北京理工大学工科数学分析3-1微分中值定理及导数应用VIP

Oct.31Wed.微分中值定理与导数应用,微分中值定理洛必达法则Talyor公式函数单调性与凸性的判别法函数的极值曲线的曲率,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,中值定理是沟通导数和函数值之间的桥梁。,导数定义：函数与导数的关系，也即切线和割线的关系。切线为割线的极限位置。,割线斜率,切线自A至B变动，总存在一条切线T与AB平行。,1微分中值定理,费马(Frmat)定理罗尔(Rolle)定理拉格朗日(Lagrange)定理哥西(Cauchy)定理,一.费马(Frmat)定理,定义1,定义2,FrmatTheorem：,证明：,再由极限的性质得：,几何意义：,水平切线,注意:极值点必为稳定点，但稳定点不一定为极值点。,为稳定点，但不是极值点。,二.罗尔(Rolle)定理,证明：,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,证明：,证明：,证明：,证明：,三、拉格朗日(Lagrange)中值定理,(1)在区间a,b上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然,在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,证:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立.,证毕,注意：,几何解释:,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,证明：,由LagrangeTheorem,证明：,构造函数：,例1.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令x=0,得,又,故所证等式在定义域上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在I上,例2.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,证明：,证明：,唯一性.,证明：,四.哥西(Cauchy)定理,证明:,首先由Langrange定理得：,所以定理中的公式是有意义的，做辅助函数：,例1.,证明：,分析:,结论可变形为,例2.试证至少存在一点,使,证:,法1用哥西中值定理.,则f(x),g(x)在1,e上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例2.试证至少存在一点,使,法2令,则f(x)在1,e上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,hw：p1494,5,7(2),8(1,4,5),13,14.,内容小结,1.微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2.微分中值定理的应用,(1)证明恒等式,(2)证明不等式,(3)证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维设辅助函数,费马引理,费马(16011665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(17361813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(17891857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有27卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用等,有