复变函数论1.1

1,复变函数,李霞,2,引言,1、复变函数的研究对象与研究方法,研究对象：,它将数学分析中对概念、理论与方法推广到复数域中（包括函数、极限、连续、导数、积分、级数等推广到复数域中），这种推广必然出现一些新的情况、新的问题，因而使微积分理论在复数域中得到了一些新发展留数理论、共形映射等.,复变函数（自变量和函数值都是复数的函数）,3,研究方法：,基本思想方法与数学分析大体相同，但也提出了一些新的方法。,学习方法：,与数学分析中对有关概念、理论进行比较，特别注意两者的不同之处，弄清产生此种不同的原因。,4,1545年，Cardano在大法中讨论三次方程,的求解时，给出了求解公式,2、复变函数的发展史,其中遇到了当,时开方的问题；还,讨论了将10分解为两部分，使它们的乘积等于40，,5,的根，得到两部分分别为,与,的结果，提出将负数开方作为一种新的数。,即求方程,1777年，Euler系统地建立了复数理论，给出了Euler公式,，建立了复指数函数、三角函数和对数,函数的联系，将复变函数应用于水力学和地图制图学。,18世纪Gauss等将复数用复平面上的点或向量来表示。,18世纪以后，随着微积分的建立和发展，复变函数理论才得到了快速的发展。,6,19世纪，Cauchy,Riemann,Weierstrass分别从不同角度建立了复变函数的系统理论，使复变函数真正成为分析数学的一个重要分支。,复变函数是复数域上的微积分，是基于解决数学内部矛盾的间接需要而产生的，是由于在生产实际和科学研究中发现了应用原型而发展起来的.,7,第一章复数与复变函数,第一节复数,28,8,一、复数及其代数运算,虚数单位:,对虚数单位的规定:,的解，记为：i,我们称i为虚数单位。,1、复数的概念,9,虚数单位的特性:,10,复数:,当时，称为虚数.,11,两复数相等当且仅当,复数z等于0当且仅当,说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.,12,2、复数的代数运算,1.两复数的和、差:,2.两复数的积:,3.两复数的商:,13,复数运算所满足的算率：,（1）交换率,（2）结合率,（3）分配率,全体复数并引进上述运算后就称为复数域，记作：C.,14,二、复数的几何表示,1.复平面的定义,15,2.复数向量表示,在不强调点z的位置时,向量z指自由向量.,16,利用平行四边形法求复数的和差,两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.,17,性质：,3.复数的模,（1）,（2）,18,4.复数的辐角,说明,辐角不确定.,由实轴的正向到向量z之间的方向角称为复数z的辐角，记作Argz.,19,辐角主值的定义:,20,例：,解：,21,利用直角坐标与极坐标的关系,复数可以表示成,复数的三角表示式,再利用欧拉公式,复数可以表示成,复数的指数表示式,三、复数的三角表示和指数表示,22,说明：,事实上：,23,例将下列复数化为三角表示式与指数表示式:,解,故三角表示式为,指数表示式为,24,故三角表示式为,指数表示式为,25,(三角式),(指数式),26,解法二：,27,28,四、复数的乘积与商,定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.,定理2两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,29,说明,例如，,指的是集合的相等,30,2、乘积与商的几何意义,从几何上看,两复数对应的向量分别为,31,例,解,如图所示,32,所以,33,证明：,设三角形的三个顶点分别,为,，三个内角分别为,，则它们分别为如图,所示方向角，于是,而,其中argz表示z的主辐角,34,又,于是,所以，,从而，,35,五、共轭复数,实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.,共轭复数的性质:,36,例,证,两边同时开方得,37,六、复数的乘幂与方根,1.n次幂:,38,棣莫佛公式,2.棣莫佛公式,39,例,解,40,则：,43,41,则：,从几何上看,特别，,42,推导过程如下：,43,当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.,44,例,解,40,45,即,46,七、常用的曲线方程,直线方程：,47,实轴方程：,虚轴：,2、圆,（1）以原点为心，半径为R的圆,48,作业,P421，2，3P451，3，7,49