可降阶的高阶微分方程

可降阶高阶微分方程,第三节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第九章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例1,解,例2,解,所以,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,解,例3,例4,解,可分离变量方程,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,例5求解,代入方程得,两端积分得,一阶齐次线性方程,故所求通解为,解,解,例6,垂足为P,已知三角形MTP的面积与曲边三角形,求此曲线,L的方程为y=y(x),y(0)=0,且任意点M(x,y)处的切线方程为,的方程.,解,例7,方程即不显含x,也不显含y,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,综合题,解,解,例4-1,例1-2质量为m的质点受力F的作用沿ox轴,作直线运动,在开始时刻,随着时间的增大,直到t=T时F(T)=0.,如果,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,此力F均匀地减小,运动规律.,且初始速度为0,求质点的,开始时质点在原点,解据题意有,对方程两边积分,得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,例2-2求解,解,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,解,例2-3,速度大小为2v,方向指向A,解设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v,例2-4,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动,轨迹应满足的微分方程及初始条件.,代入式得所求微分方程:,其初始条件为,又由于,M:地球质量m:物体质量,例4-3,由静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和,所需时间(不计空气阻力).,解如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用,两端积分得,因此有,注意“”号,由于y=R时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,注若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,例4-4解初值问题,解令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,例4-5,解,例4-6(悬链线问题),两端固定,绳索仅受重力作用而下垂,求该绳索在,解取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,设有一质量均匀的柔软绳索,平衡状态下所呈曲线的方程.,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,故有,两式相除得,两边对x求导得,则得定解问题:,a,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,为曲边的曲边梯形面积,围成的三角形面积记为,例6-1,二阶可导,且,上任一点P(x,y),作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴,上以,解,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方