为“小偏差”稳定性，又称“小稳定”或“局部稳定性”。,小偏差稳定性：,5.1系统稳定的初步概念,系统的全部特征根都具有负实部。,3稳定的条件,系统稳定的充要条件：,或者说：系统传递函数G(s)的全部极点均位于S平面的左半平面。,3稳定的条件,5.1系统稳定的初步概念,确定系统稳定性的方法有两种类型：,直接计算或间接得知系统特征方程式的根；,确定保证特征方程的根具有负实部的系统参数的区域；包括：,包括：,直接求解特征根；,根轨迹法。,Routh稳定判据，Nyquist稳定判据。,1系统稳定的必要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,设线性系统的特征方程为,式中si(i=1,2,3,n)为线性系统的特征根。,1系统稳定的必要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,高阶代数方程的根与系数的关系为,1系统稳定的必要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,可求得线性系统特征根si(i=1,2,3,n)具有负实部的必要条件为：,特征方程的各项系数ai(i=1,2,3,n)都不等于0；,特征方程的各项系数ai的符号都相同。,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,列出Routh表，确定Routh稳定判据。,应用Routh稳定判据分析系统稳定性的步骤是：,第一步，将给定的线性系统特征方程的系数按下列形式排成两行：,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,第二步，根据上面的系数排列，通过规定的运算求取如下的劳斯计算表。,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,在排列特征方程的系数时，空位需要以零来填补；,凡在运算过程中出现的空位，也必须置零，从而构成一个完整矩阵形式的计算表。,注意：,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,第三步，根据劳斯计算表第一列各元素符号的改变次数确定特征根中具有正实部根的个数。,若第一列各元间依次序数下来，符号的改变次数为零，则具有正实部特征根的个数为零，系统是稳定的；,若第一列各元符号不同，则系统是不稳定的，其各元间符号依次改变的次数等于具有正实部特征根的个数。,2系统稳定的充要条件,系统稳定的充要条件为：,5.2Routh（劳斯）稳定判据,Routh表中第一列各元的符号均为正，且值不为。,5.2Routh（劳斯）稳定判据,系统特征方程为,举例1,判别其稳定性。,解：,根据特征方程的系数列Routh表如下：,改变1次符号;,又改变1次符号;,2系统稳定的充要条件,有2个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。,5.2Routh（劳斯）稳定判据,举例2,系统特征方程为,试确定K取何值时，系统稳定。,解：,根据特征方程的系数列Routh表如下：,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,能使系统稳定的参数K的取值范围为：,解得,解得,由系统稳定的充要条件，要求：,2系统稳定的充要条件,5.2Routh（劳斯）稳定判据,2系统稳定的充要条件,二阶系统稳定的充要条件是：,三阶系统稳定的充要条件是：,3应用Routh判据的特殊情况,5.2Routh（劳斯）稳定判据,（1）如果在Routh表中任意一行的第一个元为零，而其后各元均不为零或部分地为零，则在计算下一行第一个元时，该元必将趋于无穷大，于是Routh表计算将无法进行。,为了克服这一困难，可用一个很小的正数来代替第一列等于的元，然后计算Routh表的其余各元。,5.2Routh（劳斯）稳定判据,系统特征方程为,举例3,判别其稳定性。,解：,根据特征方程的系数列Routh表如下：,改变1次符号;,又改变1次符号;,3应用劳斯判据的特殊情况,有2个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。,3应用劳斯判据的特殊情况,5.2Routh（劳斯）稳定判据,（2）如果当Routh表的任意一行中的所有元均为零时，系统的特征根中，或存在两个符号相异，绝对值相同的实根；或存在一对共轭纯虚根；或上述的两种类型的根同时存在；或存在实部符号相异，虚部数值相同的两对共轭复数根。,3应用劳斯判据的特殊情况,5.2Routh（劳斯）稳定判据,在这种情况下，可利用该行的上一行的元构成一个辅助多项式，并用这个多项式方程导数的系数组成Routh计算表的一行代替全行的元，便可按Routh稳定判据的要求继续运算下去，直到得出完成的Routh计算表。这些数值相同，符号相异的成对的特征根，可通过解辅助方程得到，即p阶的辅助多项式有这样的p对特征根。,5.2Routh（劳斯）稳定判据,系统特征方程为,举例4,用Routh表判别其稳定性。,解：,根据特征方程的系数列Routh表如下：,3应用劳斯判据的特殊情况,5.2Routh（劳斯）稳定判据,将系数带入Routh表第三行，继续进行运算,3应用劳斯判据的特殊情况,辅助方程,求导得,5.2Routh（劳斯）稳定判据,3应用劳斯判据的特殊情况,改变1次符号;,有1个具有正实部的特征根，所以系统不稳定。,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,闭环系统的传递函数为,则闭环系统特征方程为,开环传递函数为,闭环系统稳定的充要条件是其特征方程的全部特征根位于S平面的左半部。,Nyquist稳定判据是通过闭环系统的开环频率响应G(j)H(j)与闭环特征方程1+G(j)H(j)=0的根在s平面上分布之间的联系,根据开环频率响应G(j)H(j)判别闭环系统稳定性的一种准则。,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,1.幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,引入辅助函数，令,式中，pi为闭环系统的开环极点，zi为闭环系统的闭环极点,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,F(s)具有以下特点：,（1）F(s)与G(s)H(s)只相差1；,（2）F(s)的极点pi为开环系统的开环极点；其零点zi为闭环系统的闭环极点；,（3）对于物理可实现系统，其开环传递函数G(s)H(s)分母多项式的阶数n大于或等于其分子多项式的阶数m，因此，F(s)的极点、零点数目相同，都等于n。,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,幅角原理：,设F(s)是复变函数，以F复平面上的,s为复变量，以s平面上的,表示。,表示。,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,幅角原理：,如果在s平面任取一个不穿过F(s)的零点和极点的封闭轨线LS，它包围的零点数和极点数分别为Z和P，封闭轨线LS通过F(s)映射到F平面上也是一条封闭轨线LF。那么，当复变量s在s平面中以顺时针方向沿LS旋转一周时，复变函数F(s)在F平面上的映射轨迹LF将按顺时针的方向包围原点N=Z-P次。,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,j,s,Ls,s,Im,Re,F(s),LF,F,z1,z2,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,向量F(s)的相位为：,假设LS内只包围了F(s)的一个零点zi，其他零点和极点均在LS之外，当s沿LS顺时针方向移动一周时，向量（s-zi）的相位角变化-2弧度，而其他各向量的相位角变化为零。即F(s)在F平面上沿映射轨迹LF绕原点顺时针转了一周。,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,若s平面上的封闭曲线LS内包围着F(s)的Z个零点，则在F平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转Z周。同理，若s平面上的封闭曲线LS内包围着F(s)的P个极点，则在F平面上的映射曲线LF将绕原点逆时针转P周。若LS包围了F(s)的Z个零点和P个极点，则F(s)平面上的映射曲线LF将绕原点顺时针转N=Z-P周。,1幅角原理,5.3Nyquist（奈奎斯特）稳定判据,N，表示LF按顺时针方向包围原点N次；,N0）时，相频特性GH距-180线的相位差值称为相位裕度。,相位裕度有时又叫做相位稳定性储备。,=180+(c),5.5系统的相对稳定性,对于稳定系统，必在极坐标负实轴以下；必在Bode图横轴之上，这时称为正相位裕度。,对于不稳定系统，必在极坐标负实轴以上；必在Bode图横轴之下，这时称为负相位裕度。,1相位裕度,5.5系统的相对稳定性,当为相位交界频率g(0)时，开环幅频特性的