第1章--复数与复变函数--盖云英科学版

复变函数与积分变换,哈尔滨工业大学数学系盖云英,引言,第1章复数与复变函数,一、复数域、扩充复平面及其球面表示,两复数相等当且仅当实部与虚部相等，i.e.和,若复数，则称为的共轭复数，记作.,而称为的绝对值（模），,显然，,对于平面上一个给定的直角坐标系来说，复数可以用坐标为的点来表示.轴为实轴，轴为虚轴，所在平面称为复平面，记作.（见图1.1）,一个复数不仅可以用一点来表示，而且可以用一个由原点指向这点的向量来表示，这个复数、这个点、这个向量都以同一字母来表示之.,任一向量作平行移动后得到的所有向量都视为与原向量恒等.于是复数的加法成为向量的加法.而复数的公式往往赋有几何意义，例如表示向量长度，表示三角形两边之和大于第三边，等等.,对复数也可引入极坐标复数也称为复数的三角表示式.显然，称为复数的模.称为复数的辐角，记辐角有无穷多值,彼此相差的整数倍.通常把满足的辐角值称为的主值，记为，于是,用复数的极坐标来表示两复数的乘、除法、乘方以及开方，有时很方便.如果则两复数相乘，积的模为模的积，积的辐角为辐角的和.进而,，不难知道,，使得，则称为的次方根，记为,例1将写成三角形式,例2假设，试证只有时才是实数.,证：实数从得，故,例3试证,例4在一直线上的条件是为实数,试证明之.,证：在一直线上的条件是以线段与线段为两边的角是的整数倍，即,平面图形用复数形式表示，有时很简单.,引入坐标，得到复平面，但如何来处理无穷远点？在复变函数论中，引入一个点，叫做无穷远点，记作，,称为扩充复平面，它的几何模型称为复球面，如图1.3：,球面上任意点（除点外）与复平面上的点一一对应，反之亦然.但是在复平面上引进无穷远点与球面上点对应.,以此来扩展.有限复数，,二、复平面的点集，复变函数,的邻域：,，称为的内点：若使得.,称为的界点：若以及,若的每个点皆为内点，则称为开集.若的所有极限点都属于，则称为闭集.全部边界点组成的集，称为的边界，记为.,的邻域：,1基本概念设为复数点集（平面点集）.,2区域、曲线,非空平面点集称为区域：若它满足（1）为开集；（2）是连通的，就是说中任何两点都可以用一条完全属于内的折线连接起来.,设已给曲线：,区域加上它的边界称为闭区域.,如，则叫做连续曲线.,若，即没有重点的连续曲线叫做简单曲线，当时，则称为简单闭曲线.,若在上恒有，且、，则称为光滑曲线；若一条曲线由有限条光滑曲线连接而成，则称为逐（按）段光滑曲线.,一个区域，若在内任作一条简单闭曲线，其内部仍全含于，则称为单连通区域；否则称为多连通区域.,这里，我们承认一条简单闭曲线将平面分为内部和外部.,设是一个复数集，如果对中的任一复数，通过一个确定的规则有一个或若干个复数与之对应，就说在上定义了一个复变函数，记为.,3复变函数定义，极限，连续性,如果的一个值对应着一个值,那么称是单值的否则就称是多值的.称为的定义域,称为的值域.,例如，及均为的单值函数；（整数）及均为的多值函数.,当为单值时，其反函数可能是多值的.当函数及其反函数都是单值函数时，则称这种函数是双方单值的.,设复变函数在的去心邻域内有定义，对，若，使得当时，有.则称为当趋向于时，函数的极限，记为或当时，.,注1趋向是按任意的方式进行的通常用“方式”这一术语，以区别“方向”一词，具体地说，即使当沿任何射线方向趋向于时，都趋向于数，还不能说在点以为极限.,注2对极限概念可作一几何说明：首先留意不等式所确定的是平面上的一个去心邻域，即除去了中心的一个邻域.,在点以为极限的意思是：先在平面上给定一个以为心,为半径的圆，而后能找到的一个去心邻域，使得中含于此去心邻域内的点的象都在上述圆内.先、后顺序关系：圆是先给的，去心的邻域则是后找的.,证：由不等式,定理2设，在点连续在点连续.,例1求下列极限值（1），（2）,（2）,例2问下列函数在原点连续吗？（1）（2）,（2）令，则，故在连续.,例3若在点连续，那么，也在点连续，试证明之.,解：