第八章-常微分方程数值解

第八章,常微分方程数值解法,（NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations）,1引言,微分方程数值解一般可分为：常微分方程数值解和偏微分方程数值解。自然界与工程技术中的许多现象其数学表达式可归结为常微分方程（组）的定解问题。一些偏微分方程问题也可以转化为常微分方程问题来（近似）求解。Newton最早采用数学方法研究二体问题，其中需要求解的运动方程就是常微分方程。许多著名数学家，如Bernoulli（家族）、Euler、Gauss、Lagrange和Laplace等，都遵循历史传统，研究重要的力学问题的数学模型，在这些问题中，许多是常微分方程的求解。作为科学史上的一段佳话，海王星的发现就是通过对常微分方程的近似计算得到的。本章主要介绍常微分方程数值解的若干方法。,常微分方程的数值解法分为：初值问题的数值解法和边值问题的数值解法。初值问题分一阶常微分方程初值问题、高阶常微分方程初值问题、一阶常微分方程组初值问题、高阶常微分方程组初值问题。一阶常微分方程组初值问题可转化为一阶常微分方程初值问题来求解；高阶常微分方程初值问题可转化为一阶常微分方程组初值问题来求解；高阶常微分方程组初值问题也可转化为一阶常微分方程组初值问题来求解。,1.一阶常微分方程初值问题的一般形式,结论：若函数在定义域上连续，且关于满足Lipschitz条件，则上述问题存在唯一的解,Lipschitz条件是指:若存在常数，使得不等式,对于所有定义域上的均成立，称为利普希茨常数。,2.一阶常微分方程初值问题的离散化,满足上述结论条件的一阶常微分方程在理论上来说解存在唯一，但并非所有问题的解能用解析式来表示，这就需要一些数值解法求解一系列离散点上的信息。通常取这些离散点为等距节点，即为，称为步长，求，表示的近似值。,求函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值的方法称为一阶常微分方程初值问题的数值解法。称为微分方程的数值解。,(3)如何保证迭代公式的稳定性与收敛性?,3.微分方程的数值解法需要解决的主要问题,(1)如何建立求其数值解的迭代公式？,(2)如何估计迭代公式的局部截断误差与整体误差？,离散化方法的基本特点是依照某一递推公式，按节点从左至右的顺序依次求出的近似值,如果计算需用到前r步的值,则称这类方法为r步方法。,4.初值问题的离散化方法,2欧拉方法,1.欧拉公式(单步显示公式）,向前差商近似导数,问题：,定义2若某方法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该方法有p阶精度。,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,定义1在假设yi=y(xi)，即第i步计算是精确的前提下，考虑的截断误差称为局部截断误差。,例1:用欧拉公式求解初值问题,取步长。,解:应用Euler公式,初值问题的具体形式为：,其中。计算结果列于下表：,可用来检验近似解的准确程度。,这个初值问题的准确解为:,从上表最后一列，我们看到取步长进行计算，数值解已达到了一定的精度。,向后差商近似导数,2.隐式欧拉法(向后Euler法）,注：由于未知数yi+1同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式欧拉公式，而前者称为显式欧拉公式。,一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。,如果上述迭代过程收敛，则极限值就是问题的解。,隐式欧拉法的局部截断误差：,即隐式欧拉公式具有1阶精度。,注：梯形公式的局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与隐式欧拉公式相似。,3.梯形公式(显、隐式两种公式的平均）,中心差商近似导数,假设,则可以导出即中点公式具有2阶精度。,4.中点欧拉公式,简单,精度低,稳定性最好,精度低,计算量大,精度提高,计算量大,精度提高,显式,多一个初值,可能影响精度,Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出,5.改进欧拉公式,注:此法亦称为预测-校正法,可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它,是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程,简单。后面将看到，它的稳定性高于显式欧拉法。,例2用改进Euler公式求解例1中的初值问题，,取步长。,解：对此初值问题采用改进Euler公式，具体形式为,计算结果列于下表：,改进的Euler法,Euler法,通过计算结果的比较可以看出，改进的Euler方法,的计算精度比Euler方法要高。,3龙格-库塔法,建立高精度的单步递推格式。,单步递推法的基本思想是从(xi,yi)点出发，,欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为2阶。,以某一斜率沿直线达到点。,1.台劳级数法,其中,若用表示的近似值，取前项作为的近似值，则台劳格式为,其局部截断误差为：,(P阶精度),2.龙格-库塔方法的基本思想,由微分中值定理知，有,称为上的平均斜率。如何计算，则相应的给出了一种计算格式。如果取，则为Euler方法；若取，就为改进的Euler方法。如果在上多用几个点的斜率值，将它们加权平均作为的近似值，则有可能构造出更高精度的计算公式。,3.二阶龙格-库塔方法,其局部截断误差为：,其中,所以,为了具有二阶精度，应取,满足上式的一组解对应的格式称为二阶R-K格式。,例如：（1）取，有,（改进的欧拉法）,（2）取，有,（变形的欧拉法）,（二阶Heun方法）,（3）取，有,4.三阶龙格-库塔方法,即在上考察三个点为了使上式达到三阶精度，可求得：,例如：（1）取有,（三阶Heun方法）,（2）取有,三阶Kutta方法,5.四阶龙格-库塔方法,即在上考察四个点,其中四阶经典龙格-库塔法为：,例3用四阶经典龙格-库塔法求解下列初值问题：,解：,令,注：（1）,二阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,五阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,四阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,三阶Runge-Kutta方法的局部截断误差只能达到,（2）龙格-库塔法的主要运算在于计算的值，即计算的值。Butcher于1965年给出了计算量与可达到的最高精度阶数的关系：,（3）由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受解函数的光滑性影响。对光滑性较好的问题，高阶龙格-库塔法误差较小，对于光滑性不太好的问题，最好采用低阶算法而将步长h取小。,（4）龙格-库塔法是显式、单步方法。,4单步方法的收敛性与稳定性,1.收敛性,定义1若某算法对于任意固定的x=xi=x0+ih，当h0(同时i)时有yiy(xi)，则称该算法是收敛的。,对任意固定的x=xi=ih，有,例：就初值问题考察欧拉显式格式的收敛性。,例：考察初值问题在区间0,0.5上的解.分别用欧拉显、隐式格式和改进的欧拉格式计算数值解。,1.00002.00004.00008.00001.60001013.2000101,1.00002.50001016.25001021.56251023.90631039.7656104,1.00002.50006.25001.56261013.90631019.7656101,1.00004.97871022.47881031.23411046.14421063.0590107,2.稳定性,定义2若某算法在计算过程中任一步产生的误差在以后的计算中都逐步衰减，则称该算法是绝对稳定的。,一般分析时为简单起见，只考虑试验方程,常数，可以是复数,我们称算法A比算法B稳定，就是指A的绝对稳定区域比B的大。,当步长取为时，将某算法应用