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18.3几何应用,一平面曲线的切线与法线,二.空间曲线的切线与法平面,三曲面的切平面与法线,四小结,切线方程为,法线方程为,的某邻域内满足隐函数定理条件，则,一.平面曲线的切线与法线,问题的提出,我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量,求曲线上过点的切线方程，这里,设曲线用参数方程表示为,二.空间曲线的切线与法平面,由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点的割线方程,在上式各端的分母都除以,由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，就得到曲线在点的切线方程：,由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是,曲线在点的法平面就是过点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是,如果曲线的方程表示为,可以把它写成如下的以为参数的参数方程,于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：,一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：,设，设上述方程组在点确定了一对函数,由这两个方程可解出,这时容易把它化成刚才讨论过的情形：,从而可得曲线在点的切线方程：,和法平面方程,解：,在（1，1，1）点对应参数为t=1,切线方程：,例1求曲线在点处的切线及法平面方程。,例2、求曲线在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。,法平面方程：x-z=0,切线方程：,解,在方程组,中分别对求导数，得,于是,从而在点有：,所以切线方程为：,即,三曲面的切平面与法线,设曲面方程为,过曲面上点任作一条在曲面上的曲线，设其方程为,显然有,在上式两端对求导，得,曲线在M处的切向量,上式说明向量与切线向量正交。,从而曲面在点的切平面方程为,由于的任意性，可见曲面上过的任一条曲线在该点的切线都与正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面，而就是切平面的法向量。,在点（设点对应于参数）有,过点与切平面垂直的直线，称为曲面在点的法线，其方程为,该法线的一组方向数为：,综上所述若曲面方程为,则该曲面在点的切平面方程为,过点的法线方程为,设分别为曲面在点的法线与轴正向之间的夹角，那末在点的法线方向余弦为,若曲面方程为,容易把它化成刚才讨论过的情形：,于是曲面在（这里）点的切平面方程为,法线方程为,例1求球面在点的切平面及法线方程,解,设,则,所以在点处球面的切平面方程为,法线方程,解,切平面方程为,法线方程为,解,令,切平面方程,法线方程,解,设为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,因为是曲面上的切点，,所求
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