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文档简介
第六章非线性微分方程,6.1自治系统与非自治系统,6.2稳定性的基本概念,6.3判定稳定性的Liapanov函数法,6.4由线性近似系统判定稳定性,为什么要研究微分方程的定性理论?,由于大多数微分方程,即使是低阶线性方程,它的解一般也难以求得对于非线性微分方程(组),除了极少数特殊情况之外,要想用衽初等方法去求解,往往是不可能的.这就迫使人们去寻找其它的研究途径,本章4.3节中所介绍的幂级数解法就是途径之一,另一种重要的途径是利用数值计算方法通过计算机去求其近似解,这是一种很实用的方法,我们将在后续课程中专门学习.本节即将介绍的重要方法,就是不通过求解而直接从微分方程的系数去研究其解的主要特征和性态,这就是所谓的定性分析方法.这种方法在利于人们掌握解的最终趋势,了解全部解的分布特征和相互关系.在理论分析和实际应用中,定性分析法和数值计算法两者若能相互结合、相辅相成。将会产生更好的效果。限于篇幅，本节我们主要介绍定性分析方法中稳定性理念的初步知识，而且局限于对自治系统进行讲解。,6.1自治系统与非自治系统,(6.1),(6.2),6.1.1非自治系统与自治系统的主要区别,自治系统不论是在相空间还是增广相空间,轨线匀不相交.而非自,治系统在增广相空间积分曲线不相交,但在相空间轨线可能相交.,轨线只可能与奇点无限接近,但不可能通过奇点,否则与解的唯一性相矛盾.对于一给定的自治系统来说,奇点或平衡位置是人们关心的重要问题,在奇点附近轨线的分布情况是多种多样的,这也是对自治系统进行研究的重要内容之一,本书对此不作进一步讨论,有兴趣的同学可参考常微分方程教材,我们在此主要讨论奇点的的稳定性.,6.1.2相平面、相轨线与相图,我们把平面xoy称为(6.3)的相平面,而把(6.3)的解在平面上的轨迹称为(6.3)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.3)的相图.,(a),(b),6.2稳定性的基本概念,6.3判定稳定性的Liapunov函数法,定义6.3设,6.4由线性近似系统判定稳定性,称系统(6.11)的线性近似系统为,(6.10),(6.12),定理6.2(1)若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统(6.10)的零解是渐近稳定的;,(2)若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统(6.10)的零解是不稳定的.,定
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