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文档简介
幂级数,幂级数是一类最简单的函数项级数。,幂级数的收敛性问题,幂级数在哪些点上是收敛的？,Abel定理,Abel定理,证明,证明,Abel定理的推论,Abel定理的推论,证明,根据Abel定理可知,幂级数的收敛域,由此可知幂级数的收敛域是以原点为中心的区间(-R,R),称R为幂级数的收敛半径.当时,幂级数仅仅在点处收敛当时,幂级数在上收敛当时,幂级数的收敛半径,如何求出幂级数的收敛半径R？,收敛半径R的求法,定理,收敛半径R的求法,定理,例题,求出幂级数,解,例题,求出幂级数,解,例题,同理可以求出幂级数,例题,求出幂级数,解,缺项幂级数的收敛半径,缺项幂级数的收敛半径与收敛域的求法.求出幂级数,解,利用比式判别法或者根式判别法,幂级数的一致收敛性问题,定理,证明,幂级数的一致收敛性问题,定理,证明,幂级数的性质,利用函数项级数的一致收敛性的定理,可推出幂级数的和函数的连续性、可积性和可微性的结果。,和函数的连续性,连续性定理,和函数的连续性,连续性定理,和函数的连续性,连续性定理,和函数的可积性,逐项积分定理,收敛半径不变,证明：,和函数的可微性,逐项求导定理,收敛半径不变,证明：,和函数的可微性的推论,推论1,和函数的可微性的推论,推论2,幂级数相等的意义,幂级数相等的概念,幂级数的运算,幂级数的运算,求幂级数的和函数,由已知幂级数的和函数，通过逐项求导或者逐项积分来求出其它幂级数的和函数.,例题,例题,例题,特别地，,函数的幂级数展开,我们回顾一下上册学过的Taylor(泰勒)定理,Taylor级数,Taylor级数,反例,上述反例说明若函数f(x)具有任意阶的导函数，其Taylor级数并不一定能收敛于该函数本身！,Taylor级数收敛的充分条件(一),证明,Taylor级数收敛的充分条件(二),证明,幂级数展开式,幂级数展式的唯一性,Maclaurin(麦克劳林)级数,几种形式的余项,幂级数展开式,基本初等函数的幂级数展开式,k次多项式函数的幂级数展开式,证明,指数函数的幂级数展开式,证明,证明,三角函数sinx幂级数展开式,证明,证明,三角函数cosx幂级数展开式,证明,证明,对数函数lnx幂级数展开式,证明,证明,对数函数lnx幂级数展开式,二项式函数幂级数展开式,证明,证明,例子,Leibniz级数,函数的幂级数展开式,由前面已经得到的基本初等函数的幂级数展开式，根据幂级数展式的唯一性定理，我们可以通过变量替换、四则运算、逐项求导和逐项积分等方法，间接地求出其它函数的幂级数展开式。,例题,由对数函数的幂级数展开式,例题,由余弦函数的幂级数展开式,例题,由余
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