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第一章实数集与函数,1实数2数集确界原理3函数的概念4复合函数与反函数,1.1实数,一.实数及其性质,二.绝对值与不等式,一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.,若规定：,1.1实数,则有限十进小数都能表示成无限循环小数。,实数,对正整数,对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号如:-8=-7.999,说明:,对于负实数x,y,若有-x=-y与-x-y,则分别称x=y与xx),2.两个实数的大小关系,说明:,.自然规定任何非负实数大于任何负实数,1)定义1,定义2设,为实数x的n位不足近似，而有理数,称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,.,为非负实数.,称有理数,2)通过有限小数比较大小的等价条件,对于负实数,其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为,和,注意：对任何实数x,有,命题1设,实数的性质,1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:ab.,为两个实数，则,实数的性质,3.实数集的大小关系具有传递性.即若ab,bc,则有ac.,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.,6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,例1,证明,例2,证明,二.绝对值与不等式,从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：,绝对值定义：,绝对值的一些主要性质,性质4（三角不等式）的证明：,几个重要不等式:,均值不等式:对记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值),有平均值不等式:等号当且仅当时成立.Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当且且时,有严格不等式证由且,利用二项展开
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