第九章-常微分方程数值解

第九章常微分方程数值解,计算方法,第九章常微分方程数值解,9.1引言,9.3Runge-Kutta法,9.2简单数值方法,本章要点：,本章作业,本章主要研究基于微积分数值解法的常微分方程数值解，主要方法有,Euler方法、改进Euler方法Runge-Kutta方法,P316.1-4选二；5.(1)(2)选一；6,7选一.,9.1引言,在工程和科学技术的实际问题中，常需要求解微分方程,只有简单的和典型的微分方程可以求出解析解,而在实际问题中的微分方程往往无法求出解析解,在高等数学中见过以下常微分方程：,-(1),-(2),-(3),(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题,-(4),另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:,这里主要研究问题(1)的数值解法。,我们首先介绍初值问题(1)的解存在的条件,定理1.,对于问题(1),要求它的数值解,-(1),从(1)的表达式,可以看出,求它的数值解的关键在于,-(1),对于初值问题(1),在下列子区间上分别应用两点数值微分公式,9.2简单的数值方法,9.2.1欧拉法与后退欧拉法,假设节点为等距节点，步长,-(6),记,(6)式称为求解初值问题(1)的(前进)Euler公式,（1）右端的积分用左矩形公式,（2）右端的积分用右矩形公式,或由,也可得,由于后退Euler公式是隐形公式,计算例1将很麻烦,事实上大多数情况下用后退Euler公式都较困难,用迭代法逐步显化，得到新的Euler公式,-(10),由Lipstz条件,因此，只要,就有,-(7),此方法称为预测校正系统,这种类型的方法称为单步格式或单步法,Euler方法的几何体现:,前进Euler公式,后退Euler公式,例1.,解:,由前进Euler公式,Euler1.m,得,依此类推,有,01.00000.10001.10000.20001.19180.30001.27740.40001.35820.50001.43510.60001.50900.70001.58030.80001.64980.90001.71781.00001.7848,用Euler公式的预测校正系统求解例1.,例2.,解:,由(7)式,有,Euler1.m,依此类推,得,01.00000.10001.09180.20001.17630.30001.25460.40001.32780.50001.39640.60001.46090.70001.52160.80001.57860.90001.63211.00001.6819,比较不同的结果,9.2.2梯形法,改进的Euler法,-(10),平均化形式,9.2.4单步法的局部截断误差与阶,单步法一般形式,Euler公式的局部截断误差为,主项,对Euler公式,对后退Euler公式,主项为,对梯形法,主项为,定义2.,例3.,用Euler公式、梯形公式和改进Euler公式求解初值问题,并比较结果的精度,解:,(1)Euler公式,(2)梯形公式,(3)改进Euler公式,使用MATLAB软件,Euler2.m,结果为,结果比较,Euler法的精度不如梯形公式,Euler公式的局部截断误差为,具有1阶精度,后退Euler公式的局部截断误差为,也具有1阶精度,显然一个求解公式的精度越高,计算解的精确性也就越好,从前面的分析可知,Euler法的精度并不算高,*基于数值积分的常微分方程数值解法,-(1),对于初值问题,-(11),矩形求积公式,梯形求积公式,误差为,Simpson求积公式,误差为,将以上求积公式代入(11)式,并加以处理就可得到相对应的求解公式,(一)矩形求解公式,由,可得,令,-(12),(12)式称为矩形公式(矩形法),实际上就是Euler求解公式,(二)梯形求解公式,由,可得,令,-(13),称(13)式为梯形求解公式(梯形法),注意:(13)式是隐形公式,则梯形公式第k步的截断误差为,显然梯形法具有二阶精度,由于梯形公式为隐形公式,一般情况下不易显化,(三)Simpson求解公式,将Simpson求积公式,代入（11）,简化后,得,-(16),由Simpson求积公式的误差,可以近似得到(16)式的截断误差为,仔细分析(16)式,如何求?,求积公式(16)的精度为4阶,考虑将(16)式改为下面的形式,-(17),-(18),(17)式称为Simpson求解公式,(18)为相应的截断误差项,(17)式是一个隐式求解公式,这种形式称为多步法,在本课程中将不予介绍,9.3Runge-Kutta法,考虑改进Euler法,如果将其改成,-(1),改进Euler法是由梯形公式和Euler公式复合而成,梯形公式具有2阶精度,形如(1)式的求解公式称为二阶Runge-Kutta法,同样可以证明,改进Euler法也具有2阶精度,9.3.1显式Runge-Kutta方法的一般形式,要使公式阶数高，就必须使右端积分求积公式精度提高,均为常数.(1)和(2)称为r级显式Runge-Kutta方法,当时，就是欧拉法，阶；,当时，改进的欧拉法，阶；,改进的Euler法,-(10),9.3.2二阶显式Runge-Kutta方法,对，由(1)和(2)得,（3）,为待定常数。,（3）的截断误差为,而,其中,代入截断误差,有,要使阶，必须,即,（4）,（4）的解不唯一。令，则得,这样得到的公式称为二阶R-K方法。,若取,就是改进的Euler法,（5）称为中点公式。也可表为,9.3.3三阶与四阶R-K方法,取,得公式,（6）,其中,（6）的截断误差为,得多解方程组,为待定参数。,和,这样得到的公式称为三阶R-K方法。其中一个常见公式,（7）,类似地，可导出四阶R-K方法。其中一个常见公式,（8）,例1.使用高阶R-K方法计算初值问题,解:,(1)使用三阶R-K方法(7),RK.m,其余结果如下:,(2)如果使用四阶R-K方法(10),nxnk1k2k3yn1.00000.10001.00001.10251.25551.11112.00000.20001.23451.37551.59451.24993.00000.30001.56241.76372.09221.42844.00000.40002.04042.34232.86581.66645.00000.50002.77683.25874.16341.9993,其余结果如下:,nxnk1k2k3k4yn1.00000.10001.00001.10251.11331.23511.11112.00000.20001.23461.37561