北京理工大学工科数学分析5-1定积分

第五章定积分,定积分的概念,定积分的性质,微积分基本公式,定积分的计算法,反常积分,1定积分的概念,问题的提出定积分的概念定积分的几何意义函数的可积性,积分学第一基本问题：,求原函数(primitivefunction)与不定积分(indefiniteintegral)；,积分学第二基本问题：,和式极限：平面图形面积，变力作功等等。,定积分,微积分基本定理Fundamentaltheoremofcalculus,不定积分,（求原函数）,（和式极限）,定积分的计算问题和原函数的存在性问题,一.问题的提出,实例1（求曲边梯形的面积）,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,x=linspace(0,1,21);,y=exp(x);,选取每个子区间的端点，计算端点处的函数值,y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20;,取区间的左端点乘以区间长度全部加起来,s1=1.6757,y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20;,取区间的右端点乘以区间长度全部加起来,s2=1.7616,plot(x,y);holdonfori=1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i),y(i),0,b)end,fori=1:20fill(x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i),0,0,y(i+1),y(i+1),0,r)end,若取右端点，则,从图上可以看出：,当点取得越来越多时，s2-s1的值会越来越小，可试取50个点计算，看结果如何。,实例2.变速直线运动的路程,设某物体作直线运动,且,求在运动时间内物体所经过的路程s.,解决步骤:,1)大化小.,将它分成,在每个小段上物体经,2)常代变.,得,已知速度,n个小段,过的路程为,3)近似和.,4)取极限.,上述两个问题的共性:,解决问题的方法步骤相同:,“大化小,常代变,近似和,取极限”,所求量极限结构式相同:,特殊乘积和式的极限,二.定积分的概念,定义:,积分上限,积分下限,积分和,语言：,该定义首先由Riemann给出，所以又称为Riemann积分。,定积分是一个数（有限值），它取决于积分上下限与被积函数，与积分变量用什么字母无关,注意：,规定：,例.用定积分表示下列极限:,解:,三.定积分的几何意义,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,Dec.23Wed.Review,定积分的概念：分割、近似、求和、取极限,定积分的几何意义：,四.函数的可积性,定理1,定理2,证明需要用到实数域的完备性。,定理3,证明：,6类基本初等函数在其定义域内连续，函数在其定义域内连续，故可积。,证明：,小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,取极限,Hw：p2452,3,4(1,3,5),5.,他的一生非常短暂，而且极度贫困，对数学的贡献只能集成一本薄薄的平装本，但他却是科学史上的一位枢纽人物，100多年后的今天，他的思想还能够让人们感到最强烈的震撼。,Riemann(1826-1866),黎曼生于1826年，比高斯刚好小五十岁。他的出生地布列塞伦兹是德国的一个村庄，高斯那个时候正好在这个地区进行土地丈量。黎曼的父亲是个牧师，家里很贫困，黎曼从小体弱多病，原本也打算做牧师尽早养家糊口，但是他的数学天才让他有了另一个选择。,黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑