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2可分离变量的方程,可分离变量方程；可化为可分离变量的几类一阶方程。,如果可以用初等函数及其积分来表示一个微分方程的解，则称这个微分方程可以用初等积分法求解。,Leibniz在1686年提出的一个微分方程,大约过了150年，Liouville(刘维尔)从理论上证明这个方程不可能用初等积分法求解。,一.可分离变量方程,转化,解分离变量方程,解法：,Step1分离变量,Step2两边积分,分离变量法,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形，因此可能增解，减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,Dec.17Wed.Review,微分方程和解的概念,可分离变量的微分方程,通解，通积分，特解，非平凡解；,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,解:,故有,即,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,定解条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据定解条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,Hw：p3661(4,7,9,10,12),2(2,3,5).,二.可化为可分离变量的几类一阶方程,1.形如,作代换,方程化为,解：,解：,Dec.22Wed.Review,微分方程和解的概念,可分离变量的微分方程,通解，通积分，特解，非平凡解；,可化为可分离变量方程的类型,方程化为,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,解法:,2.齐次方程,两边积分,得,便得原方程的通解.,分离变量:,注意：,例1.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在,(C为任意常数),求解过程中丢失了.,解：,方程可化为：,为齐次方程。,方程化为：,两边积分得：,通积分为：,在微分方程中，变量x与y的地位是对等的，即可以视x为y的函数。这取决于方程的具体形式，只要便于求解。,解：,代入上述方程，得：,得通解：,整理得：,两边积分得：,微分方程的解为,解:,例6求解微分方程,解,微分方程的解为,可分离变量方程。,代入方程：,令,则上述函数化为：,解：,解方程组,原方程化为：,Dec.12Mon.Review,微分方程和解的概念,可分离变量的微分方程,通解，通积分，特解，非平凡解；,可化为
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