同济第3版-高数-6.3-第三节-一阶线性微分方程

第三节一阶线性微分方程,本节概要,线性方程是除可分离变量方程之外又一类可直接求解的微分方程，其重要性是不言而喻的。此外，由于线性方程解的结构特点，使得人们有可能直接从方程的解的结构推断方程的解的形式，从而为微分方程的讨论开辟了新的途径。,若在微分方程F(x,y,y,y,y(n)=0中出现的未知函数y及其各阶导数y,y,y(n)都是一次的，就称该方程为线性微分方程。线性微分方程的一般形式为y(n)+P1(x)y(n-1)+Pn-1(x)y+Pn(x)y=f(x).由导数运算的线性性质及一般线性方程的代数性质可推知，线性微分方程具有许多良好的性质，如解的可叠加性，可构造性等。这些性质给线性微分方程的讨论和求解带来了很大方便。,导数可解出的一阶线性微分方程的一般形式为：其中P(x),Q(x)都是已知函数。一阶线性微分方程虽是最简单的线性方程，但由于其不能分离变量，直接考虑其求解仍有困难。注意到当Q(x)0时，方程为可分离变量方程，因此先考虑这种较简单形式的方程的求解，再考虑方程一般形式的求解。,对应齐线性方程的求解,对应齐线性方程为此时方程是可分离变量方程，它总有解y(x)0，称这一解为方程的平凡解。求解齐线性方程主要考虑求其非平凡解。设总有y(x)0，则分离变量有两边积分求得齐线性方程通解为,非齐线性方程的求解,非齐次线性方程为由于Q(x)0，故y(x)0不是方程的解，因此总可设y(x)0于是可将方程变形为：对于以上方程，由于y=y(x)是未知函数，右端第一项Q(x)/ydx显然无法积出，但若将y=y(x)看作待定函数，则不论其具有何种形式，积分结果总应是某个关于x的函数，即有Q(x)/ydx=u(x).因此若能求出u(x)的表达式，就能求出非齐次方程的通解。,对以上方程两边进行“形式积分”，以考察非齐次方程通解y=(x,C)应具有的形式由此可求得方程的一个形式解lny(x)=u(x)-P(x)dx，y(x)=eu(x)-P(x)dx=eu(x)e-P(x)dx.由于u(x)是待定函数，故eu(x)也是待定的函数。记：C(x)=eu(x)，则上述结果可写成y(x)=C(x)e-P(x)dx，于是，为求非齐次线性方程的通解只需设法求出待定函数C(x).,待定函数C(x)的计算,将形式通解y=C(x)e-P(x)dx代入非齐次方程有解得C(x)=Q(x)eP(x)dxdx+C.于是求得非齐次方程的通解为,(1)一阶齐线性方程的名称,一阶齐次线性方程y+P(x)y=0中的“齐次”概念与第二节中齐次方程的“齐次”概念尽管都源自齐次函数，但二者的意义不尽相同。一阶齐次线性方程的齐次概念指方程对应于y,y的一次齐次函数，即(y,y)=y+P(x)y是y,y的一次齐次函数，它满足(ty,ty)=(ty)+P(x)(ty)=t(y,y).相应地，方程y+P(x)y=Q(x)称为非齐次方程。,第二节中齐次方程的齐次概念是指一阶方程右端的已知函数f(x,y)是关于x,y的零次齐次函数。它满足f(tx,ty)=t0f(x,y)=f(x,y).,(2)求解非齐线性方程通解的常数变易法,非齐次方程的形式通解y=C(x)e-P(x)dx与齐次方程的通解y=Ce-P(x)dx在形式上很相象，而求非齐次方程通解关键是确定相应的待定函数C(x)确定待定函数C(x)的过程可归结为所谓的“常数变易法”，其具体过程如下：求出齐线性方程y+P(x)y=0通解y=Ce-P(x)dx.将其通解中的任意常数C变易为待定函数C(x)，写出非齐次线性方程形式通解y=C(x)e-P(x)dx.将形式通解代回非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)求出待定函数C(x).,(3)一阶非齐次线性方程的另一种形式,由于在微分方程中x、y的地位实际是平等的，因此，若视x为未知函数，则如下形式的方程也是一阶线性方程：此时方程的通解为,例：求方程tanxy-y=5的通解。求解微分方程首先应注意判别方程类型。方程中出现了y的一次项，而方程的其余部分不再出现y，因而该方程是非齐次线性方程。此外还可看出，该方程同时也是可分离变量方程。,化方程为线性方程的标准式对应齐次方程为分离变量有两边积分有求得对应齐次方程的通解为,求对应齐线性方程的通解,将齐次方程通解中的常数C变易为函数C(x)，写出非齐次方程的形式通解y=C(x)sinx于是，为求非齐次方程的通解只需设法确定其形式通解中的待定函数C(x).将形式通解代入非齐次方程有,用常数变易法求非齐线性方程的通解,在微分方程两边积分求得将求得的待定函数C(x)代入非齐次方程的形式通解，求得非齐次方程的通解为,对给定方程tanxy-y=5分离变量有两边积分求得lny+5=lnsinx+lnC=lnCsinx，即有y+5=Csinx.若允许C取负值，则可求得方程通解为y=5+Csinx.,例：求方程xlnxdy+(y-lnx)dx=0的通解。方程以微分对称式给出，注意到dx系数中出现了y的一次项，而方程其余部分均不含y，故可确定这是个线性方程。化方程为线性方程的标准形式,用公式法求解,例：求方程(x-2xy-y2)dy+y2dx=0的通解。方程以微分对称式给出，注意到dy系数中出现了x的一次项，而方程其余部分均不含x，故可确定这是个以x为未知函数的线性方程。化方程为线性方程的标准形式,用公式法求解,由非齐次线性方程的通解公式求得,例：一容器内盛有盐水100L，含盐50g.现以浓度为c1=2g/L的盐水注入容器内，其流量为1=3L/min.设注入的盐水与原有盐水被搅拌迅速成为均匀混合溶液,同时，此混合溶液以流量为1=2L/min流出。试求容器内的含盐量与时间t的函数关系。由于新盐水的不断注入和混合溶液的不断排出，容器内的含盐量和随时间t而不断改变，于是容易判断容器内的含盐量与时间t之间具有函数关系。然而，由于函数关系反映的是事物变化的全过程，因此要直接写出这一函数关系并不容易，为此可取一个小的时间段进行考察。,显然，容器内的含盐量与时间t的函数关系取决于各时刻容器内的盐水体积与浓度。设时刻t容器内的含盐量为x(g)，则时刻t容器内的盐水体积积为：V(t)=100+(3-2)t=(100+t)(L).时刻t容器内的溶液的浓度，即流出的混合溶液的浓度为：,用元素法布列方程,容器内的含盐量与时间t的关系是动态的，它不仅取决于时刻t容器内的盐水体积与浓度，还取决于此刻容器内盐量的改变量x，即取决于水流入的新盐水和排出的混合溶液的量。为此可通过元素法进行分析。考虑在时间段t,t+dt内流入和流出容器的盐量:流入盐量为：c11dt；流出盐量为：c22dt.于是可求得该时间段内容器内盐量的增量为:dx=(c11-c22)dt，,代入c1=2，1=3，2=2得且由所设条件有xt=0=50.于是求容器内的含盐量与时间t的函数关系归结为如下微分方程初值问题：此初值问题对应于求解一阶非齐次线性方程，其中,求解初值问题确定函数关系,由一阶非齐次线性方程的通解公式有,代入初始条件xt=0=50有解得C=-1.5106.于是求得容器内的含盐量与时间t的函数关系为,C.P.U.Math.Dept杨访,例:求方程满足初始条件y(0)=1的特解.将方程写成导数式标准形式通过考察方程右端已知函数项f(x,y)=y-2x/y判别方程类型：f(x,y)不能分离变量，故不是可分离变量方程；f(x,y)不是零齐函数，故方程也不是零齐方程。f(x,y)虽含y的一次式，但方程的其它项还含有y，故方程也不是y的线性方程。,判别方程类型,