偏微分方程概论

,数字图像,像素的灰度值,引言,基于偏微分方程的图像处理方法(PartialDifferentialEquations,简称PDE),定义图像u连续信号图像处理操作F偏微分算子原始图像I初始条件结果图像u方程的解,应用图像滤波、图像修复、对比度增强、提取骨架线、二值化、边缘检测、图像分割等。,一、背景介绍,从高斯平滑算子导出的偏微分方程,偏微分方程滤波模型的导出,从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,从高斯平滑算子导出的偏微分方程热传导方程(Witkin),不足：各向同性扩散方程。在各个方向上同等扩散，滤波的同时破坏图像内容，即图像边缘。,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,从最优化的问题出发，即变分方法导出的偏微分方程变分图像去噪方法通过引入能量函数，将图像去噪问题转化成泛函求极值问题，即变分问题。变分法是研究泛函求极值问题的方法，它的主要步骤为：第一步，从物理问题上建立泛函及其约束条件；第二步，通过泛函变分，求得欧拉拉格朗日方程；第三步，在边界条件下求解，即求解微分方程。,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,偏微分方程的图像处理方法的优点,二、基于偏微分方程的图像滤波方法,第一章常微分方程与偏微分方程概论,主要内容：常微分方程的基本知识，包括：方程的建立、解的概念、最基本的求解方法等；偏微分方程基本知识，包括数学物理方程的导出，初边值问题、方程的傅立叶变换等；略微详细介绍热传导方程。,1.1常微分方程简介1.1.1常微分方程的基本概念牛顿第二定律：,其中：m是质量，r是位置向量，t是时间，F是作用于质点的力,牛顿引力定律：,其中：G是万有引力常数，M与m是一对相互吸引的质点，r是从M到m的向量，r|r|是与r同向的单位向量,这就是描述行星运动的微分方程微分方程中未知函数只出现一个自变量。求解方程，可引入极坐标变换，令u=1r,则得到下面的二阶常系数线性微分方程：,u0,q0是由初始条件确定的2个常数。,1.1.2一些典型的常微分方程一、可分离变量的方程具有如下形式：,可转化为,两边对x积分（如果可能的话）,得G(y)+C1=F(x)+C2即G(y)=F(x)+C,二、齐次方程具有如下形式,作变量替换，令u=yxy=ux,是可分离变量的方程,三、线性变系数方程具有如下形式（一阶）,相应的齐次方程,显然是个可分离的方程,积分得通解yh(x)=Cexp-P(x)其中：,定义积分因子则m(x)yh(x)=C,两边求导,对于q(x)0时m(x)y(x)=C不成立。但由上面的推导，可有,对上式积分得,即有,伯努利方程,作变换，令u=y1-n,n阶常系数线性微分方程,其中，a0,an均为常数。先考虑齐次情形,令y=elx代入得,解这个方程得l=l1,ln若lilj,ij方程通解为,若某个lj是h重根，则对应还有如下的h个解,可以证明上面两种形式的解都是线性无关的，它们的任意线性组合都是齐次方程的通解。,下面考虑非齐次情形，任取上述一个根，令,令dzdx=u,这样，方程降了一阶，但还是常系数，经过有限次降阶、积分，可得非齐次方程的一个特解y=y0(x),则，原方程通解为,1.2.1偏微分方程的概念未知函数含有多个自变量，方程中出现多元函数对不同自变量的各阶偏导数，这样的微分方程称为偏微分方程（数学物理方程）。几乎所有的研究对象，包括天文、物理等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述和求解。,偏微分方程的导出与定解,偏微分方程的导出与定解,1.2.1偏微分方程的概念,但是，偏微分方程十分复杂，即使是线性的也会复杂到难以处理的程度。至于非线性方程，也只能针对具体问题，提出个别的解决方法。所以，在数学上无法建立起偏微分方程研究的一般性理论。,1.2.2几个典型的数学物理方程热传导方程（温度分布）扩散方程（化学物质在溶液中的浓度）,其中a0，a2=kQ，k是传热系数，Q是热容量。,偏微分方程的导出与定解,拉普拉斯方程调和方程当物体的温度处于热稳定状态（真空中静止的电磁场。经典的引力场、或流体的某种稳定状态）,1.2.2几个典型的数学物理方程,偏微分方程的导出与定解,波动方程当声波在空气中传播时，如果u表示压强的小扰动，a0是声音（电磁波或其他波动）在空气中的传播速度,1.2.2几个典型的数学物理方程,偏微分方程的导出与定解,1.2.3初边值问题对于最典型的求解问题是初始值问题柯西问题即：求波动方程的解u，使其满足初始条件,u0(x,y,z)和u1(x,y,z),表示在t=0时波的形状和关于t的变化率。,偏微分方程的导出与定解,一维情形弦振动方程,初始条件,作变换x=x-at,h=x+at方程变为,偏微分方程的导出与定解,且通解为u=f(x-at)+g(x+at)其中f与g是任意两个具有连续二阶导数的函数。并由初始条件，就得到下面弦振动的达朗贝尔（DAlembert）公式,偏微分方程的导出与定解,高维情形，把(x，y，z)记x=(x1,x2,x3),x=(x1,x2,x3)利用傅立叶变换（Fourier）其中xx=x1x1+x2x2+x3x3,偏微分方程的导出与定解,且当f满足一定条件时有Fourier逆变换,另外有,偏微分方程的导出与定解,对于下面方程，利用Fourier变换,偏微分方程的导出与定解,变成解常微分方程的初值问题，解得,其中做Fourier逆变换，得泊松（Poisson）公式,偏微分方程的导出与定解,其中ds1（dsat）是球面|l|=1（|l|=at）的面积元素。,偏微分方程的导出与定解,1.3热传导方程初值问题的求解,两边关于x做Fourier变换,偏微分方程的导出与定解,解常微分方程得,若记且有从而,偏微分方程的导出与定解,同理,偏微分方程的导出与定解,代入得其中通常称K(x-x,t-t)为热传导方程基本解，且当f(x,t)0、j(x)适合一定条件时，可证明泊松公式是给出的初值问题解。,偏微分方程的导出与定解,1.4二阶偏微分方程的分类与化简1.4.1二阶偏微分方程的分类三个典型的二阶偏微分方程的标准形式：,（波动方程）（热传导方程）（位势方程）,偏微分方程的导出与定解,其中：f是(x1,xm)或(x1,xm,t)的函数，a为常数，是Laplace算子。二阶偏微分方程的一般形式：,其中aij=aji、b、c、f都是(x1,xm)的函数。,偏微分方程的导出与定解,用A表示矩阵（aij)i,j=1,2,.,m对于波动方程，取m=n+1,t=xn+1,偏微分方程的导出与定解,对于热传导方程，取m=n+1,t=xn+1,偏微分方程的导出与定解,对于位势方程，取m=n,偏微分方程的导出与定解,如果A是个常系数矩阵，由于它是对称的，所以，一定存在一个正交矩阵T，使得TTAT是对角阵，且对角线上的元素就是A的特征值。位势方程：A的特征是都是正（或负）的，即A是正定的或负定的；热传导方程：A的特征值有一个为0，其它的都为正（或负）的，即A是非负（或非正）的；波动方程：A的特征值除了一个为正（负）外，其它的都是负（正）的，即A是不定的。,偏微分方程的导出与定解,设x0(x01,.,x0m)是空间中一点，A(x0)表示矩阵A在x0点的值定义：若A(x0)的m个特征是全是正（或负），称方程在x0点是椭圆型的；若A(x0)的特征是除了一个为0外全是正（或负）的，称方程在x0点是抛物型的；若A(x0)的特征值除了一个为负（或正）外，其它m-1个全是正（或负）的，称方程在x0点是双曲型的。如果对于区域W上每一个点，方程是椭圆型的，则称方程在区域W上是椭圆型的。类似有抛物型的和双曲型的。,偏微分方程的导出与定解,定理：如果方程的二阶项系数aij是常数，即A是常数矩阵，且它属于椭圆型（抛物型、双曲型）方程，那么一定可以通过一个非奇异的自变量代换，把方程的二阶项化为三个标准形式。,偏微分方程的导出与定解,1.4.2二阶偏微分方程的化简定义：称m维空间中的一张曲面S=j(x1,xm)=0为二阶偏微分方程一般形式的特征曲面，如果曲面S的每一个点，有,定义：对于固定点x0=(x10,xm0)，如果过该点的方向l=(a1,am)满足特征方程则称l为该点的特征方向。,偏微分方程的导出与定解,由于表示曲面j(x1,xm)=0的法向，所以特征曲面就是每点的法向为该点特征方向的曲面。怎样求特征方向和特征曲面，总假设ai2=1即取ai为特征方向的方向余弦。,偏微分方程的导出与定解,例：热传导方程的特征方程为a12+a22+a32=0由假设有a02+a12+a22+a32=1从而a02=1因此特征曲面为超平面t=常数,偏微分方程的导出与定解,例：对于两个自变量的二阶线性偏微分方程其特征方程为a11a12+2a12a1a2+a22a22=0满足上述关系的方向(a1,a2)为特征方向，其特征线j(x,y)=0,偏微分方程的导出与定解,满足a11jx2+2a12jxjy+a22jy2=0*求解这个方程。对j(x,y)=0微分并代入上式jxdx+jydy=0jx=-jydydxa11dy2-2a12dxdy+a22dx2=0*,偏微化为常微，求出*的一族积分曲线j1(x,y)=C则，z=j1(x,y)是*方程的解。,偏微分方程的导出与定解,求*的积分曲线，将它分解为两个方程,此时在(x0,y0)的近旁有三种情况，记0=a122-a11a22=00,偏微分方程的导出与定解,即，在(x0,y0)近旁0此时*有两族不同的实积分曲线j(x,y)=C和y(x,y)=C引入自变量x=j(x,y),h=y(x,y)*,由*可看出-jxjy、-yxyy是二次方程a11l2+2a12l+a22=0两个不同实根，从而即，上述自变量变换是可逆的。,偏微分方程的导出与定解,由于ux=uxxx+uhhxuy=uxxy+uhhyuxx=uxxxx2+2uxhxxhx+uhhhx2+uxxxx+uhhxxuxy=uxxxxxy+uxh(xxhy+xyhx)+uhhhxhy+uxxxy+uhhxyuyy=uxxxy2+2uxhxyhy+uhhhy2+uxxyy+uhhyy原方程化为b11uxx+2b12uxh+b22uhh+c1ux+c2uh+Du=f,偏微分方程的导出与定解,其中b11=a11xx2+2a12xxxy+a11xy2b12=a11xxhx+a12(xxhy+xyhx)+a22xyhyb22=a11hx2+2a12hxhy+a11hy2由*和*知b11=b22=0,*=b122-b11b12=*J2故b120从而原方程化为,偏微分方程的导出与定解,如果令x=(s+t)2,h=(s-t)2方程最终化为,偏微分方程的导出与定解,1.5与图像处理有关的偏微分方程的例子几个常用的与图像处理有关的非线性抛物型方程1.,其对应的滤波器具有锐化作用。,偏微分方程的导出与定解,其中D为微分算子，它与膨胀或腐蚀算子的迭代有一定联系。,