山东大学数学分析7VIP

3平面曲线的弧长,4旋转曲面的面积,1平面图形的面积,5定积分在物理中的应用,2由平行截面面积求体积,小结与习题,第7章定积分的应用,6定积分的近似计算,一、直角坐标系情形,二、参数方程,1平面图形的面积,三、极坐标系情形,复习:定积分的几何意义,曲边梯形的面积:,由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形,y=f(x),a,b,0,x,y,怎样求面积呢？,A,-A,A表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积,a,b,a,b,y=f(x)0,y=f(x)0,x,x,y,y,0,0,A,A,2.如果f(x)在a,b上时正，时负，如下图,结论：,几何意义,a,b,x,y,y=f(x),0,应用,例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,问题:试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,讲授新课:,直角坐标系,曲边梯形的面积,一、直角坐标系情形,曲边梯形的面积,讨论：由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、y=d所围成的图形的面积S如何求？,答案：,下页,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,则椭圆的面积为,下页,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,解：设椭圆在第一象限的面积为S1，,解：由对称性，图形面积是第一象限部分的两倍。,S=2,下页,例3计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积。,解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。,首页,=18。,参数方程,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,二参数方程,椭圆的参数方程,解,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,三、极坐标系情形,曲边扇形的面积,面积元素,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,例7,解：,两边同时对求导,积分得,所以所求曲线为,回顾,曲边梯形求面积的问题,补充:定积分的元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（3）求和，得A的近似值,（4）求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积，体积。,经济应用。其他应用。,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,如何用元素法分析？,第二步：写出面积表达式。,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,如何用元素法分析？,平面图形的面积,第二步：写出面积表达式。,如何用元素法分析？,选为积分变量,解,两曲线的交点,面积元素,微元法求平面图形的面积举例,选为积分变量,解,两曲线的交点,于是所求面积,选为积分变量,两曲线的交点,解,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,三、小结,一、旋转体的体积,二、平行截面面积为已知的立体的体积,1体积求法,三、小结,旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,一、旋转体的体积,旋转体：由连续曲线yf(x)、直线xa、ab及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体。,讨论：旋转体的体积怎样求？,答案：,旋转体的体积为,曲线y=f(x)绕x轴旋转而成的立体体积：,解：椭圆绕x轴旋转产生的旋转体的体积：,下页,分别绕x轴与y轴旋转产生的旋转体的体积。,解,直线方程为,解,解,补充,利用这个公式，可知上例中,解,体积元素为,二、已知平行截面面积的立体的体积,设一立体在x轴上的投影区间为a,b，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。,(3)令l=maxDxi，则立体体积为,(1)在a,b内插入分点：a=x0x1x2xn-1xn=b，,(2)过xi(i=1,2,n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。,将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积的近似值,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解：,例8,立体体积,交点,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕轴旋转一周,绕轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,三、小结,一、平面曲线弧长的概念,二、直角坐标情形,7.3平面曲线的弧长,三、参数方程情形,四、极坐标情形,一、平面曲线弧长的概念,7.3求平面曲线的弧长,二、直角坐标情形,弧长元素,弧长,例,1,计算曲线,上相应于,x,从,a,到,b,的一段,弧的长度,.,所求弧长为,解,解,曲线弧为,三、参数方程情形,弧长,解,第一象限部分的弧长,根据对称性,星形线的参数方程为,解:,证,根据椭圆的对称性知,故原结论成立.,曲线弧为,四、极坐标情形,弧长,解,解,平面曲线弧长的概念,五、小结,求弧长的公式,弧微分的概念,极坐标系下,参数方程情形下,直角坐标系下,思考题,思考题解答,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长,7.4旋转曲面的面积,通过对不均匀量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）的分析，采用“分割、近似代替、求和、取极限”四个基本步骤确定了它们的值，并由此抽象出定积分的概念，我们发现，定积分是确定众多的不均匀几何量和物理量的有效工具。那么，究竟哪些量可以通过定积分来求值呢？,一定积分的元素法(或微元法),为了说明微元法，我们先来回顾一下曲边梯形面积转化为定积分的计算过程。,step1.分割：任意划分a,b为n个小区间,step2.近似：,微元法,step3.求和：,step4.取极限：,分析：,在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：,1。与区间a,b及a,b上连续函数f(x)有关;,2。对a,b具有可加性，,3。,实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：,微元法,step1:选取积分变量及积分区间（如x属于a,b）,step2:取微区间x,x+dx求出,step3:,这种方法称为定积分的元素法或微元法。,微元法,一般的，如果某一实际问题中所求量Q符合条件:,1。Q是与某一变量x的变化区间a,b有关的量；,2。Q对于a,b区间具有可加性；,3。局部量,那么，将Q用积分来表达的步骤如下:,step1.选取积分变量及积分区间,step2.取微区间x,x+dx，求出,step3.,微元法,求的步骤,分割,用分点,将,区间分成n个小区间,以直线代曲,把在小区间上的局部量,用某个函数f(x)在,的值与,之积代替,求和,把局部量的近似值累加得到总量的近似值,即,设量非均匀地分布a,b上,由此可知，若某个非均匀量在区间a,b上满足两个条件：,（1）总量在区间上具有可加性，即把区间分成几个小区间时总量就等于各个小区间上的局部量之和，,（2）局部量可用,近似表示,它们之间只相差一个,的高阶无穷小,不均匀量就可以用定积分来求得这是建立所求量的积分式的基本方法,求极限,1求微元,写出典型小区间,上的局部量,的近似值,这就是局部量的微元,2求积分,即把微元,在区间a,b上,作积分表达式，求它在a,b上的定积分，即,这就是微元法,“无限积累”起来，相当于把,例,解:（图一）,旋转曲面的面积为,二旋转曲面的面积,例3,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,三小结,7.5定积分在物理上的应用,一、变力沿直线所作的功,解,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,所求功为,功元素,建立坐标系如图,解,这一薄层水的重力为,(千焦),功元素为,例3用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？,设次击入的总深度为厘米,次锤击所作的总功为,第一次锤击时所作的功为,设木板对铁钉的阻力为,解,次击入的总深度为,第次击入的深度为,依题意知，每次锤击所作的功相等,二、水压力,在端面建立坐标系如图,解,建立坐标系如图,面积元素,解,三、引力,例,6,有一长度为,l,、线密度为,r,的均匀细棒，,在其中垂线上距棒,a,单位处有一质量为,m,的质点,M,，计算该棒对质点,M,的引力,将典型小段近似看成质点,小段的质量为,建立坐标系如图,解,小段与质点的距离为,由对称性知，引力在铅直方向分力为,水平方向的分力元素,引力,例7:,解:建立坐标如图,方向:指向圆弧中点,定积分的应用习题课,微元法,理论依据,名称释译,所求量的特点,解题步骤,定积分应用中的常用公式,一、主要内容,1、理论依据,2、名称释译,3、所求量的特点,4、解题步骤,5、定积分应用的常用公式,(1)平面图形的面积,直角坐标情形,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2)体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3)平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4)旋转体的侧面积,(5)细棒的质量,(6)转动惯量,(7)变力所作的功,(8)水压力,(9)引力,(10)函数的平均值,(11)均方根,二、典型例题,例1,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,例2,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,例3:如图,平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.,解:取x为积分变量,变化区间为R,R,在R,R上任取一点x,过x作垂直于x轴的平面截立体,截面的面积,解:,例5用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第次锤击时又将铁钉击入多少？,设次击入的总深度为厘米,次锤击所作的总功为,设木板对铁钉的阻力为,第一