高等数学第七章辅导

第七章微分方程,第一节微分方程的基本概念,内容提要1.微分方程的定义；2.微分方程的阶；3.微分方程的解（通解和特解）；4.微分方程的初始条件和初值问题。,教学要求理解和掌握基本概念，特别是通解和特解的定义,一、问题的提出,例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,解,例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度,（1）开始制动后多少时间列车才能停住？,问,米/秒2,（2）在这段时间内列车行驶了多少路程？,所以，开始制动到列车完全停住共需,令,=0,得,50（秒）.,故,将（3）代入条件（4）得,将（2）代入条件（5）得,在这段时间内列车行驶了500（米）.,定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程,未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程。,未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程。,我们这一章只研究常微分方程，简称为微分方程。,二、微分方程,例如方程,为常数,为常数,都是微分方程。,微分方程中含有的未知函数导数(或微分)的最高阶数，称为微分方程的阶。,如果微分方程的解中含有任意常数，而且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，称这样的解为该微分方程的通解。,定义2如果函数y=f(x)代入微分方程能使其恒等，则称此函数为该微分方程的解。,不含任意常数的解称为微分方程的特解,其图形称为积分曲线.,三、主要问题-求方程的解,例3,例4对于微分方程,对于微分方程,是微分方程的通解,是微分方程的特解,是微分方程的特解,是微分方程的通解,是微分方程的解,是微分方程的解,思考与练习,说明:通解不一定是微分方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,y=x及y=C,通解就是微分方程的全部解吗？,当自变量取x0，未知函数取值y(x0)，或其导数取值y(x0)，这样的用来确定任意常数的条件称为初始条件,求微分方程满足初始条件的解的问题，称为微分方程的初值问题,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,例5,解,(特解?),(通解.),(1),(2),思考：,微分方程;,解,阶;,通解,初始条件；,特解,初值问题；,四、小结,第二节可分离变量的微分方程,转化,解分离变量方程,都是可分离变量方程,形如,的微分方程，称为,可分离变量的微分方程。,一、可分离变量的微分方程,可分离变量方程的解法:,设两个被积函数的原函数分别为,解法：,将微分方程化为如下形式：,2、方程两边求积分：,得到,这就是可分离变量微分方程的通解。,1、分离变量：,例1.求微分方程,的通解。,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数)为方程的通解,故得,二、经典例题,(C为任意非零常数),例2求微分方程,的通解,解分离变量得,两边积分得,即,由对数性质，得通解,例3.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,通解可以是显式形式，也可以是隐式形式。,练习：求下列微分方程的通解,1、,2、,3、,1、,解分离变量,即,(C0),两边积分,2、求微分方程,的通解,解,两边积分,得,得通解,方程可化为,分离变量,得,3、求微分方程的通解:,解：,分离变量,两边积分,得,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐（显）式通解.,三、小结,作业P304习题7-21(1)(3)(7)(8)，2(1)(2),第三节齐次方程,一、齐次方程,的一阶微分方程称为齐次方程.,解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,定义1,例1求微分方程,的通解,解,化简得,是齐次型方程,设,，则,代入得,即,分离变量得得,两边积分得,得微分方程的通解,移项得,即,作业P309习题7-31(2)(3),第四节一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,形如,称为一阶线性微分方程。,1)如果,该微分方程称为一阶齐次线性微分方程,2)如果,该微分方程称为一阶非齐次线性微分方程,的方程，,特别地,例如，微分方程,可化为,所以，该微分方程是一阶齐次线性微分方程。,而微分方程,是一阶非齐次线性微分方程。,1.一阶齐次线性微分方程,分离变量,两边积分，得,所以通解为,指数中的不定积分，计算完成后不再加常数C。,的解法,即求解,例1求方程,的通解,解1,这是一个一阶齐次线性微分方程分离变量得,两边积分得,所以方程的通解为,解2,方程改写为,所以,由公式得通解,例1求方程,的通解,2.一阶非齐次线性微分方程,的解法,对应线性齐次方程解为,常数变易法：将C变易成u(x),得,将上式代入线性非齐次方程，得,即,两边积分得,所以线性非齐次方程的通解,练习,用常数变易法求微分方程的通解:,解：,方程变形为,常数变易，得,相应齐次方程为,分离变量,两边积分,求导，得,代入非齐次方程，得,解得,原方程通解为,例2解方程,解1：先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解，令,则,代入非齐次方程得,解得,所以原方程通解为,解2：,得原方程通解,因为,例2解方程,一阶非齐次线性微分方程,的通解,可化为,齐次方程通解,非齐次方程特解,一般地，非齐次线性微分方程的通解等于对应齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的任意一个特解之和。,齐次方程通解,非齐次方程特解,作业P315习题7-41(1)(3)(4)，2(2)，3,第五节可降阶的高阶微分方程,特点：,解法：,两边直接积分，直至求出通解为止。,一、型,例1求微分方程,的通解。,解：,两边积分，得,再次两边积分，得,特点：,解法：,两边积分，得原方程的通解为,二、型,例2求微分方程,满足初始条件,的特解.,解,两边积分，得,即,所以,两边再积分，得,于是所求特解为,特点：,解法：,则由复合函数求导法则，得,原方程化为,故通解为,三、型,解,代入原方程得,原方程通解为,例3,作业P323习题7-51(1)(3),第六节高阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式是,其中P(x)，Q(x)，f(x)是x的已知函数。,若上式中f(x)0，称为二阶齐次线性微分方程，即,若f(x)0，称为二阶非齐次线性微分方程。,一、二阶线性微分方程,定义1若y1和y2是定义在区间I的两个函数。如果,存在两个不全为零的常数k1,k2，使得在区间I内恒有则,则称y1和y2在区间I内线性相关，,否则称为线性无关。,由定义可知，判断y1和y2在区间I内是否线性相关，只要看它们的比值是否为常数。,定理1若y1和y2是方程,的解，则函数yC1y1+C2y2(C1,C2为任意常数)也是该方程的解。,定理2若y1和y2是方程,的两个线性无关的解，,yC1y1+C2y2(C1,C2为任意常数),的通解。,是方程,则,定理3若y1和y2是方程,的两个线性无关的解，Y是,C1y1+C2y2+Y(C1,C2为任意常数),的特解,的通解。,是方程,则,定理4若y1*和y2*分别是方程,的特解，则y1*+y2*是方程,的特解。,第七节常系数齐次线性微分方程,二阶常系数线性微分方程的一般形式是,其中p，q是(实)常数，f(x)是x的已知函数。,若f(x)0，称为二阶常系数齐次线性微分方程，,即,若f(x)0，称为二阶常系数非齐次线性微分方程，,和它的导数只差常数因子,代入(1)得,称(2)为微分方程(1)的特征方程,(r为待定常数),(1),所以猜想(1)的解为,其根称为,(2),1、求解二阶常系数齐次线性微分方程,特征根,1)当,时,特征方程有两个相异实根,则微分方程有两个线性无关的特解：,因此方程的通解为,的特征根有三种情形：,特征方程,2)当,时,特征方程有两个相等实根,，则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的二重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,3)当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解：,得原方程的线性无关特解：,因此原方程的通解为,小结:,特征方程:,例1,的通解。,解:特征方程为,特征根,因此原方程的通解为,例2求解初值问题,解：特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,例3,解,特征方程为,特征根为,故所求通解为,练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,特征方程,通解为,通解为,特征根为,特征根为,作业P340习题7-71(1)(2)(3)(4)2(1)(6),第八节常系数非齐次线性微分方程,一、型,二阶常系数非齐次