现代分析3-5拓扑空间-1

2020/5/30,1,第三章第5节拓扑空间,本节是点集拓扑学基础中之基础,从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念:拓扑空间、连续映射,分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.,2020/5/30,2,从度量空间谈起,定理设X,Y是两度量空间.f:XY,x0X,那么(1)f在x0连续若U是f(x0)的邻域,则f1(U)是x0的邻域;(2)f在X连续若U是Y的开集,则f1(U)是X的开集.证(1)利用连续概念和邻域与概念.(2)“”f1(U)是每一点的邻域.“”证每一点连续,利用(1).由此可见,度量空间的连续只与邻域或开集有关.它导入建立比度量空间更一般的拓扑空间的概念及其连续性.,2020/5/30,3,1.拓扑与拓扑空间概念,定义3.5.1设T是集合X的子集族,若T满足:(1)X,T;(2)A,BTABT;(3)TiT(iI),TiT;称T是X的一个拓扑.(X,T)是拓扑空间,T的元称为X的开集.空间X的拓扑是X的全体开集的族.定义3.5.2(X,)度量空间.T由X的所有开集构成的族.(X,T)称为由度量诱导出的拓扑空间.简称T为度量拓扑.度量空间拓扑空间.,2020/5/30,4,拓扑与拓扑空间概念,例3.5.1平庸拓扑T=X,.平庸空间.开集个数最少，X上最粗的拓扑例3.5.2离散拓扑T=P(X).离散空间.X的每一子集是开集.由离散度量空间导出的拓扑是离散拓扑.开集个数最多，X上最细的拓扑,2020/5/30,5,拓扑与拓扑空间概念,例3.5.3有限补拓扑T=UX|U是X的有限子集.验证T是X上的拓扑.(1)显然.(2)A,BX,讨论AB时分两种情形,一是A,B中有一是,二是A,B都不是.(3)设T1T,不妨设A0T1,利用DeMorgan律.有限补空间.例3.5.4可数补拓扑T=UX|U是X的可数子集.,2020/5/30,6,2.拓扑空间中的连续映射,定义3.5.3X,Y是两拓扑空间.f:XY.称f连续,若Y中每一开集U的原象f-1(U)是X中的开集.定理3.5.1恒同映射连续.连续函数的复合是连续的.定义3.5.5f:XY称为同胚或同胚映射,若f是一一映射且f及f-1均连续.,2020/5/30,7,拓扑空间中的连续映射,定义3.5.6称两空间X与Y同胚,或X同胚于Y,若存在从X到Y的同胚.定理3.5.2恒同映射同胚(X与X同胚);f同胚f-1同胚(若X与Y同胚,则Y与X同胚);同胚的复合是同胚(若X与Y同胚,且Y与Z同胚,则X与Z同胚).空间的同胚关系是等价关系.,2020/5/30,8,拓扑空间中的连续映射,拓扑学的中心任务:研究拓扑不变性质.抽象化过程:欧氏空间度量空间拓扑空间;点距离度量开集.,2020/5/30,9,3、邻域,定义3.5.7设(X,T)是拓扑空间.xX,UX称为x的邻域,如果存在VT使xVU;若U是开的,U称为x的开邻域.定理3.5.3设UX.U是X的开集U是它的每一点的邻域.证由定义得“”;利用开集之并为开得“”.x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系,记为Ux.,2020/5/30,10,邻域(2),定理3.5.4Ux的性质:(1)XUx;UUx,xU;(2)U,VUxUVUx;(3)UUx且UVVUx;(4)UUxVUx使VU且yV,VUy.证由定义3.5.7得(1);由开集的交是开集得(2);由定义3.5.7得(3);取V为满足xVU的开集.由邻域系出发可建立拓扑空间的理论,显得自然,但不流行.,2020/5/30,11,邻域(3),利用邻域与开集的关系(定理3.5.3)导出开集,从Ux(xX)具有定理3.5.4的性质的(1)-(4)出发,定义T=UX|xU,UUx,则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一点x的邻域系恰是Ux.定义3.5.8(点连续)映射f:XY称为在点xX连续,如果U是f(x)在Y中的邻域,则f-1(U)是x在X中的邻域.定理3.5.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出的拓扑空间中的点的连续性的一致.另一方面,关于点的连续性,易验证(定理3.5.5),恒等映射在每一点连续,两点连续的函数之复合仍是点连续的.,2020/5/30,12,邻域(4),定义3.3.4与定义2.5.8所定义的“整体”连续与每一“点”连续是一致的.定理3.5.5设f:XY.则f连续f在每一xX连续.证“”若U是f(x)的邻域,开集V使f(x)VU,xf-1(V)f-1(U).“”若U是Y的开集,xf-1(U),U是f(x)的邻域,f-1(U)是x的邻域,所以f-1(U)在X中开.,2020/5/30,13,4、导集、闭集、闭包,定义3.5.9设AX.x称为A的聚点(凝聚点,极限点),如果x的每一邻域U中有A中异于x的点,即U(A-x).A的全体聚点之集称为A的导集,记为d(A).x称为A的孤立点,若x不是A的聚点,即存在x的邻域U使U(A-x)=,即UAx.例3.5.5X是离散空间.若AX,则d(A)=.xX,取U=x,则UAx,所以xd(A).例3.5.6X是平庸空间,AX.若A=,则d(A)=;若|A|=1,则d(A)=X-A;若|A|1,则d(A)=X.对于xX,若U是x的邻域,则U=X,于是U(A-x)A-xAx,由此,易计算d(A).,2020/5/30,14,导集、闭集、闭包(2),定理3.5.7A,BX,则(1)d()=;(2)ABd(A)d(B);(3)d(AB)=d(A)d(B);(4)d(d(A)Ad(A).证由定义3.5.9得(1)和(2).关于(3).由(2)得d(A)d(B)d(AB).设xd(A)d(B),分别存在x的邻域U,V使得UAx,VBx,令D=UV,则D(AB)x.关于(4).设xAd(A),存在x的邻域U,使得UAx,取x的开邻域VU,则VA=,yV,V(A-y)=,yd(A),Vd(A)=,xd(d(A).,2020/5/30,15,导集、闭集、闭包(3),定义3.5.10AX称为X的闭集,如果d(A)A.定理3.5.8A闭A开.证“”xA,由于d(A)A,存在x的邻域U使UA=,于是UA.“”xA,AA=,xd(A),所以d(A)A.例3.5.7R的闭区间是闭集.a,b=(-,a)(b,+)开集.(a,b)不是闭集,因为a是聚点.定理3.5.9记F是空间X的全部闭集族,则(1)X,F;(2)A,BFABF;(3)HFHHHF.,2020/5/30,16,导集、闭集、闭包(4),证利用DeMorgan定律及拓扑的定义.F=U|UT.直接验证可得(1)、(2).(3)令U=HHH.则HHHT,从而HHH=HHH=(HHH)F.Cantor集(例3.4.4)是集合论、点集拓扑或实变函数论中是具有特别意义的例子,它说明R中的闭集可以是很复杂的,在此不介绍.,定义3.6.11Ad(A)称为A的闭包,记为,或A或c(A).,2020/5/30,17,导集、闭集、闭包(5),定理3.5.10对A,BX,有(1)=;(2)AA;(3)(AB)=AB;(4)(A)=A.证(3)(AB)=ABd(AB)=Ad(A)Bd(B)=AB.(4)(A)=(Ad(A)=Ad(A)=Ad(A)d(d(A)=A.上述4条确定了闭包运算,称为Kuratowski闭包公理,由此可建立拓扑空间的概念.事实上,记此运算为c(A),定义T=UX|c(U)=U,则(X,T)是拓扑空间,且这空间中每一c(A)=A,详见定理3.4.8.,2020/5/30,18,导集、闭集、闭包(6),关于闭包的几个相关结果:(1)xA对x的任一邻域有UA.(定义3.5.11后)(2)d(A)=(A-x).(3)A闭d(A)AA=A.(定理3.5.11)(4)A是闭集.(定理3.5.12)(5)A是包含A的所有闭集之交,是包含A的最小闭集.(定理3.5.13:设F是包含A的所有闭集之交,则AFA,AF,所以F=A.),2020/5/30,19,导集、闭集、闭包(7),定义3.5.12(X,)是度量空间.对非空的AX,xX,定义(x,A)=inf(x,y)|yA.定理3.5.14对度量空间(X,)的非空子集A,(1)xA(x,A)=0;(2)xd(A)(x,A-x)=0.证(x,A)=00,yA,(x,y)B(x,)AUUx,UAxA.,2020/5/30,20,导集、闭集、闭包(8),定理3.5.15设f:XY,则下述等价(1)f连续;(2)若B闭于Y,则f-1(B)闭于X;(3)AX,f(A)f(A).证(1)(2)B是Y的闭集,B是Y的开集,f-1(B)=f-1(B)是X的开集,f-1(B)是X的闭集.(2)(3)f(A)f(A),Af-1(f(A),Af-1(f(A),f(A)f(A).(3)(1)设U是Y的开集,U是Y的闭集且f(f-1(U)f(f-1(U)U=U,f-1(U)f-1(U),f-1(U)=f-1(U)是闭,f-1(U)是开.,2020/5/30,21,5、内部、边界,定义3.5.13若A是x的邻域,则称x是A的内点.A的所有内点的集合称为A的内部,记为A.定理3.5.16对AX,A=A,A=A.证xA,由于AA=,于是xA,从而xA.反之,xA,xA,x的邻域VA=,VA,xA.因此,A=A.从而A=A=A,A=A.定理3.5.17对A,BX,有(1)X=X;(2)AA;(3)(AB)=AB;(4)A=A.证(1)、(2)是显然的.(AB)=(AB)=AB=AB.而A=A=A=A.,2020/5/30,22,内部、边界(2),关于内部的几个相关结果:(1)A是x的邻域xA.(2)A是开集.(定理3.5.18)(3)A是开集A=A.(定理3.5.19)(4)A是A所包含的所有开集之并,是含于A内的最大开集.(定理3.5.20)证(2)A=A是开集.(3)A开A闭A=AA=A=A.(4)设O是含于A内的所有开集之并,AOA,OA,所以O=A.,2020/5/30,23,内部、边界(3),定义3.5.14x称为A的边界点,若x的每一邻域,既含有A中的点又有A中的点.A的边界点之集称为边界,记为A.定理3.5.21对AX,有(1)A=AA=(A);(2)A=AA;(3)A=A-A.证(2)AA=A(AA)=(AA)(AA)=A(AA)=A.(3)A-A=A-(AA)=A-A=AA=A.,2020/5/30,24,6、基与子基,定义3.5.15设T是空间X的拓扑,BT,如果T中每一元是B中某子集族之并,称B是X的基.度量空间球形邻域开集拓扑.在度量空间中球形邻域的作用就是拓扑空间中基的作用.所有单点集的族是离散空间的基.定理3.5.22设BT.B为X的基xX及x的邻域Ux,VxB使xVxUx.证“”开集Wx使得xWxUx,B1B使得Wx=B1,VxB1B使xVxUx.“”设UT,xU,VxB使xVxU,从而Vx|xUB且U=xUVx.在度量空间中,所有球形邻域的族是度量拓扑的基(定理3.5.23).所有开区间的族是R的基.,2020/5/30,25,基与子基(2),定理3.5.24拓扑空间X的基B满足:(i)B=X;(ii)B1,B2B,xB1B2,B3B使xB3B1B2.反之,若集合X的子集族B满足(1)、(2),定义T=B1|B1B,则T是X的以B作为基的唯一拓扑.证验证T是X的拓扑.(1)=.(2)先设B1,B2B,xB1B2,WxB使xWxB1B2,于是B1B2=Wx|xB1B2T.如果A1,A2T,设A1=B1,A2=B2,则A1A2=B1B2|B1B1,B2B2T.(3)设T1T,AT1,BAB,使得A=BA,那么T1=(BA|AT1).较强于(ii)且易于验证的条件是(ii)B1,B2B,B1B2B.,2020/5/30,26,基与子基(3),例3.5.8实数下限拓扑空间.令B=a,b)|a,bR,ab,则B为R上一拓扑的基.这空间称为实数下限拓扑空间,记为Rl.开区间是Rl中的开集,因为(a,b)=iZ+a+1/i,b).定义3.5.16设(X,T)是拓扑空间,ST.若S的元之所有有限交构成的族是T的基,则称S是T的子基.S的元之有限交构成的族S1S2SnSiS,inZ+.显然,空间X的基是子基.例3.5.9S=(a,+)aR(-,b)bR是R的子基.,2020/5/30,27,基与子基(4),对照定理3.5.24,集合X的子集族S要作为子基生成X上的拓