数学分析课件华东师大版1.2

1.2数集确界原理,一、区间与邻域二、上确界、下确界,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二有界集确界原理,1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界,闭区间、开区间为有限数）、邻域等都是有界数集，集合也是有界数集.,等都是无界数集,集合也是无界数集.,例1证明集合,是无界数集.,存在,由无界集定义，E为无界集。,证明：对任意,2确界:,定义R,数M若满足1）M是E的上界2）是任一上界，必有则称M是E的最小上界或上确界，记作或。命题1的充要条件1）M是E上界，2）使得。,证必要性，用反证法。设2）不成立，则使得，均有，与M是上确界矛盾。充分性，用反证法。设M不是E的上确界，即是上界,但。令，由2)，使得，与是E的上界矛盾。,定义2R，m满足1）m是下界，2）是E的任意下界，必有.则称m为E的下确界或最大下界。记作：或.命题2m=的充要条件1）m是E的下界，2）使得.,例2则则例3设S和A是非空数集，且有则有.,例4设A和B是非空数集.若对和都有则有证y是A的上界,是B的下界,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,A中任一数都是B的下界,是数集A的最小上界,故有,而此式又表明数是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,又,的下界就是,的下界,是,的下界,是,的下界,同理有,.,于是有,综上,有,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,命题3：设数集,有上（下）确界，则这上,，,且,，则不妨设,有,对,，,使,，矛盾。,（下）确界必是唯一的。,证：设,3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系:设E为数集.E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若存在,必有对下确界有类似的结论.,5确界原理定理1(确界原理).设E为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。,非空，有上界,：,，,(1).若,中有最大数,，则,即为上确界；,中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；,，其余的实数归入下类,，则,是实数的一个分划。,证明设,.,(2).若,的一切上界归入上类,。其次,，由于,不是,的最大数，所以它不是,的上界，即,。这说明,中任一元素都属于下类,；,A,B不空.首先,取,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,A、B不乱.设,，,因a不是E的上界，,，使得,，,而E内每一元素属于A，所以,.,由,的证明可见,无最大数.,所以,是实数的一个分划.由戴德金定理，,知上类B必有最小数，记作c.,由知,，即得,.,这表明c,是,的一个上界.,若b是E的一个上界，则,，由此得,，所以c是上界中最小的，,由上确界定义，,为集合的上确界，记作,。,下证:非空的有下界的集合必有下确界。,事实上，设集合,有下界b，,则非空集合,有上界-b，,利用集合,上确界的存在性，,即可得出集合E的下确界存在。,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备的。定理1刻划了实数集是完备的。,设A,B为非空有限数集,.证明:,例6