复变函数2-1-3

第二章解析函数-是复变函数中一类具有某种特性的可微函数,背景：以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。复变函数论产生于十八世纪，它的目的是将微积分推广到复数域，主要的研究对象是复数域上的解析函数。因此，通常也称复变函数论为解析函数论。历史上对解析函数的研究是从多方面开始的。法国数学家DAlembert与瑞士数学家Euler等人都为这门理论的创建做出过奠基性工作达朗贝尔-欧拉方程（微分）。法国数学家Laplace【拉普拉斯，1749-1827】也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。人们才接受了复数，复变函数论才能顺利的建立和发展。,首先，我们类似于实函数的导数引进复变函数的导数。,复变函数论的全面发展是在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家Cauchy，德国数学家Riemann柯西-黎曼方程（微分）、积分和Weierstrass的巨大努力，已经形成非常系统的理论，且深刻的渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。,二十世纪以来，复变函数与数学中其它分支的联系也日益密切。致使经典的复变函数理论（如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题等）有了新的发展和应用。并且，还开辟了一些新的分支（如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟保形变换等）。另外，在种种抽象空间的理论中，复变函数还常常为我们提供新思想的模型。,定义1.1,一复变函数的导数,称为增量w的线性主要部分,说明：,例1：,解.,例2：,解.,z,z=iy,z=x,考虑：u,v在z处可导f(z)在z处可导？反之，如何？,例3：,解.,z,z=iy,z=x,例4：,例5：,二解析函数及其运算,定义1.2,注意:,解析函数,解析性与可导性的关系：函数在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；二者不等价！,f(z)在点z0无定义或无确定值；f(z)在点z0不连续；f(z)在点z0不可导；f(z)在点z0可导,但找不到某个邻域在其内处处可导,例1.3,解.,把高等数学中有关导数的运算法则推广到复变函数，就有,f(z)在点(0,0)可导,但找不到某个邻域在其内处处可导!,解析函数的运算性质,定理1.1,（3）一个解析函数不可能仅在一点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。,解：,例1：,例2：,问题：,换句话说：,三函数可导性的充要条件,事实上，,定理2.1,推论2.1,定理2.2,推论2.2,根据函数在区域内解析的定义，可得到下面的结论,判定函数的可导性（解析性）方法：,用可导（解析）函数的定义来判断。尤其，对于分段函数在分界点的可导性，则必须用可导的定义来研究。,用C-R方程判断函数的可导性（解析性）。注意：u,v不仅满足C-R方程，也要满足可导的条件,用可导（解析）函数的四则运算来判断函数的可导性（解析性）。,例2.1：判断下列函数在何处可导，在何处解析？,解：,例如：,例2.2：,解：,例2.3：,解：,四初等复变函数,将高等数学中通常的一元初等函数在复数域中做自然推广【称为初等解析函数、或初等复变函数】，要求：当复数退化为实数时，要求与实函数相同；而取复数时，尽量使初等复函数仍保留实初等函数的某些重要性质（如连续性、可导性等），往往也会具有与实函数不同的性质。,指数函数（单值函数）,它将复数、三角函数、指数函数联系起来.,指数函数的性质：,几点说明：,例：,解：,对数函数（无穷多值函数）-规定：对数函数是指数函数的反函数,作为复数，我们考虑它的模和辐角.,作为函数，对数函数是多值函数（函数多值性是由辐角的多值性引起的）.定义域是除了0之外的全体复数.,X,例3.1：求Ln2,Ln(-1)以及它们相应的主值.,解：,此例说明：在实数域内，“负数无对数”的说法，在复数域内是不成立的.但可修改成“负数无实对数”，且正实数的复对数也是无穷多值的.复对数是实对数在复数域内的推广！,对数函数的基本性质：,一般的幂函数（一般也是多值函数）,特别，,(),为非负整数，全平面解析；为负整数，在除去零点的复平面内解析.,各分支在除去原点和负实轴的复平面内解析.,为非负整数，在全平面内解析.,(),(),例3.2：,解：,三角函数（单值函数）,将正余弦函数的定义推广到自变量取复数的情形，我们称,为复变量z的余弦函数与正弦函数，记为cosz，sinz。,三角函数的基本性质：,加法公式（指数函数加法定理的直接推论）,反三角函数（多值函数）,类似地，可以定义反正弦函数与反余切函数：,双曲函数（单值函数）和反双曲函数（多值函数）,双曲函数的基本性质：,它们可用三角函数表示出来，因此，与三角函数没有本质差别！